2阶子群均共轭置换的4p2及4pq阶群

雪君霞

(西南大学数学与统计学院，重庆 北碚 400715)

如无特别说明，本文涉及的群均为有限群.符号H ＜·G表示H为群G极大子群，［A］B表示A与B的半直积，其中A◁［A］B，Cn表示n阶循环群，Q4n表示4n阶广义四元数群，D2n表示2n阶二面体群，A4表示12阶交错群，Sn表示n次对称群，其余符号都是标准符号．

子群H为G的共轭置换子群是指H满足对G中任意元素g均成立HgH=HHg，记为H＜c-pG．显然，正规子群一定是共轭置换子群，但反之未必，共轭置换子群是正规子群的推广．从共轭置换子群概念引入以来，一些群论学者就利用Sylow子群、极大子群等某些特殊子群的共轭置换性质来刻画群的可解性及幂零性等，得到了一些有用的结果，见文献［1-3］．本文利用共轭置换子群来刻画2阶子群均共轭置换的非交换有限群，分类了具有该特性的4p2及4pq阶有限群.

1 主要引理

在作者的讨论中，需要下列引理:

引理1［4］群G的共轭置换子群具有下列基本性质:

(1)若H ＜c-pG，且H≤K，则H ＜c-pK;

(2)若N ◁G，H ＜c-pG，则HN N＜c-pGN;

(3)若G的所有极大子群均在G中共轭置换，则G幂零;

(4)若P ＜c-pG，且P∈Sylp(G)，则P ◁G;

(5)若H ＜c-pG，H ＜·P，且P∈Sylp(G)，则H◁G或P ◁G;

(6)若H是G的一极大共轭置换子群，则H◁G;

(7)若H ＜c-pG，且H为单群，则对任意g∈G ，有 H=Hg或［H，Hg］ =1;

(8)若H ＜c-pG，则H◁◁G.

2 定理的证明

定理1 若4p2阶群G的所有2阶子群均在G中共轭置换，其中p为奇素数，则G为下列群之一:

(1)G幂零;

(2)G≅A4×C3;

(3)G≅Q4p2;

(4)G≅〈a，x，ya4=xp=yp=［x，y］=1，a-1xa=x-1，a-1ya=y-1〉 ;

(5)G ≅ 〈a，x，ya4=xp=yp= ［x，a］ =［x，y］ =1，a-1ya=y-1〉 .

证明 设G=HP，H∈Syl2(G)，P∈Sylp(G).

假设G幂零.由于H为交换群，于是G的2阶子群均在G中正规，故情形(1)成立.

假设G不幂零.下面分两种情形讨论.

(1)若 H不循环，则 H为初等 Abel群，且H◁G.事实上，若H的2阶子群均在G中正规，则H◁G.若H有2阶子群H1G，则H1＜c-pG，又H1＜·H，据引理1(5)，可知H◁G.因G不幂零，于是P G，从而存在p阶子群〈x〉G，使得H〈x〉 成群，又 Aut(H)=6 ，故 p=3，且H〈x〉 =A4.此时，若〈x〉是P唯一的3阶子群，则P循环.令P=〈g〉，让g共作用到H上，g诱导出H的9阶自同构，这与 Aut(H)=6相矛盾，这表明P还有不同于〈x〉的3阶子群〈y〉．

若CG(H)=H，则P≅G H=NG(H)CG(H)＜～Aut(H)，而 Aut(H)=6，故P =9 ，矛盾.故CG(H)＞H，因 G不幂零，于是 CG(H)=4×3，从而P有3阶子群在G中正规，不妨假定〈y〉◁G.所以 P= 〈x〉 × 〈y〉 ，且［H，〈y〉］ =1，于是G≅A4×C3，从而情形(2)成立.

(2)若H循环，则P◁G，于是H=〈a〉 G.因 〈a2〉 ＜c-pG ，据引理1(5)，知 〈a2〉◁G.

当P循环时，令P= 〈x〉 ，a-1xa=xr，于是r2≡ 1(mod p2)，因 G不幂零，从而 r2≡-1(mod p2)，即a-1xa=x-1，故G≅〈a，xa4=xp2=1，a-1xa=x-1〉 ，即 G≅Q4p2，故情形(3)成立.

当P不循环时，P为初等Abel群，可令P=〈x〉 × 〈y〉 .

若P的所有p阶子群均在G中正规，因G不幂零，且 〈a2〉◁G，于是 a-1xa=x，a-1ya =y-1，或 a-1xa=x-1，a-1ya=y-1.若前者成立，则 a-1(xy)a=xy-1∉ 〈xy〉 ，即 〈xy〉 G.这与P的所有p阶子群均在G中正规相矛盾.若后者成立，则 G≅〈a，x，ya4=xp=yp= ［x，y］=1，a-1xa=x-1，aya=y-1〉 ，于是情形(4)成立.

若P有p阶子群K在G中不正规，不妨令K= 〈y〉 ，因 a2∈ Z(G)，于是a-1(yya)a=yya，从而yya∈Z(G).不妨令x=yya.有G≅〈a，x，ya4=xp=yp= ［x，a］ = ［x，y］ =1，a-1ya=y-1x〉 .令 y1=yx(p-1)2，则 a-1y1a=y-1x(p+1)2=y1-1，于是 G ≅ 〈a，x，ya4=xp=yp= ［x，a］= ［x，y］ =1，a-1ya=y-1〉 ，故情形(5)成立.

定理2 若4pq阶群G的所有2阶子群均在G中共轭置换，其中p，q为奇素数，且p＜q，则G为下列群之一:

(1)G为循环群或有唯一2阶子群的亚循环群;

(2)G≅C2×C2×Cp×Cq;

(3)G≅(［Cq］Cp)×H，其中H为4阶初等Abel群，且 pq-1;

(4)G≅A4×Cq，其中q＞3;

(5)G≅［H ×Cq］C3，其中HC3≅A4，［C3，Cq］≠ 1 ，且 3q-1.

证明 设G=HPQ，其中H∈Syl2(G)，P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G).

有G是可解群.事实上，任取G的一个2阶子群K，据引理1(7)，知KG为初等Abel-2群，于是 KG=2或4，从而 GKG=2pq或pq，故GKG可解，又KG可解，所以G可解.

若H循环，则G的所有Sylow子群均循环，于是G为循环群或亚循环群.令H=〈x〉.当H◁G 时，显然 〈x2〉◁G ，当 H G 时，若 〈x2〉

G，则P 或Q NG(〈x2〉)，不妨令P NG(〈x2〉)，则〈x2〉 〈x2〉P ，据引理1(1)，知〈x2〉 ＜c-p〈x2〉P，又据引理1(5)，有〈x2〉 在 〈x2〉P中的正规闭包非循环初等 Abel 2-群.这与 〈x2〉P =2p相矛盾，故〈x2〉◁G.这表明G有唯一的2阶子群，故情形(1)成立.

若 H不循环，则 H为初等 Abel群，且H◁G.事实上，若H的2阶子群均在G中正规，则H◁G.若H有2阶子群H1G，则H1＜c-pG，又H1＜·H，据引理1(5)，可知H◁G.

假设G幂零，有G≅C2×C2×Cp×Cq，故情形(2)成立．

假设G不幂零，若Q G，因G可解，且P循环，于是Q◁PQ．这表明Q ［H］Q，又Q≅HQH=NHQ(H)CHQ(H)＜～Aut(H)，而 Aut(H)=6，从而Q =3，这与q＞p相矛盾，故Q◁G.因G不幂零，于是 P G.这样，有4阶初等 Abel群H◁G，p阶循环群P G，且q阶循环群Q◁G.

当P◁HP时，［H，P］=［H，Q］=1，因G不幂零，于是G=(［Q］P)×H ，即G=(［Cq］Cp)×H，其中H为4阶初等Abel群，且pq-1，故情形(3)成立．

当PHP时，P≅HP H=NHP(H)CHP(H)＜～Aut(H)，而 Aut(H)=6，于是P =3，从而HP≅ A4，若 P◁PQ ，则［Q，P］=1，又［Q，H］=1，于是G=(［H］P)×Q ，即G≅A4×Cq，其中q＞3，故情形(4)成立.若P PQ，由于［Q，H］=1，HP≅A4，且QP=［Q］P，于是G≅［H× Cq］C3，其中 HC3≅ A4，［C3，Cq］≠ 1 ，且3q-1，故情形(5)成立.

［1］张勤海，赵俊英.幂零群的若干等价条件［J］.西南师范大学学报：自然科学版，2005，30(1)：26-30.

［2］裴旭莲，钟祥贵.共轭置换子群与群的幂零性［J］.广西师范大学学报：自然科学版，2007，25(3)：26-30.

［3］陈顺民，陈贵云.共轭置换子群与有限群的可解性［J］.云南大学学报：自然科学版，2008，30(5)：443-447.

［4］Foguel T.Conjugate-permutable Subgroups［J］.Journal of Algebra，1997，191(1)：235-239.