拉格朗日中值定理的证明及其应用

马生勇

【摘要】拉格朗日中值定理是微积分中重要定理之一，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，再应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算、区间套定理四个方面分析构造辅助函数的思路和方法，利用该辅助函数证明了拉格朗日中值定理，并以具体实例说明如何应用拉格朗日中值定理.

【关键词】罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；辅助函数

1 引言

拉格朗日中值定理是微分学的重要定理之一，它的证明通常以罗尔中值定理作为预备定理，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，而辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件，证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.罗尔定理中 这个条件很特殊，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把这个条件取消，但仍保留另外两个条件，并且相应改变结论，即得微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算三种方法证明了拉格朗日中值定理，并从具体实例说明了如何应用拉格朗日中值定理.

2 拉格朗日中值定理证明

拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数（该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件）应用罗尔中值定理.由于构造辅助函数的思路不同，拉格朗日中值定理的证法有多种.首先我们给出罗尔中值定理和拉格朗日中值定理[1]如下：

罗尔中值定理 若函数 满足以下条件：

（1）在 连续；

（2）在 可导；

（3） .

则至少存在一点 ，使 .

拉格朗日中值定理 若函数 滿足以下条件：

（1）在 连续；

（2）在 可导，

则在 内至少存在一点 ，使

.

2.1 利用坐标旋转构造辅助函数

如果函数 在闭区间 上连续；在 内可导.

图2.1

如图2.1所示，由坐标旋转图形的不变形可知，只要把坐标轴旋转到与直线 重合，在新坐标下图形显然满足罗尔定理条件，通过罗尔定理即可得出结论.为此可引入旋转坐标变换[2]

.

因为

，

所以有逆变换

.

记

.

取旋转角 时， 在 上连续；在 内可导，由

，

可得

，

即 ，因此， 满足罗尔定理的条件，故至少存在一点 使 ，亦即

， .

2.2 利用分析表达式构造辅助函数

由拉格朗日中值定理结论可知，欲证 ，即要证 ，换言之即证 在区间 内有零点.据此利用罗尔定理可得拉格朗日中值定理.

证明 令 ，则 在区间 连续，在 内可导，且

，

即

.

故由罗尔定理知，至少存在一点 ，使 .

即

.

注意 这辅助函数所表示的曲线 是曲线 和直线 之差，而这直线通过原点且与曲线 在 上两端点的连线平行，从而使得 满足罗尔中值定理的条件.

2.3 利用向量运算构造辅助函数

引理2.1[3]在平面直角坐标系中，已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为 ， ， ，则三角形ABC面积为 .

于是可以引用引理证明拉格朗日中值定理如下：

若 在 内连续，在 内可导，则 在 内连续，在 内可导，且 ，所以由罗尔中值定理知：在 内至少存在一点 使得 ，而

.

故

.

通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总结，发现证明方法的确多种多样.一般来说大多采用的是构造辅助函数的方法，我们从分析和几何的角度加以分析总结，分析法构造辅助函数主要有原函数构造法；几何法是利用图形的特征进行分析，从而构造出需要的辅助函数，与分析法有异曲同工之妙，同时也可以认为是上面某些分析方法的几何解释.另外我们还总结了一些特殊方法，它们不需要构造辅助函数，仍可以得证，如区间套定理证明法.通过分类总结，有助于开阔我们的思路，对微分中值定理的认识也会更加深入.

3 拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础.它作为中值定理的核心，有着广泛的应用，在很多题型中都起到了化繁为简的作用.下面通过举例说明拉格朗日中值定理在四个方面的应用.

3.1 证明不等式

证明不等式的方法很多，但对于某些不等式，用初等解法不一定解得出来.拉格朗日中值定理在不等式中有很重要的应用，往往能够化难为易.在应用中关键是取适当函数 ，利用中值公式 将所要证明的不等式与导函数 联系起来，在根据 的某些性质证出所要求的不等式.比如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等题型.

例 3.1 证明 对一切 都成立.

证明 设 ，取闭区间 .

因为 在 上满足拉格朗日中值定理条件.

所以，至少存在一点 ，使得

.

即

. （3.1）

因为 ，即 ，又 .

所以

， （3.2）

又因为 ，所以由（3.1）﹑（3.2）知

，

即

.

3.2 函数单调性的判定

由拉格朗日中值定理得到下面的结论：设函数 上连续，在 内可导，则

（1）如果 ，则 上单调递增.

（2）如果 ，则 上单调递减.

下面我们具体的看一下它的应用.

例 3.2 证明 在 上单调增加.

证明 若令 ，

则只需证明 单调增加.

，

对函数 应用拉格朗日中值定理得到

，

得到

.

因此，由上面结论推出 单调增加，从而 在 上单调增加.

3.3 证明方程根的存在性

在拉格朗日中值定理的条件下，若加上条件 ，则可知在开区间 内至少存在一点 ，使得 这是拉格朗日中值定理的特殊情形，称为罗尔中值定理，可用于证明方程的根的存在性.证明方程根的存在性时所给根的范围就是区间 ，把所给方程设为函数 ，就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性.

例 3.5 证明 若方程 有正根 ，则方程 必有一个小于 的正根.

证明 设 = ， .

易证 在 上满足拉格朗日中值定理条件，并且 .

所以，由罗尔中值定理可知，至少存在一点 ，使得 ，

即方程 ，有一个小于 的正根.

由上面的例题，我们见到了中值定理在求解初等数学题中的优越性.因此，将微积分的方法应用于初等数学中，将它作为教学的辅助手段是可取的.

3.4 证明等式

用拉格朗日中值定理證明等式也是拉格朗日中值定理应用中很重要的一项，在证明等时中起到了化繁为简的作用，为以后的等式证明提供了方面.

例 3.7 设 在 上连续，在 内可导，且 ，试证 ， ，使得 .

证明 令 ，则 在 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在

，使得 ，由条件 ，可得

，

再令 ，则 在 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 ，使得

，综合上述两式可得 ，

即

.

用初等数学的方法解数学题，有时需要很高的技巧，并且很繁琐，往往此时利用微积分方法会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.

结束语

著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有着及其重要的意义.该定理叙述简单明了，并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度.熟练掌握定理本质，在解题时会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.

参考文献：

[1]刘士强.数学分析（上）[M].南宁：广西民族出版社，2000.

[2]刘振航.关于拉格朗日中值定理的证明[J].天津商学院学报，2002，22（3）：35-36.

[3]张娅莉，汪斌.拉格朗日中值定理的证明和应用[J].信阳农业高等专科学校学报，2005，15（4）：88-90.