基于指数增长模型的全国人口预测

刘　令,杨　力,林　源

（1.吉林建筑大学，长春　130118；2.中国工商银行股份有限公司长春净月旅游经济开发区支行，长春　130117）

基于指数增长模型的全国人口预测

刘令1,杨力1,林源2

（1.吉林建筑大学，长春130118；2.中国工商银行股份有限公司长春净月旅游经济开发区支行，长春130117）

摘要：本文根据每十年一次的全国人口普查中总人口的数据，建立了指数增长模型，并通过1975—2010年度数据验证了它的准确性，同时利用此模型实现了对未来总人口的预测，发现在短时间内，我国人口总数随着时间的增长而不断增大。

关键词：人口增长率；指数增长模型；递归模型

0　引言

我国人口一直呈持续增长趋势，为了发现人口增长的规律，以便于国家对人口政策作出合理调整，所以应该对未来人口进行预测，人口的预测与控制是一个较为复杂的问题，在不考虑资源与环境等干扰因素的影响下，最简单的人口增长与预测方案是人所共知的指数增长模型[1]。

1　指数增长模型

1.1模型的原理

指数增长是经济学理论中重要的分析工具，当一个变量在一定时期内按固定比率增长时，指数（或几何）增长就发生了。例如：当数量为200的人口每年以3%的比列增加时，在起始年份（第0年），人口为200，第1年人口数为200×（1+0.03）^1；第2年人口数为200（1+0.03）^2；……；第n年人口数为200×（1+0.03）^n；……按此类推。

1.2模型的建立

本文我们在排除一切外界干扰因素的影响下，建立了指数增长模型[1]：标记当年人口为x0，l 年后人口为xl，年增长率为r，则

显见，公式（1）中的年增长率r保持不变。

我们令t年的人口数目为x（t），当考察一个国家的人口时，x（t）便是一个很大的数。利用微积分学这一数学工具，不妨把x（t）视为一个连续可微的函数，令初始时刻t=0年的人口为x0，假设r为常数，即单位时间内人口变化率等于r乘以x（t），于是，得到x（t）满足微分方程

简单求解，得

r＞0时，（3）式表示人口按照指数规律随时间无限增长，因此,我们得到了以指数增长为依据的人口预测与控制模型。

1.3模型参数r的估计

为了估计指数增长模型（2）或（3）中的参数r和x0（1975的人口总数），需将（3）式取对数，得

用MATLAB等软件对人口统计数据进行拟合，可得到参数r。

2　人口的预测

我国1972年开始实行计划生育政策，根据全国人口普查数据，为了使预测结果更加精确，我们节选1975-2010年的全国人口普查数据[2]，每隔五年抽取一组，得到8组数据，分别为：1975年919.7百万人，1980年987.05百万人，1985年1058.51百万人，1990年1160.02百万人，1995年1212.1百万人，2000年1295.33百万人，2005年1306.28百万人，2010年1370.53百万人。

将上述数据代入指数模型之中，并使用MATLAB等软件进行分析，我们得到 的值为0.0577（5年），根据公式（3）计算，求得1975年—2010年中每5年的全国预测总人口数目，整理并分析得出的结果，并通过对实际和预测人口数据作比较，求得其预测误差为2.5%，与原有模型的预测误差相比，可以认为该模型相当满意。

所以，我们运用指数增长模型对未来40年我国人口总数进行预测，得出结果如下：2015年人口的总数目1389.2百万人，2020年1425.5百万人，2025年1455.9百万人，2030年1479.9百万人，2035年1502.3百万人，2040年1518.0百万人，2045年1523.0百万人，2050年1527.7百万人。

不难发现，在短时间内，我国人口总数随着时间的增长而不断增大。

3　结语

运用指数增长模型对人口数目进行短期预测是相当准确的。但该模型中人口的数量将随着时间的增长无限制增长，显然，是与实际情况不符的，在资源与环境等因素的干扰下，某个地区的人口是不可能无限制增长的，当增长到一定的数量后，增长速率将会慢下来，因此，为了更好的预测我国人口的发展，我们亟需引进更贴近实际状况的模型来解决此类问题。

参考文献：

[1]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]国家人口发展战略研究课题组国家人口发展战略研究报告[R].2012.

[3]付加锋中国东部沿海地区产业结构预测及其结构效益评价[R].2006.

[4]国家统计局1990-2010年六次人口普查数据[R].

作者简介：刘令（1982—），女，吉林长春人，博士，主要研究偏微分方程。