一种基于参数估计的自适应双边滤波算法

南栋，毕笃彦，马时平，娄小龙，倪嘉成

(空军工程大学 航空航天工程学院，陕西 西安，710038)

自然场景下，在获取图像时不可避免地会引入噪声，尤其是高斯白噪声[1]。因而，图像去噪是图像处理领域中一项基本而又关键的技术，其结果直接决定后续处理的性能。滤波作为图像去噪的一项重要手段，其基本原理是将图像中的每个点与其相邻的几个像素点的像素值作加权平均卷积运算。在其处理过程中，如何有效滤除噪声并较好保持图像边缘细节，成为各种滤波算法的关键。为了在滤除噪声的同时保持图像边缘信息，Tomasi 等[2]提出了双边滤波算法(bilateral filtering)。它是一种非线性滤波算法，具有非迭代、运算简洁以及局域特性等优点[3-4]，但其效果由空间标准差和亮度标准差这2 个参数同时决定，参数选择不当会导致处理结果有较大差异。本文作者针对不同噪声水平、边缘强度图像，提出一种基于参数估计的自适应双边滤波算法：从文献[5]出发，估计图像的噪声水平，进而自适应调整双边滤波的空间标准差参数；同时，从图像可见边缘强度计算出发[6]，自适应调整亮度标准差参数；最终实现双边滤波参数根据输入图像的本质特征自适应获取，避免了参数的人工设置，在滤除噪声的同时最大程度地保持了图像的边缘信息的有效性。

1 基于参数估计的双边滤波算法框架

1.1 双边滤波

双边滤波方法是基于高斯滤波方法提出的，主要是针对高斯滤波中将高斯权系数直接与图像信息作卷积运算进行图像滤波的原理，将滤波权系数优化成高斯函数和图像亮度信息的乘积，优化后的权系数再与图像信息作卷积运算，这样就能在滤波的同时考虑到图像信息中的边缘细节，使图像在正常高斯滤波后很模糊的边缘信息保持清晰。本文认为所处理的自然有噪图像均为零均值加性高斯噪声图像[7]，生成模型如下所示：

式中：I(x,y)为获取的噪声图像；f(x,y)为无噪图像；n 为服从零均值高斯分布噪声。通过双边滤波后的图像为[8]：

式中：Ibf(p)为像素点p 经双边滤波后的值；I 为输入像素点亮度； wp为归一化参数；p 为输入像素点；s为p 的邻域；q 为邻域中的像素点；Gσs和Gσr分别为空间函数和亮度函数，定义为[9]：

式中：σs和 σr分别为空间标准差和亮度标准差参数。不同参数下的双边滤波结果见图1。从式(3)和图1 可知：随着 σs变大，空间函数作用变得突出，使图像去噪效果更明显，但过大时会导致图像纹理特征过于模糊；随着 σr变大，亮度函数作用变的平滑而稳定，其在亮度突变得边缘基本保持恒定，使双边滤波转化为高斯低通滤波，从而失去对边缘保持的约束作用[10]；当 σs或 σr过小时，双边滤波的滤波作用均会消失[11]。因此，针对不同噪声水平、边缘强度图像，选择合理有效的参数，明确各参数之间的关联，从而达到最佳的滤波效果，一直是双边滤波亟需解决的问题。

图1 不同参数下的双边滤波结果Fig.1 Results of bilateral filtering with different parameters

1.2 基于主成分分析的噪声水平估计

从噪声图像生成模型出发，将式(1)看作为欧式空间中的向量运算，取空间中的单位向量为u，本文认为图像与噪声不相关，因此，对式(1)求其在u 方向上的方差，可得

式中：V(x)为x 项的方差； σn为高斯噪声的标准差，即所需求取的噪声水平。定义单位向量u 的最小取值为

采用PCA 方法[12]，计算图像I 的方差：

式中：i ≠ j时， uiTuj=0； ΣI为I 的协方差矩阵；λi为 ΣI的第i 个特征值。对式(4)的等式两边同时求最小方差可得

在图像的弱纹理区域可近似认为最小能量分量λmin(Σf)=0，因此，可得到噪声水平的估计值：

式中：ΣI′为选择的弱纹理区域的协方差矩阵。

1.3 图像可见边缘强度计算

文中定义出的图像可见边缘强度为：

式中：N 为图像中像素点总数；e 为本文定义的图像可见边缘强度，反映一幅图像的整体边缘强度水平；Is为所有可见边缘像素点数总和，

式中：Isobel(x,y)为图像经sobel 算子检测后的结果。

2 本文算法实现

将噪声水平、边缘强度水平分别和空间标准差、亮度标准差进行线性相关运算，通过计算最优滤波效果，求取在峰值信噪比最大下的参数系数。

2.1 空间标准差参数自适应获取

选择合理的弱纹理区域是参数估计的关键，图像的弱纹理区域定义来源于图像的奇异值分解[13]：

式中：GI为图像的梯度矩阵；Dh和Dv分别为水平和垂直梯度导数算子；CI为图像的梯度协方差矩阵；s12和 s22分别为最大和最小特征值，分别代表主能量和次能量，因此，当 s12＜50 时，认为该图像区域为弱纹理区域，对应的梯度协方差矩阵近似为零矩阵。在弱纹理区域情况下，求式(1)的梯度协方差矩阵的均值：

求得的矩阵在对角上的元素有相同的概率分布，因此， 只需求出左上角的元素分布。 令v (n)=nTDhTDhn ，可求出其矩量母函数：

式中： λi为DhTDh的第i 个特征值；N 为特征值数量。因为伽马分布的矩量母函数为

式中：α 为形状参数；β为尺度参数。对比式(13)和(14)，可以得到v(n)的近似分布函数：

式中：δ 为最大累积分布概率，设定为0.99tr(DhTDh)为DhTDh的迹，F 为伽马累积分布函数；σn为估计的噪声分布水平。最终，采用迭代运算来计算图像的噪声水平，具体步骤如下：

1) 以图像的每一个像素点为左顶点，可划分出数个7×7 的区域；

3) 由式(15)计算分布函数 τ(k)，将梯度协方差矩阵的均值中v(k)(n)≤ τ(k)的区域作为弱纹理区域，得到新的弱纹理区域集合w(k+1)；

实验表明，经过3 次迭代运算即可估计出噪声水平[5]。本文认为，图像噪声水平与空间标准差参数为线性关系，如下式所示：

2.2 亮度标准差参数自适应设置

图像可见边缘强度直接决定人眼视觉对图像认知质量的优劣，因此，为了在保证滤波效果的同时，能够满足人眼的视觉愉悦性，采用下式来约束亮度标准差参数：

为了得到合理有效的参数系数，对100 幅不同图像加入不同强度的随机噪声，并对其进行双边滤波处理，可发现：当a=9，b=14 时，滤波后图像能够获得最佳峰值信噪比。

3 实验结果及分析

为了进一步验证算法的有效性，选择2 幅人工加噪图像和2 幅含有自然噪声的图像进行实验，分别采用引导滤波算法[14]、自适应流形滤波算法[15]以及本文算法进行处理，结果如图2～5 所示。

实验中，引导滤波算法和自适应流形滤波算法在进行滤波时，所选用参数均为经验取值。从实验结果可以看出：在一般噪声情况下，3 种滤波算法的效果基本相同(如图2 和图4 所示)；但当场景噪声水平有较明显变化时，引导滤波算法和自适应流形滤波算法不具备自适应性，因此，不能获得较好效果，而本文算法则能取得较理想结果(如图3 和图5 所示)。针对人工加噪和自然有噪图像滤波，采用不同的客观评价方法。表1 所示为人工加噪图像滤波后的峰值信噪比对比，表2 所示为人工加噪图像滤波后采用噪声水平估计[5]的结果，表3 所示为自然有噪图像滤波后平均梯度的对比，表4 所示为自然有噪图像滤波后采用噪声水平估计[5]的结果。

由表1～4 可知：在滤波后图像的平均梯度均有所下降，并且3 种算法对边缘的保持能力基本一致；同时，本文滤波算法在滤波后能够有效去除噪声，获取最大峰值信噪比，由此可进一步说明本文自适应滤波算法的优越性能。

图2 加入强度为0.1 的随机噪声图像滤波结果Fig.2 Results of image filtering with manual noise(σn=0.1)

图3 加入强度为0.2 的随机噪声图像滤波结果Fig.3 Results of image filtering with manual noise(σn=0.2)

图4 图像“猩猩”的滤波结果Fig.4 Filtering results of image“orangutan”

图5 图像“剧院”的滤波结果Fig.5 Filtering results of image“theatre”

表1 人工加噪图像滤波结果信噪比对比Table 1 PSNR value of image filtering with manual noise

表2 人工加噪图像滤波结果噪声水平对比Table 2 Noise level of image filtering with manual noise

表3 自然有噪图像滤波结果平均梯度对比Table 3 Average gradient value of image filtering with natural noise

表4 自然有噪图像滤波结果噪声水平对比Table 4 Noise level of image filtering with natural noise

4 结论

1) 在弱纹理区域选择和Sobel 边缘检测算子基础上，分别提出了图像的噪声水平和边缘强度这两大基本特性的估计方法。

2) 提出了一种自适应的滤波算法，最优地选取了空间标准偏差和亮度标准偏差参数，保证了滤波后图像的最佳峰值信噪比，为面向现有新型快速滤波器、设计其在最佳约束条件下的自适应滤波算法提供了有效思路。

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