微积分中关于极限概念的教学探究

陈 洁

（湖北工业大学理学院，湖北 武汉 430068）

微积分的基础和研究工具是极限理论,而极限理论的核心是极限概念,许多数学概念,例如连续、导数、积分等,都是建立在极限概念的基础上。搞好极限概念的教学不仅有利于整个微积分课程的学习,而且也关乎学生整个数学生涯的学习，但学生对极限概念的理解困难重重，因此，有必要研究极限概念的教学方法。

1 以生动有趣的例子引入极限的概念

著名的数学家、数学教育家赵访熊(1908-1996)教授指出“在教学中注重实效,反对照本宣科,应该经常用一些形象化、生动有趣的例子来讲解数学的基本概念”。 例如“国徽极限"的故事，“天安门上有个国徽,国徽里还有个小天安门,小天安门上还有个小国徽……,我们可以想象空间中存在一个点,在这个点周围有无穷多个天安门和无穷多个国徽。这个点就是天安门和国徽无穷系列的极限。这里讲的就是极限概念。

还有，著名的刘徽“割圆术”的例子。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割园”之说。所谓“割圆术”，在圆内作内接正六边形，每边边长均等于半径；再作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十二边形的边长，如此类推，从内接n边形的边长可推知内接2n边形的边长。从圆内接正n边形每边边长，可求得内接2n边形的面积。这样，即使边数极多的内接正多边形面积也可以一步步求解。根据极限观念，刘徽指出：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。 通过这些例子的讲解，可以引起学生的兴趣,开阔学生思维的广阔性和灵活性，激发他们学习微积分的热情。

2 引导学生知道微积分中极限思想的重要性

极限思想的运用是区别初等数学与高等数学的重要特征，把初等数学中对常量的研究，通过极限思想转变成微积分中变量的分析研究过程，同时伴随着由有限到无限观念的转变。极限也是贯穿微积分的重要知识点，可谓是没有极限思想就没有微积分。

极限概念是微积分最基本的概念,微积分中大量的其他基本概念都是用极限概念来表达的,例如连续、导数、定积分、级数、重积分概念、曲线积分概念及曲面积分概念等等。 因此，极限是研究无限的有力工具。例如在定积分的概念中，先通过无限可分,将有限的转化为无限的,再利用极限来研究,也就达到了利用极限来研究有限的目的由于极限概念是微积分的主要概念,极限理论是微积分的主要理论,极限是微积分的主要工具。因此，学生学好搞好极限概念，不仅能使学生学到必要的数学基本知识和技能,而且能为学生进行后期的专业课学习打好基础，增强学生的学习积极性。

3 帮助学生理解极限的概念

首先，直观地给出极限的描述性定义。即“如果当数列 ｛xn｝的项数n无限地增大时,无限地接近常数a,则称a是该数列的极限,记作在这里，数列 ｛x｝无限地接n

极限概念的重要性不言而喻。但学生难以很快地掌握极限,极限概念的不理解,容易造成了学生对于极限存在及可导、还续等概念关系的混淆。所以极限概念的教学更应该注重学生领悟的过程,而不能操之过急。近常数a，可以理解为“xn与常数a的距离 xn-a 无限的减小”。因此，xn-a 就定量地刻画了xn与a的接近程度。 xn-a 的值越小，则表示xn与常数a的接近程度越高。而 xn-a 无限的减小，就可以认为xn-a 可以任意的小，要多小有多小。即任意跟定多么小的正数ε，当n无限增大时，xn-a 可以小于给定的正数ε。

在这里，可以用正整数N来刻画n无限增大时，也就是说 xn-a＜ε，的条件是n要无限地增大。即无论任意给定的多么小的正数，总能找到一项N，使得从N+1项起，所有的项都满足 xn-a ＜ε。从而，可以给出极限的严格定义“对任意给定的正数，总存在正整数N，当n＞N时，恒有 xn-a ＜ε成立，则称a是该数列的极限,记作xn=a”

最后，极限概念是一个相当难度的概念,极限概念的学习应该是一个长期的过程,对极限概念的理解不是一蹴而就的,需要学生在长期的学习屮慢慢感悟。

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