浅谈复变函数与积分变换的课堂教学

吕 诚，孙秀华

（安徽建筑大学 数理系，安徽 合肥 230022）

浅谈复变函数与积分变换的课堂教学

吕 诚，孙秀华

（安徽建筑大学 数理系，安徽 合肥 230022）

复变函数与积分变换课程无论是概念的理解还是定理的证明都比数学分析或高等数学更加困难，但其与工科相关的专业课程有着重要关联，因此为提升课堂教学的效果，让学生更好地掌握该课程，本文从多个角度探讨教学中应注意的方面，以期能够有效地提高教学质量.

复变函数；解析函数；留数；泰勒展开

在高等院校，一般电子、通信、电气以及信息计算科学等专业的学生都要开设《复变函数与积分变换》这一课程，开设时间大致在大二第一学期或第二学期[1,2]，即学完高等数学或工科数学分析之后，与其同期开设的数学课程还有线性代数和概率统计.事实上，学完该课程之后，基本上数学类基础课的学习阶段也就结束了，或者说自此以后的大学学习不会再开设系统的数学类课程.一方面这门课程是电磁、通信和计算机等相关课程的重要数学理论基础，对后续专业课程的学习极为重要；另一方面该课程的学习对整个大学数学基础的提高也十分重要，如果学生能将高等数学的基础理论融会贯通，用于本门课程的学习，并在该课程学习中完全掌握大学数学类课程的特点，那么以后学习中所要涉及的数学方面的知识就可以自主的补缺补差，乃至继续深造研究生时遇到更为复杂的矩阵类课程、代数类课程或计算方法类课程时，也可游刃有余的加以应对.因此在教授《复变函数与积分变换》时，作为教师应当更加深入浅出的讲解，授学生以渔，而非授学生以鱼[3].让学生通过学习这门课程，理解大学的数学学习应达到的高度，从而更加自主地学习.

1 注重概念的理解

在复变函数中有许多概念，而且这些概念都似曾相识，但又有所不同，比如同样是三角函数，但高等数学中的正弦函数与复变函数中的正弦函数却有着很多不一样的性质.因此要特别强调复变函数的教学一定要注重对概念的理解.以下就谈谈几个具体的概念.

比如在刚涉及“复变函数的概念”阶段，如果仅仅介绍一下定义，学生会把最重要的知识点忽视掉，而对之后的学习一头雾水.可以将以下几个方面融入课程教学中讲解.

（1）看似是函数概念的推广，但与通常理解的函数却有所不同，这里因复数运算不可回避多值问题，故定义中只需要存在性与确定性，而不再要求唯一性.

（2）复变函数ω=f(z)与高等数学中一元函数y=f(x)看起来相似，但是差别很大.一元函数y=f(x)几何意义是平面曲线，二元函数u=f(x,y)几何意义是空间曲面[4]，而复变函数ω=f(z)的几何意义是映照，即能够将z平面的图形映成ω平面上相应的图形.

（3）实数范围的初等函数推广到复数范围时，很多性质发生改变.如三角函数，在实数中，sinl表示l弧度角的正弦；而复数中，sin(l+i)已经无法表示具体角度相关的意义了，自然不同于之前的理解，但很多三角函数的公式仍然适用.当然有些性质会变，其中正弦函数最具代表性的有界性没有了，这里的ω=sinz是无界的.

再有复变函数中的重点和难点——留数，如果单纯介绍概念就直接讲解计算留数的方法，虽然多数学生可以依葫芦画瓢，仿照例题进行计算.但心中有很多困惑会阻碍他们接受这一全新概念.可从如下方面加以讲授.

（1）为什么要引入留数：学生会认为引入留数就是为了多一种方式计算形如的积分.于是自然会问：用柯西积分公式、柯西积分定理和高阶导数公式已经可以求解闭合曲线上的定积分，不用留数如何.其实虽然用上述方法可以不考虑具体路径——即曲线C，就可以求解积分，但并非可以解决所有问题，如用柯西积分公式便无法解出.此外留数用另一种方式告诉我们为什么当f(z)在曲线C的内部不解析时，积分有时为零有时不为零.

2 将类比的方式贯彻到教学当中

当我们接触一个新的知识点，一般都会十分费力，但如果可以从以往的学习中找到相应的一些影子帮助我们接受新概念，则会轻松很多.同时复变函数与积分变换很多知识点是由高等数学中推广而来的，也提供了这样的机会帮助人们类比相应知识点，因此特别提倡将类比的方式贯彻教学当中.

比如解析函数的概念，刚涉及时大多数学生都会感到困难，可从以下方面进行类比.

（1）将复变函数中的解析与可导类比：从定义中可概括“解析”为“局部可导性”.f(z)在一点z0处解析不仅要求在该点z0可导，同时还要在该点的某邻域可导，即考察该点处的“局部可导性”.但f(z)在区域解析与f(z)在区域可导等价.

（2）将复变函数中的解析与高等数学的一元函数可导类比：如果ω=f(z)在z0解析，则在z0任意阶导数存在且连续，而一元函数y=f(x)具有一阶导数，却未必二阶可导；ω=f(z)在z0解析，其任意n阶导数可形式上表为，但一般对于高数中求y=f(x)的n阶导数需从一阶开始求至(n-1)阶导数，才可继续求导得n阶导数，并没有公式可直接求y=f(x)的n阶导数.

（3）将复变函数中解析函数与高等数学的一元函数的泰勒展开进行类比：y=f(x)即便n阶可导，未必(n+1)阶可导，故可导函数y=f(x)不一定具有泰勒展开，但ω=f(z)只要在某圆盘解析，一定具有泰勒展开；y=f(x)即便具有任意阶导数，虽可以形式上写出泰勒展开，但这样的泰勒级数未必收敛，即使收敛也不一定收敛到f(x)，但解析函数ω=f(z)按各阶导数写出泰勒级数便可得到泰勒展开.

3 结束语

很多学生在学习数学类课程时，普遍感觉难度很大，学习动力不足.如果教学时多注意方式、方法，将数学严谨的思维方式和有效的学习方法加以结合，往往可激发学生的学习潜能，让学生感受到学习数学的快乐[5].

〔1〕盖云英,包革军.复变函数与积分变换[M].北京:科学出版社,2001.

〔2〕苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社,2003.

〔3〕王焱平.关于复变函数与积分变换的几点注记[J].绍兴文理学院学报，2013，33(8):1-4.

〔4〕同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007.

〔5〕李士生，陈仁霞，程东旭.复变函数与积分变换教学方法与考核方式[J].宜春学院学报，2013,35 (6):145-146.

G642.0

A

1673-260X（2014）10-0250-02

安徽省自然基金项目资助(KJ2011z057)