2014高考数学阅卷场报告

郝红宾

重基础抓思想强能力

2014年全国各地的高考数学理科卷共有18套，为了给今后参加高考的同学们提供一定的参照和帮助，我们精选了其中的四套进行分析，它们分别是全国新课标卷Ⅰ和卷Ⅱ、山东卷、广东卷。

这些具有代表性的试卷均由容易题、中等题、难题组成，且以容易题、中等题为主，压轴题在难度上控制得很好，整体感觉知识覆盖面广，运算量适中。试题在继承的背景下进行创新，其中全国新课标卷Ⅰ的第14题推理题、全国新课标卷Ⅱ的第12题、山东卷的第15题新概念题、广东卷的第8题相对来说更加突出。这些都体现了国家对待高考希望“平稳、稳定”的指导意见，让考生容易适应。具体分布如表1：

一、基础知识的全面考查

知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理，以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能。

对数学基础知识的考查，要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。

2014年高考基本涵盖了重要知识的80%左右，各种题型也是丰富多样。但不是说每一道题目只考查单一的知识点，而往往是多知识点的一次次交汇。

1.小题

从统计结果来看，选择题和填空题部分喜欢考查的知识点有：集合、复数、函数性质、导数、三角函数、圆锥曲线、线性规划、二项式定理、计数原理和概率、算法框图、三视图、向量等。这部分试题主要考查基础知识和基本技能，但是做这些小题要学会巧做，节省时间。如何“巧”呢？常见的做法有：特值法、图象法、验证法、排除法、利用结论法等。

例1（2014新课标全国卷Ⅰ）如图1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）

【命题分析】本题考查了解三角形的有关知 识，利用正弦定理和余弦定理进行边角的互化。 但如果考生知道一个三角形的重要结论，即射影 定理，则本题可速解。射影定理是：acosB+bcosA= c，bcosC+ccosB=a，ccosA+acosC=b。

例4（2014新课标全国卷Ⅰ）甲、乙、丙三位 同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市。

由此可判断乙去过的城市为。

【命题分析】本题考查的是合情推理和演绎 推理的知识，这类题目在以往的考试题中比较少 见，没怎么被开发过，比较新颖，所以同学们以后 要多多关注这类推理、证明等逻辑性较强的问 题。就像导数、三视图的出现一样，开始一般比较 简单，但是出过几次题之后，难度在悄然升高。

2.大题

解答题部分一般都是三角函数、数列、立体 几何、概率统计、圆锥曲线、导数、选做题等为主。 其中三角函数、数列、立体几何、概率统计相对简 单，而圆锥曲线、导数难度相对较大，一般为压轴 的两个题。另外前几年的解答题中，相对简单的 首个解答题连续出现三角函数题，而今年几个地 区的高考试卷都不约而同地出现了数列解答题。 纵观2014年全国高考数学18套理科卷，也只有福 建卷和辽宁卷的解答题中没有涉及数列，所以在 2015年备考复习时，同学们要同时关注三角函数 和数列这两部分知识，因为它们都有可能成为 2015年高考数学试卷解答题的第一题。

【命题分析】本题考查了数列和等差数列的知识以及阶差法和探索性问题的常用解法。（Ⅰ） 题利用数列中常用的方法———阶差法很容易证 明。（Ⅱ）题，假设{an}为等差数列，则前三项a1，a2， a3必成等差，从而猜测出常数λ的值，接下来对n 分奇偶求出数列{an}的通项公式，经验证，果然 可保证其为等差数列。多年前的高考曾出现过 探索一个数列是否是等比数列的问题，做法类 似，所以做做前几年的高考题对同学们也是大有 裨益的。

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）证明：f（x）>1。

例7（2014新课标全国卷Ⅰ）从某企业生 产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一 项质量指标值，由测量结果得到频率分布直方 图（如图2）：

【命题分析】本题考查了频率分布直方图、 样本平均数、样本方差、正态分布和二项分布等 概率统计知识。只要这部分知识扎实，解题应该 没有什么问题，运算量也不大，但关键还是看概 念和公式是否清楚。应用题的命题要求是坚持 “贴近生活，背景公平，控制难度”的十二字原则， 而近几年高考中的应用题，从知识角度看都是概 率统计的内容，且一般都是概率、分布列和期望， 涉及正态分布的较少。所以今后对于正态分布、 线性回归等这些课程改革后较少涉及的内容要 倍加关注，未来有升温的趋势。

3.备考建议

今年高考的知识面很广，预计今后也将如 此。这就要求我们对概念、性质、定理等基础知 识的复习不能走过场、赶进度，吃“夹生饭”，而 应在“准确、系统”上面下工夫。基础知识是成绩 提升的瓶颈，只有对基础知识有深刻理解和领 会时，才能突破这一瓶颈，逐步形成基本技能， 实现能力的提升。

高三的三轮复习至关重要，提倡全面回归课 本，要把基础知识夯实并落实到位，这样才能以不 变应万变。因此，同学们在第一轮复习时必须把课 本内容、基本解题方法吃透，掌握基本概念的性 质，定理及其一般应用。第二轮复习时，要结合教 材和考试大纲，把整个高中数学知识分成几大模 块：集合与简易逻辑、函数与导数、直线与圆锥曲 线、立体几何、概率与统计、二项式定理、计数与概 率、三角函数、向量、数列、不等式等，对各版块的 基础知识进行归纳、梳理、熟练化，还要熟悉各版 块的联系、交汇、网络化，把整个高中的基础知识 有机地结合在一起；同时对自己的薄弱知识环节 进行专题训练，比如立体几何，空间想象力差的同学可以多练；要特别关注函数与导数。考试中较 少出现的内容，也不可忽视，比如正态分布、定积 分等未必会考，但必须会做，以备不时之需，方为 万全之策。

二、思想方法的灵活考查

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更 高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须与数学 知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数 学思想和方法的理解；要从学科整体意义和思想价 值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测 考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法 的掌握程度。

七大数学思想方法，是指函数与方程的思想、 数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化 的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或 然与必然的思想，它们就是我们在做数学题时大脑 的所思所想，是快速解题的关键。有诗为证：

数形结合千般好，分类整合常用到；

函数方程很重要，化归转化离不了。

有限常把无限描，或然总被必然表；

特殊一般多辩证，思想交汇步步高。

当然，每道精心设计的考题未必是单一地考查 某种数学思想，而是多思想的综合。

1.老四样

数学思想的重点还是四大数学思想，俗称“老 四样”，即数形结合、分类整合、函数方程、化归转 化。高三复习时，这些技能要真正内化到同学们的 骨子里去，变成一种下意识的行为和习惯。

A.（2，+∞）B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

【命题分析】本题考查了函数的零点、导数及 其应用等知识，涉及了分类整合思想、数形结合思 想。三次以上的高次函数必须借助导数才可研究 其性质，求导后再对参数a分类讨论，同时画出函 数的简图即可作出判断。

【命题分析】本题考查了椭圆的标准方程，以 及直线与椭圆的位置关系，涉及了分类整合思想、 化归转化思想。（Ⅰ）题简单，求出a、b即可；求解 （Ⅱ）题的关键是如何处理“点P到椭圆C的两条切 线相互垂直”这句话。首先设出切线方程，但需要 注意的是，由于用到了点斜式，所以要分两种情况 讨论斜率是否存在。对于斜率存在的情况，将切线 方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程等一 系列同学们最为熟悉的操作之后，关键点到 了———两条切线的两个斜率之积等于-1，而两个 斜率恰好是方程的两个根，于是根据韦达定理立 刻得到点P的轨迹方程。

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点， 当△OPQ的面积最大时，求l的方程。

【命题分析】本题考查了椭圆的标准方程，以 及直线与椭圆的位置关系，涉及了函数方程思想。 （Ⅱ）题求△OPQ的面积的最大值，其本质就是先 建立面积关于某变量（比如斜率）的函数，然后求 该函数的最大值。在圆锥曲线中经常遇到求取值 范围或求最值的问题，它们的本质其实都是函数 问题。

2.备考建议

数学思想方法年年都会考查，且出题灵活多 变。数学被称为思维的体操，这就要求同学们必须 养成使用正确的思维方法去思考问题、解决问题的 习惯，特别是数形结合、分类整合、函数方程、化归 转化这四大思想，用好了必然事半功倍，而使用的 关键就是养成良好的思维习惯和意识。

三、能力素质的重点考查

2014年高考，按照“考查基础知识的同时，注重 考查能力”的原则，确立“以能力立意”命题的指导 思想，将知识、能力与素质很好地融为一体，全面检 测了考生的数学素养。

能力是指“五能力”和“二意识”共七种能力 要求。空间想象能力是识图、画图和对图形的想 象能力，三种语言之间的互相翻译是顺利解题的 前提；抽象概括能力是在抽象概括的过程中发现 研究对象的本质；推理论证能力是根据已知的事 实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题 真实性的初步的推理能力，包括演绎与合情推 理、直接与间接证法；运算求解能力是思维能力 和运算技能的结合，主要包括对数的笔算、心算、 估值、简算和近似计算，对式的组合与分解变形， 对几何图形各几何量的计算求解等；数据处理能 力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进 行整理、分析，并解决给定的实际问题；应用意识 是将客观事物数学化的能力，也即“建模”的能力 和解决现实问题的意识；创新意识是理性思维的 高层次表现，对于比较新颖的问题情境，要善于 “观察、猜测、抽象、概括、迁移、组合、融会、证 明”，会解研究型、探索型、开放型的试题。

当然了，思维是数学的核心，而逻辑又是思 维的核心，所以各种能力都离不开思维，思维能 力（特别是抽象概括能力、推理论证能力）的考查 必然贯穿了全卷，所以每道题目未必是单一地考 查某种能力，而是多种能力的综合。