浅谈数学思维能力的培养

李晶

摘要：数学思维既要体现一般思维的规律，又要结合数学学科的特点，反映出数学学科特有的规律。数学思维是指数学活动过程中的思维，数学课堂教学过程是以不断提出问题并解决问题的方式来获取新知识的问题性思维过程。问题是数学的心脏，没有问题就没有数学，解决问题的过程就是思维形成的过程。

关键词：思维；特点；规律；过程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）03-0052

爱因斯坦曾说过：“创造性原则寓于数学之中。”在人类历史上，数学的探索精神帮助许多杰出的人才成就了自己的事业，为人类作出了较大的贡献。数学发展到了今天，数学文化已经成为现代科技文化的核心，它的形式化语言，理性主义观念，抽象的、逻辑性的思维方式，已成为现代成员必备的素质。这种素质的高低直接关系到社会成员对事物的洞察、理解以及判断力。数学思维能力就是作为数学科学的独特思维方式所具有的功能、本领，它包括直觉思维、发散思维、创新思维、逆向思维等，而中学生正是培养这些思维能力的最佳阶段。

一、直觉思维

直觉是发明的源泉。伟大的数学家、物理学家和天文学家彭加勒说：“逻辑用于证明，直觉用于发明。”前苏联科学家凯德洛夫更明确地提出：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动。”直觉思维就是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。思维者不是按部就班地推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，跳过若干中间步骤或放过个别细节而直接把握研究对象的本质和联系。重视解题教学，注重培养学生数形结合思维。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的几何直觉思维大有帮助。我们在数学学习过程中所解决的许多问题，往往也是先从数与形的感知中得到某种猜想或得到一种巧妙的解题思路，然后进行解答的。在教学中有意识、有计划的培养学生的直觉思维能力，鼓励学生进行大胆猜测，对于数学创造和数学问题的解决，起着至关重要的作用。

例如：若sinα+cosα=tanα（0<α<■），则α∈（ ）。

A. （0，■） B. （■，■）

C. （■，■） D. （■，■）

分析：令f（x）=sinx+cosx=■sin（x+■）（0<α<■），g（x）=tanx，画出函数图象，从图象上容易看出交点P的横坐标xp>■。

接下来再令α=■，则sin■+cos■=■，tan■=■由图象知xp应小于■。故选C。

数学是一门滴水不漏的学科，许多直觉洞察的空隙必须要用逻辑推理来填补。对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是我们并不能以此去取代数学证明，而只能作为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟。伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话：“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。

二、发散思维

数学发散思维的核心是培养学生的创造思维和创新能力，激发学生独立思考和创新的能力。在数学教学过程中，教师要抓住时机引导学生突破模式，摆脱框架思路的束缚，从不同角度灵活出题。学生对所给条件从不同角度分析、构想和重组，实现了思维的发散，学生的思路开阔了，分析问题，解决问题，探求新知识的能力逐步培养起来，学生的发散创新的意识也油然而生。教学中注重发散思维的训练，不仅可以使学生的解题思路开阔，妙法顿生，而且对于培养学生成为勇于探索新方法、新理论的创新人才具有重要意义。一题多解是训练发散思维的好素材，通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的方位、不同的观点分析思考同一问题，从而扩充思维的机遇，使学生不满足固有的方法，而求新法。

例如：设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，求当Sn取最小值时，n的值。

分析：

法一：利用等差数列的通项公式。由等差数列的等差中项的定义与首项的值，求出公差d=2，由题意不难分析出此数列为首项小于0的递增数列，也就是截止到某一项为止，后面的各项都是正数。因此，这一项与之前的所有项之和最小，所以令an=-11+2（n-1）≤0，解出n=6.5，得出这个数列前6项和最小。

法二：利用二次函数的性质。求出此数列的公差之后，利用等差数列的前n项和公式表示出Sn=-11n+2×■=n2-12n=（n-6）2-36，发现这是一个关于n的二次函数，图象开口向上，当n=6时取得最小值。

在数学教学过程中，要引导学生消除思维定势，思维定势就是按着一种固定的思路考虑问题，表现出思维的一种倾向性，它有积极性的一面，在条件不变的情境时，思维定势能使人迅速从“知识库”中提取已掌握的知识，迅速地解决问题，提高思维效率形成。但思维定势是影响发散思维的主要障碍，当条件或情境变化时容易产生错的方向或找不到解决问题的方法，因此，及时帮助学生消除思维定势的影响，扫除造成思维僵化的障碍，是培养学生思维需要解决的首要问题。教师应引导学生充分利用发散思维，从不同的角度和不同的方法加以分析。

三、创新思维

创新思维是一种求异思维，是一种复杂的高级思维过程。它的特点是主体对知识经验和思维材料进行新颖的组合分析、抽象概括以致达到人类思维的高级形态；它的结果，（下转第64页）（上接第52页）不论是概念、理论、假设、方案或是结论，都包括着新的因素，它是一种探新的思维活动。创新思维能力是一种深层次的心理分析能力，是一种冲破旧习惯、旧思维的束缚，进行多向、多维、多层面的思考，富有创意地提出问题、分析问题、解决问题的能力。在数学教学中，教师要自觉地启发学生多提问题，提问题是思维的结果，也是创新的开始，不要给学生立下很多规矩，更不要打棍子，即学生在学习过程中常会提出许多不同的看法或新见解，它往往蕴藏着智慧的萌芽，哪怕只有一点点新意，也应充分肯定和大力鼓励。

例如：有六根绳子，两端两两打结，能形成一个圆的概率是多少？

A—⊙—A我们可以把六根绳子看成是五个灯泡和一个电源，

B—⊙—B能形成一个圆即五个灯泡都亮。基本事件共有C5C5种

C—⊙—C情形，关键是五个灯都亮有多少种情况。可以按电

D—⊙—D流的方向考虑，与F相连有C5不妨设是E，与E

E—⊙—E相连有C4种，不妨设是D，依此类推共有C5C4C3C2

F—//—F种情形，因此P=■=■

在教学过程中，有利于培养学生数学创新思维的教学方法的选择，应着重于启发学生创造诱因和促进有序信息系统的产生，这样有助于建立学生主动探索、创新及合作学习的教学机制，有助于对学生学习方法的指导和培养，使学生在学会数学的过程中逐渐学会学习，从而培养学生的创造性思维打下更坚实的基础。

四、逆向思维

逆向思维是在研究问题时从反面观察事物，去做与习惯性思维方向完全相反的探索，顺推不行时考虑逆推解决，探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性，由此寻求解决问题的方法。事实上，正向思维定势经常制约了思维空间的拓展，有时，正面解题很难，不妨改变思维方向，产生新思想，从而提高学生从反向考虑问题的自觉性。在数学学习中，逆向思维主要表现在：逆用定义、公式、法则；逆向进行推理；反向进行证明（反证法）；从充要条件的反方向形成新结论（如探讨定理的逆命题是否成立）等等。数学教学中可以利用互逆因素，训练学生的逆向思维。

例如：求（■x-■y）5的展开式中各项的所有有理数系数之和。

分析：若正向思考，须用二项式定理展开后计算求和，比较麻烦。若从反向思考，不展开二项式，令x=y=1代入求得二项展开式各项系数的和，再从中提取有理数部分即得所求之值。原式中令x=y=1，使原式展开式中各项系数和为（■-■）15=（■）15=■，这是一个无理数，故知展开式中所有的有理数之和为零。

学生如果有逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质。在数学学习中，学生要有逆向思维能力，但这必须建立在丰富而扎实的“双基”知识，量力而行，适可而止，且有机有节地长期进行养成训练，切不可急于求成。

在数学课堂中，关注学生已有的生活经验和知识背景；关注学生的实践活动和直接经验，关注学生的自主探索和合作交流；关注学生的数学情感和情绪体验；使学生投入到丰富多彩充满活力的数学学习过程中去，从而有利于学生自信心和兴趣，激发创造诱因，增加创造性思维的信息储备，以促使学生能力、情感、知识的全面发展，并且加强各种思维的密切结合，进行各种思维形式的训练，对于培养学生的意识、能力具有十分重要的意义。

（作者单位：内蒙古扎兰屯二中 162650）

例如：有六根绳子，两端两两打结，能形成一个圆的概率是多少？

A—⊙—A我们可以把六根绳子看成是五个灯泡和一个电源，

B—⊙—B能形成一个圆即五个灯泡都亮。基本事件共有C5C5种

C—⊙—C情形，关键是五个灯都亮有多少种情况。可以按电

D—⊙—D流的方向考虑，与F相连有C5不妨设是E，与E

E—⊙—E相连有C4种，不妨设是D，依此类推共有C5C4C3C2

F—//—F种情形，因此P=■=■

在教学过程中，有利于培养学生数学创新思维的教学方法的选择，应着重于启发学生创造诱因和促进有序信息系统的产生，这样有助于建立学生主动探索、创新及合作学习的教学机制，有助于对学生学习方法的指导和培养，使学生在学会数学的过程中逐渐学会学习，从而培养学生的创造性思维打下更坚实的基础。

四、逆向思维

逆向思维是在研究问题时从反面观察事物，去做与习惯性思维方向完全相反的探索，顺推不行时考虑逆推解决，探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性，由此寻求解决问题的方法。事实上，正向思维定势经常制约了思维空间的拓展，有时，正面解题很难，不妨改变思维方向，产生新思想，从而提高学生从反向考虑问题的自觉性。在数学学习中，逆向思维主要表现在：逆用定义、公式、法则；逆向进行推理；反向进行证明（反证法）；从充要条件的反方向形成新结论（如探讨定理的逆命题是否成立）等等。数学教学中可以利用互逆因素，训练学生的逆向思维。

例如：求（■x-■y）5的展开式中各项的所有有理数系数之和。

分析：若正向思考，须用二项式定理展开后计算求和，比较麻烦。若从反向思考，不展开二项式，令x=y=1代入求得二项展开式各项系数的和，再从中提取有理数部分即得所求之值。原式中令x=y=1，使原式展开式中各项系数和为（■-■）15=（■）15=■，这是一个无理数，故知展开式中所有的有理数之和为零。

学生如果有逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质。在数学学习中，学生要有逆向思维能力，但这必须建立在丰富而扎实的“双基”知识，量力而行，适可而止，且有机有节地长期进行养成训练，切不可急于求成。

在数学课堂中，关注学生已有的生活经验和知识背景；关注学生的实践活动和直接经验，关注学生的自主探索和合作交流；关注学生的数学情感和情绪体验；使学生投入到丰富多彩充满活力的数学学习过程中去，从而有利于学生自信心和兴趣，激发创造诱因，增加创造性思维的信息储备，以促使学生能力、情感、知识的全面发展，并且加强各种思维的密切结合，进行各种思维形式的训练，对于培养学生的意识、能力具有十分重要的意义。

（作者单位：内蒙古扎兰屯二中 162650）

例如：有六根绳子，两端两两打结，能形成一个圆的概率是多少？

A—⊙—A我们可以把六根绳子看成是五个灯泡和一个电源，

B—⊙—B能形成一个圆即五个灯泡都亮。基本事件共有C5C5种

C—⊙—C情形，关键是五个灯都亮有多少种情况。可以按电

D—⊙—D流的方向考虑，与F相连有C5不妨设是E，与E

E—⊙—E相连有C4种，不妨设是D，依此类推共有C5C4C3C2

F—//—F种情形，因此P=■=■

在教学过程中，有利于培养学生数学创新思维的教学方法的选择，应着重于启发学生创造诱因和促进有序信息系统的产生，这样有助于建立学生主动探索、创新及合作学习的教学机制，有助于对学生学习方法的指导和培养，使学生在学会数学的过程中逐渐学会学习，从而培养学生的创造性思维打下更坚实的基础。

四、逆向思维

逆向思维是在研究问题时从反面观察事物，去做与习惯性思维方向完全相反的探索，顺推不行时考虑逆推解决，探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性，由此寻求解决问题的方法。事实上，正向思维定势经常制约了思维空间的拓展，有时，正面解题很难，不妨改变思维方向，产生新思想，从而提高学生从反向考虑问题的自觉性。在数学学习中，逆向思维主要表现在：逆用定义、公式、法则；逆向进行推理；反向进行证明（反证法）；从充要条件的反方向形成新结论（如探讨定理的逆命题是否成立）等等。数学教学中可以利用互逆因素，训练学生的逆向思维。

例如：求（■x-■y）5的展开式中各项的所有有理数系数之和。

分析：若正向思考，须用二项式定理展开后计算求和，比较麻烦。若从反向思考，不展开二项式，令x=y=1代入求得二项展开式各项系数的和，再从中提取有理数部分即得所求之值。原式中令x=y=1，使原式展开式中各项系数和为（■-■）15=（■）15=■，这是一个无理数，故知展开式中所有的有理数之和为零。

学生如果有逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质。在数学学习中，学生要有逆向思维能力，但这必须建立在丰富而扎实的“双基”知识，量力而行，适可而止，且有机有节地长期进行养成训练，切不可急于求成。

在数学课堂中，关注学生已有的生活经验和知识背景；关注学生的实践活动和直接经验，关注学生的自主探索和合作交流；关注学生的数学情感和情绪体验；使学生投入到丰富多彩充满活力的数学学习过程中去，从而有利于学生自信心和兴趣，激发创造诱因，增加创造性思维的信息储备，以促使学生能力、情感、知识的全面发展，并且加强各种思维的密切结合，进行各种思维形式的训练，对于培养学生的意识、能力具有十分重要的意义。

（作者单位：内蒙古扎兰屯二中 162650）