基于计算机代数系统环境下的数学分析教学研究

孟 宪 吉

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

基于计算机代数系统环境下的数学分析教学研究

孟 宪 吉

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

数学分析课程是高等院校数学专业一门最重要的基础课程,学生对此门课程的学习效果直接影响对后续课程的学习。所以如何上好数学分析这门课程,是任课教师应该积极思考,认真反思的问题。对计算机代数系统应用到教学中的情况进行分析讨论。计算机代数系统在数学分析教学中是一种重要的认知工具,对教师和学生都有很大的影响,计算机代数系统不仅是有效的运算、作图工具,并且为数学实验及其他数学实践教学提供了的强有力保障,对数学思维的培养有很大作用。数学分析教学利用计算机代数系统不但可以使学生掌握数学知识,而且可以提高学生的创造力及应用能力。

计算机代数系统; 数学分析教学; 整合

0 引 言

计算机的出现,使学生的学习习惯和学习方式都发生了很大的转变,计算机代数系统的研究加速了数学分析课程教材改革步伐。通过师生对计算机在符号,算法,数值计算等方面的操作,使学生掌握数学分析的人机互动。本文从辩证的思想探讨了计算机和数学的关系,并且重点讨论了计算机代数系统环境下数学分析的教学论。寻求教材和计算机结合的数学分析课程的教学改革途径。

1 计算机代数系统的二元性

计算机代数系统与数学的关系是非常密切的,可以说没有数学,就没有计算机代数系统。一个世纪的数学知识的积累产生了第一台电子计算机。数学知识的发展导致了计算机的产生,同时数学也为计算机的发展提供了理论上的保证。随着计算机更深的发展,它对数学知识,思想和方法的要求越来越高。

反之,数学分析教学中的很多知识可以通过计算机代数系统来实现,包括数据的处理,逻辑运算,图形的形象展示等,并且可以多次重复的演示,模拟。不仅可以利用计算机代数系统解决大量人工无法实现的巨量计算问题,还可以利用计算机代数系统完成类似四色问题等许多困难定理的证明。

计算机的发展,一方面是硬件的发展,但是最重要的是让计算机正确工作的程序发展,没有严密的数学理论做支撑,就不会产生现代的计算机程序,就不可能产生现代的信息技术。反过来,现代的信息技术又能很好的促进数学的发展,同时,数学也有了更加广泛的用武之地。

2 基于计算机代数系统环境下数学分析的教学论

计算机代数系统的智能化,可以根据学习者的情况自动生成相应的教学内容和教学进度,同时实现了人机互动模式,到目前为止,由于历史条件的限制,教育的多种功能,教育的主要功能被一个次要功能----传授知识的功能掩盖了,教育的真谛在于:将知识转化为智慧,使文明积淀成人格,在数学上,计算机代数系统使这一追求成为真正的可能。

2.1计算机代数系统能提供丰富、形象生动的教学模式

数学分析知识具有抽象性的特点,基于计算机代数系统环境下教学可以激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性、主动性和发展学生的认知能力,使学生对抽象、复杂的概念直观化,问题就会变得简单,容易,从而使学生更易接受,达到事半功倍的效果。并且使学生对数学概念与数学关系有更加深刻的认识,改变传统的重知识,轻过程的教学做法。

2.2计算机代数系统能够使教学突出重点、难点,优化课堂结构

数学分析的本质是研究函数,基础是“变量”。研究“量”与“量”之间相互的关系,是一个动态的过程。计算机代数系统可以对重要的教学内容进行回放,一些重要的教学内容不仅要学生记忆还要理解,因此可以采用“放大”“回放”等方法强调重点内容,帮助学生理解记忆。数学分析中某些教学环节可以利用计算机的演示,让学生形象的感受变量之间的关系,从而有利于掌握知识的重点、难点。另外,在数学分析中还有很多地方需要借助图形解决,但是教师在黑板上用手画图形,既浪费了时间,又有很大的误差,所以借助于计算机,可以很好的优化课堂结构,同时也能够提高学生的学习兴趣。

2.3计算机代数系统具有很好的交互性、集成性

目前开发了许多数学方面的数学软件,这些软件都具有相当强大的绘图功能和计算功能,并且可以进行复杂的数据计算和人机互动能力。教师如果能熟练的将之用到教学中,可以把教学和练习融为一体,使学生和计算机始终处在一系列交替询问和回答中。个性化教学特性把以“教师为中心“转向以”学生为中心“。学生可以选择学习内容,适合自己学习进度的学习环境。计算机代数系统可以转变以往课堂学生只能被动接受教师的讲解的思维模式,学生可以自己探究数学规律,挖掘数学知识本质。必将提高学生数学分析的学习效果。

2.4计算机代数系统能够创设新颖的教学环境提供数学实验和其他数学实践活动

不断提高学生创新能力和应用能力的培养,加强实践教学环节是当前数学教学改革的核心内容,也是21世纪数学课程教学内容和课程体系改革的亮点。当前飞速发展的计算机技术和不断研发的计算软件为学生将课堂上所学的数学理论知识应用于实践提供了实验平台。借助计算机代数系统,学生可以完成数学知识的假设、实验、验证、修正、证明等一整套学习过程。学生学习数学分析时,当学到新知识并且和旧知识相类似的时候,学生可以先进行类比猜想,然后通过计算机仿真处理,验证自己猜想的正确性,如果验证不通过,则重新提出猜想。如果验证通过,则期望用数学逻辑语言给予证明。这样学生通过自我学习,既锻炼了学生的观察能力,思考能力,又能锻炼学生熟悉操作计算机能力,同时也能提高学生的逻辑推理能力。实现了学生的学习知识的目的,能够在思考中学习,在学习中创新。

3 计算机代数系统与数学分析课程整合的问题论

3.1从呈现方式上来讲,在对数学知识的深入理解方面,计算机代数系统有一定的局限

计算机代数系统虽然可以使答案更快的得到,不用通过很长时间的计算就能得到结果,使得计算、作图等变得非常容易。但是因为结果的呈现太完美,所以学生可能不会进行深入思考,这样教师就无法了解学生的实际情况,并作出相应的教学引导。另外,计算机代数系统虽然可以得到结果,但是中间有一些重要的数学思想和数学技巧并不能在计算机上体现出来。类似于一道选择题,学生可以给出正确答案,但是不代表学生一定会做。例如,用计算机代数系统计算积分问题时,计算机可以快速给出答案,但是如何得到的这个答案,并没有给出,而计算方法,计算技巧等恰恰是要求学生学习数学分析所必须掌握的,所以在具体教学中不能忽视对学生基本计算能力和基本逻辑思维能力的培养。

3.2从结果的处理来看,计算机代数系统有着自身固有的缺点

计算机代数系统虽然功能强大,但是并不是非常完善,很多时候它能够表示的数值的大小是有限的。因此信息技术在使用中又会给教师和学生带来新的困惑,例如用计算机代数系统解决有理函数的部分分式展开时,如果分子是一个无限小数时,计算机代数系统给出的答案只能是一个近似量。因此学生应该明确理解数学分析中题目的本质要求,方便用计算机代数系统时才能用,不能所有问题都用计算机来解决。

3.3从教学知识容量上看,计算机代数系统教学课堂容量大,学生注意力容易分散

有资料显示,一节50 min计算机代数系统教学课的容量可以相当于一节普通课的60～65 min,课堂容量增加接近三分之一,教师在课堂上讲授的内容也就相应增加。因为信息的大量涌入,会使学生失去思考和消化的时间,这样容易使学生注意力容易分散,精神不集中。反之,如果人为放慢讲课速度,减少知识容量,整个课堂就会显得松散、脱节。怎样克服这个矛盾,是教师应该思考的问题。数学分析课堂上,教师可以多采用启发式,问答式教学,让学生更多的参与到教学中去,这样既能避免学生注意力分散,又能使整个课堂内容充实、饱满。

3.4从交流方式而言,单纯使用计算机教学,会使教师和学生的感情交流出现障碍

如果一名教师只是在课堂上按照自己的理解和逻辑思维讲授知识,而没有照顾到学生的反映,那么这一定是失败的课堂。因为学生的认知水平和教师的知识水平有很大的差距。如果学生的注意力全集中在电脑屏幕上,机械地观赏显示来的画面和文字,而教师只是一个电脑操作员,这样必然造成没有师生之间情感上的交流,心灵上的沟通。学生的学习兴趣是学习的首要因素。如果学生某一个知识点没有理解到位,而教师又没有注意到,这样学生就有知识脱节的现象发生。特别是数学分析课程,逻辑推理要求非常严格,学生在其中任何一个环节出现不理解,将会导致学生失去兴趣,并且这种情绪带有延续性,后果非常严重。另外作为一名合格的教师,并不应该把传授知识当成是唯一目标,和学生的感情交流,帮助学生树立正确的人生观和价值观也是非常重要的。所以,教师应该在应用计算机教学时,必须关注学生的反映,做到缓急得当,控制计算机的使用节奏。

4 思考:结合计算机代数系统教学,恰当选择教学内容,探索新的教学模式

在数学分析教学中,结合计算机代数系统,只要应用得当,一定会取得良好的效果的。这就需要任课教师认真梳理教学内容,决定哪些知识可以结合计算机代数系统辅助教学,哪些知识只能通过传统教学来完成。教师应该结合目前学生的特点,把自己和学生摆在平等的位置,让学生对学习进行个性化管理。教师和学生应该做到教学相长,改变以前的一言堂教学模式,可以在合适的知识内容上充分调动学生的积极性,做到师生共同学习这样一种学习模式。但是目前倡导的“生本教育”并不适用于数学分析课程的学习。随着科技的不断进步,计算机技术的不断发展完善,计算机代数系统会越来越多的融入到数学分析教学课堂中来,效果也会越来越好。理论和实践相结合的教学模式,一定会促进数学分析教育的研究和发展。

5 实 例

求函数y=sinx在x=0处前10项的麦克劳林级数展开式。

传统做法是必须计算sinx的1到10阶导数,并且还需要计算1到10的阶乘,再代入已有公式,非常浪费时间。应用计算机代数系统,则可以节省大量时间。

命令如下:

Symsx;

f=sin(x);

taylor(f,x,10,0)

运行结果为:

ans=

x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9

6 数学分析教学中建议结合计算机代数系统教学的内容

数列极限概念;函数极限概念;导数的几何意义;罗尔定理与拉格朗日定理;一元函数泰勒公式的有限项展开;函数图像的讨论;定积分的概念;定积分的计算;平面图形的面积;由平行截面面积求体积;平面曲线的弧长与曲率;旋转曲面的面积;定积分在物理中的某些应用;定积分的近似计算;无穷积分的计算;瑕积分的计算;函数的幂级数展开;傅里叶级数;多元函数的方向导数与梯度;多元函数的泰勒公式与极值问题;第一型曲线积分的概念;第二型曲线积分的概念;二重积分的概念;三重积分的概念;曲面的面积;质心;转动惯量;第一型曲面积分的概念;第二型曲面积分的概念;高斯公式。

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IntegratingcomputeralgebrasystemintoMathematicalAnalysisteaching

MENGXianji

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Mathematical analysis, an essential course for math majors in college, has a great effect on the learning of other courses of further study. Therefore teachers need to think deeply and creatively about how to conduct the course effectively. This paper discusses how to integrate computer algebra system into mathematical analysis teaching. As an important cognitive tool in mathematical analysis teaching, computer algebra system has a great impact on both teachers and students. It not only works as an efficient computational and graphing tool but also serves as a strong guarantee for mathematical experiments and other practice teaching, which contributes a great deal to cultivating students’ mathematical thinking. Applying computer algebra system to mathematical analysis teaching enables students to acquire mathematical knowledge and at the same time inspire their innovation and improve practical ability.

computer algebra system; mathematical analysis teaching; integration

2014-06-06。

辽宁省普通高等学校本科教育教学改革研究项目(UPRP20140526)。

孟宪吉(1973-),男,辽宁沈阳人,沈阳师范大学副教授,硕士。

1673-5862(2014)04-0545-04

G642

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.04.019