两幂等变换值域与核相等问题研究

袁 力

(郧阳师范高等专科学校 数学与财经系，湖北 十堰 442000)

由于幂等变换所具有的特殊性质，使得其值域与核在矩阵的对角化问题及空间的直和分解中都有重要的应用，现已成为一个研究热点并取得了一些有价值的结论。2012年朱一心讨论了有限维线性空间上线性变换方幂的像与核的直和问题，并将结论推广到了无限维线性空间[1]；杨欣芳给出了线性变换的像与核对空间直和分解的一个充分条件[2]；吴校良对线性变换的像与核之间的维数关系式做了较为详细的描述[3]；汪杏枝系统总结了线性空间上两个线性变换的象与象，核与核，象与核的关系[4][5]。

在对已有成果进行认真总结和分析的基础上，我们发现对于定义在同一线性空间上两个不同的幂等变换，它们的值域与核之间也有着非常密切的联系。本文将在此条件下对幂等变换值域与核的相等问题展开进一步讨论，结合近年来的教研成果，给出一些有益的结论。

2 定义与主要结论

定义1 设σ是线性空V间的一个线性变换,满足σ2=σ,则称为幂等变换。

定义2 设σ是线性空间V的一个线性变换,σ的全体像组成的集合σ(V)称为σ的值域,用Imσ表示；所有被σ变成零向量的向量组成的集合σ-1(0)称为σ的核,用kerσ表示[6]。

定义3 设线性空间V上的一个线性变换σ满足rankσ2=rankσ,则称σ是一个幂等秩的线性变换[7]。

首先给出一个同一线性空间上两个不同幂等变换的值域与核分别相等的充分必要条件。

定理1 设σ,τ是定义在数域P上n维线性空间V上的两个幂等变换，则

(1)σ与τ有相同值域的充分必要条件是στ=τ，τσ=σ；

(2)σ与τ有相同的核的充分必要条件是στ=σ，τσ=τ[1]。

证 (1)必要性设σ(V)=τ(V),则对于任意α∈V,

因σ(α)∈σ(V)=τ(V), 所以存在δ∈V, 使得σ(α)=τ(δ)。

即有τσ(α)=τ2(δ)=τ(δ)=σ(α), 由α的任意性可知τσ=σ。

同理可证στ=τ。

充分性设στ=τ，τσ=σ,则对于任意σ(α)∈σ(V),有σ(α)=τ(σ(α))∈τ(V), 此即

σ(V)⊆τ(V)。

同理可证τ(V)∈⊆σ(V)，所以σ(V)=τ(V)。

(2)必要性若σ-1(0)=τ-1(0)，对任意β∈V，作向量β-σ(β)

因σ(β-σ(β))=σ(β)-σ2(β)=σ(β)-σ(β)=0，所以β-σ(β)∈σ-1(0)=τ-1(0)

又因τ(β-σ(β))=τ(β)-τσ(β)=0，所以τ(β)=τσ(β)

由β的任意性，故有τσ=τ。

作向量β-τ(β)，则τ(β-τ(β))=τ(β)-τ2(β)=τ(β)-τ(β)=0，

所以β-τ(β)∈τ-1(0)=σ-1(0)，

又σ(β-τ(β))=0，所以σ(β)=στ(β)

由β的任意性，故有στ=σ。

充分性若στ=σ，τσ=τ，任取α∈σ-1(0)，

由τ(α)=τσ(α)=τ(σ(α))=τ(0)=0，所以α∈τ-1(0)，从而σ-1(0)⊆τ-1(0)

任取β∈τ-1(0)

由σ(β)=στ(β)=σ(τ(β))=σ(0)=0，所以β∈σ-1(0)，从而τ-1(0)⊆σ-1(0)

综合可得σ-1(0)=τ-1(0)。

其实对定理1的条件与结论深入分析，还可以得到如下推广的结论：

定理2 设σ，τ是定义在数域P上n维线性空间V上的两个线性变换，且σ是k次幂等，τ是l次幂等,则

(1)σ与τ有相同值域的充要条件是：σk-1τ=τ，τl-1σ=σ

(2)σ与τ有相同的核的充要条件是：στl-1=σ，τσk-1=τ

证 (1)必要性因σ(V)=τ(V),对于任意β∈V，则τ(β)∈τ(V)=σ(V)，

即存在α∈V， 使得τ(β)=σ(α)，

又因σk=σ，所以有(σk-1τ)β=σk-1(τ(β))=σk-1(σ(α))=σk(α)=σ(α)=τ(β)

由β的任意性可知σk-1τ=τ。

同理可证τl-1σ=σ。

充分性因σk-1τ=τ，则τ(V)=(σk-1τ)V=σ(σk-2τ)V⊂σ(V)

同理可知σ(V)⊂τ(V)，故σ(V)=τ(V)。

(2)必要性因τl=τ，即τl-τ=τ(τl-1-ε)=0，则对任意α∈V，有τ(τl-1-ε)=0，

即(τl-1-ε)α∈τ-1(0)

又因σ-1(0)=τ-1(0)，则(τl-1-ε)α∈σ-1(0)即(σ(τl-1-ε))α=(στl-1-σ)α=0，

由α的任意性可知στl-1=σ。

同理可证τσk-1=τ。

充分性因στl-1=σ,则对于任意α∈V,(στl-1-σ)α=(σ(τl-1-ε))α=σ((τl-1-ε)α)=0

即(τl-1-ε)α∈σ-1(0) ,

又因τ((τl-1-ε)α)=(τl-τ)α=0，即(τl-1-ε)α∈τ-1(0)

由α的任意性,可知σ-1(0)⊆τ-1(0)。

同理可证τ-1(0)⊆σ-1(0),故σ-1(0)=τ-1(0),证毕。

对于两幂等变换值域与核之间对应相等，我们有下面的结论：

定理3 设σ是定义在数域P上n维线性空间V上的幂等变换,ε为恒等变换,则τ=ε-σ为幂等变换,且kerσ=τ(V)，kerτ=σ(V)。

证 因τ2=(ε-σ)2=ε2-2σ+σ2=ε-2σ+σ=ε-σ=τ,故为幂等变换。

对于任意α∈τ(V),则存在β∈V,使得α=τ(β)=(ε-σ)β=β-σ(β)

等式两边同时用σ作用,可得σ(α)=σ(β-σ(β))=σ(β)-σ2(β)=σ(β)-σ(β)=0

所以α∈σ-1(0),即τ(V)⊆kerσ。

反之，对于任意β∈kerσ,则σ(β)=0,且有τ(β)=(ε-σ)β=β-σ(β)∈τ(V)，即kerσ⊆τ(V)。

综上可知kerσ=τ(V)。

同理可证kerτ=σ(V)。

幂等变换是幂等秩线性变换的特殊情况，下面在更一般的条件下，即当σ,τ为幂等秩线性变换时，其值域与核相等问题还可有如下结论：

定理4 设σ,τ是定义在数域P上n维线性空间V的两个幂等秩的线性变换

1) 若σ(V)=τ(V),则στ(V)=τ(V)=σ(V)=τσ(V)

2) 若kerσ=kerτ,则kerστ=kerσ=kerτ=kerτσ

证 1)因σ,τ均为幂等秩的线性变换，且有σ(V)=τ(V)

则(στ)V=σ(τ(V))=σ(σ(V))=σ2(V)=σ(V)=τ(V)=τ2(V)

=τ(τ(V))=τ(σ(V))=(τσ)V

2) 因kerσ=kerτ，设α是ker(τσ)中任一向量，则στ(α)=σ(τ(α))=0

则可知τ(α)∈ kerσ，故也有τ(α)∈kerτ，所以τ(τ(α))=τ2(α)=0

即α∈kerτ2=kerτ，所以α∈kerτ。由α的任意性可知：kerστ⊆kerτ，kerστ⊆kerσ。

同理可证kerτσ⊆kerσ，kerτσ⊆kerτ

而kerτ⊆kerστ，kerσ⊆kerτσ显然成立，所以kerστ=kerσ=kerτ=kerτσ。

3 结语

文章对同一线性空间上两个不同幂等变换的值域与核相等问题展开了讨论，给出了两者相等的一个充要条件，并把此充要条件推广到了p次幂等变换的值域与核上来，同时得到了一个两幂等变换核与值域之间分别对应相等的充分条件。以此为基础，在更一般的条件下，给出了两幂等秩线性变换值域与核对应相等的一个必要条件，为进一步开展线性变换的值域与核对空间直和分解问题的研究做了一些基础性的工作。

[参考文献]

[1] 朱一心,马雪松, 范兴亚,等.关于线性变换的像空间与核空间的直和[J].数学的实践与认识，2012,42(18):267-272.

[2] 杨欣芳. 线性空间分解为线性变换的核与像的直和的一个充分条件[J].韶关大学学报(自然科学版)，1996,17(4):9-12.

[3] 吴校良.线性变换的核空间与像空间的维数关系式[J].内蒙古民族大学学报，2012,18(2):3-4.

[4] 汪杏枝.维线性空间上的两个线性变换的像与核[J]湖北师范学院学报，2001,21(4):20-23.

[5] 姜 琴,袁 力.关于两幂等变换值域与核的一点注记[J].郧阳师范高等专科学校学报，2013,33(6):21-23.

[6] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003:302-303.

[7] 汪杏枝.维线性空间上的幂等秩的线性变换[J].湖北师范学院学报，2001,21(2):18-22.