刍议初中数学中的分类讨论法

黄倩

摘 要：分类讨论既是初中数学的一个难点也是重点，在历届中考中通常以较难的题型出现，大多数同学容易丢分。为了能使同学们更深刻、更全面地掌握好这一数学思想方法，本文从分类方法、分类原则、分类方法的运用三大方面做一浅析。

关键词：初中数学；分类讨论法；应用探讨

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）03-314-01

分类讨论既是初中数学的一个难点也是重点，在历届中考中通常以较难的题型出现，大多数同学容易丢分。为了能使同学们更深刻、更全面地掌握好这一数学思想方法，下面我从分类方法、分类原则、分类方法的运用三大方面谈一谈。

一、分类方法

1、分类及其要素

分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，分类也叫划分。

数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。

分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类；从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。

分类具有三要素：

（1）母项，即被划分的对象；

（2）子项，即划分后所得的类概念；

（3）根据，即划分的标准。

2、分类标准

分类的关键在于正确选择分类标准。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行不重复、无遗漏的划分。

例如，将平行四边形分成矩形、菱形、正方形是不恰当的。因为在矩形和菱形中都包含正方形，而且还存在大量的既不是矩形也不是菱形的平行四边形。又如，将自然数分为质数和合数也是不正确的，因为遗漏掉“l”这个既非质数又非合数的自然数。

3、现象分类与本质分类

数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特征或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相同的对象分为不同的类别，而把本质上不相同的对象归为同一类别。所谓本质分类，即根据事物的本质特征或内部联系进行分类

二、分类的原则

任何分类，都必须遵循下列四个原则。

1、不重复

不重复，即要求分类应是纯粹的。

2、无遗漏

无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少。

3、标准同一

是在一次分类中只能按同一标准进行，两者不可混淆。

4、按层次逐步划分

分类应取被分类概念最邻近的概念按步骤进行，不能越级，应按层次逐步进行。否则就会出现越级划分的错误。

三、分类方法的应用

1、分类可使知识条理化、系统化

通过分类可以使大量繁杂的知识条理化、系统化，有助于人们更好地掌握知识和形成良好的知识结构，并为进行分门别类的深人研究创造条件。

2、分类讨论

所谓分类讨论，就是在解决问题时，根据解题需要对问题进行科学的、合理的分类，然后逐类进行讨论，从而使问题得到圆满解决。数学教学中引起“分类讨论”的原因大致有如下几个方面。

（1）由概念的定义引起的讨论

数学中许多概念的定义是分类给出的，如绝对值、平方根、一元二次方程的实根个数与系数的关系等。当题目中涉及到这些概念时就需要进行分类讨论。

例1：求y=√ax-2a+1的定义域。

分析：由ax-2a+1≥0得ax≥2a-1，于是

当a=0时，x是任何实数

例2：在平面内，已知一直线n外的两点A、B到直线n的距离分别为a、b（a

分析：必须考虑到在直线n外的两点A，B与直线n的位置关系是不确定的，有两点在直线n的同侧与异侧两种情况 .

（1）由问题中含有字母参数引起的讨论

许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值的不同，会使问题出现不同的结果。遇到这类问题，需要对字母参数的取值情况进行讨论。

（2）由于问题提供的情景比较复杂需要分类讨论

例3：从5双不同尺码的鞋子中任取4只，其中至少有2只配成一双，有多少不同的取法？

解法一：由于“任取4只鞋子，其中至少有2只配成1双”，实际上包括两种情况：

一类是，4只中只有2只配成一双；另一类是，4只中恰好配成两双。

解法二：如果没有限制条件，从5双中任取4只，共有120种取法。所有这些取法可以分为两类：

一类是，4只中没有2只能配成一双的取法；

另一类是，4只中至少有2只配成一双的取法，这正是所要求的取法。