Hilbert K-模上广义框架的不相交性*

董芳芳

(天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水 741001)

HilbertK-模是一种特殊的HilbertC*-模，K为作用在Hilbert空间上的全体紧算子组成的C*-代数。显然I∉K，Bakic等[1]证明了这种模一定有特殊的标准正交基，其特殊点在于相同基向量的内积为K中的一个秩1的自伴投影(见定义2)，下面我们先给出与本文有关的HilbertK-模的相关概念。

定义1[1]设K为作用在Hilbert空间Η上的全体紧算子组成的C*-代数，M是复数域C上的线性空间，M是左K-模，满足：μ(kx)=(μk)x=k(μx)，其中任意的μ∈C，k∈K，x∈M，若〈,〉:M×M→K具有性质:

(i) 〈x,x〉≥0，∀x∈M；

(ii) 〈x,x〉=0⟺x=0，∀x∈M；

(iii) 〈x,y〉=〈y,x〉*，∀x,y∈M；

(iv) 〈kx,y〉=k〈x,y〉，∀k∈K，∀x,y∈M；

定义2[1]称序列{vλ,λ∈Λ}为HilbertK-模M的标准正交序列，若对任意的λ,μ∈Λ，

其中ξ∈H，且‖ξ‖=1 (H为Hilbert空间)，eξ，ξ∈K如下定义：

对任意的η∈H，eξ,ξ(η)=(η,ξ)ξ

定义3[2]称HilbertK-模M中的序列{xλ,λ∈Λ}为框架，若存在常数c>0,d>0，使得对任意的x∈M，

若c=d=1，则称{xλ,λ∈Λ}为正规紧框架，若只有右半部等式成立，则称{xλ,λ∈Λ}为Bessel序列。

定义4[2]设M1,M2均为HilbertK-模，T:M1→M2是K-线性算子(即T(kx)=kT(x)，任意的x∈M1，k∈K)，若存在K-线性算子T*:M2→M1，使得对任意的x∈M1，y∈M2，〈Tx,y〉=〈x,T*y〉，则称T是可伴算子。

注：若T可伴，则T必是K-线性的，且T有界，反之不然。

命题1[2]设M1,M2均为HilbertK-模，若T:M1→M2是可伴算子，则对任意的x∈M1，〈T(x),T(x)〉≤T2〈x,x〉。

1 Hilbert K-模上的广义框架

我们再由上面{Aj,j∈J}的引入，显然有

这样如何把算子序列{Aj,j∈J}定义为框架，Bessel序列，正规紧框架，自然就与HilbertK-模上序列{xλ,λ∈Λ}定义为框架，Bessel序列，正规紧框架的定义方法联系起来，当然为了区别起见，这里称为广义框架，广义Bessel序列，广义正规紧框架，并且与孙文昌[3-6]引入的Hilbert空间上的g-框架的概念相类似，但引进思路不同。下面我们给出HilbertK-模上的广义框架的定义。

定义5 设M，Nj均为HilbertK-模，Aj:M→Nj为可伴算子，称算子序列{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义框架，若存在A>0，B>0，使得对任意的x∈M，有

特别地，若A=B=1，则称{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义正规紧框架，将a,b分别称为其广义下，上框架界；若只有右半不等式成立，则称{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义Bessel序列。

定义6[3]称序列{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基，若满足：

2 Hilbert K-模上广义框架的框架变换

由于在HilbertK-模M上，l2(K)不存在，也就是没有意义将M膨胀，从而在以往的研究中，我们在M本身上引入了框架{xλ,λ∈Λ}的框架变换，并研究了其性质。受这点启发，下面我们在M自身上引入广义框架{Aj,j∈J}的框架变换。

根据定义我们易知Φ为单射。事实上，由于{Aj,j∈J}为广义框架，从而存在a,b>0，使得

即

a〈x,x〉≤〈Φ(x),Φ(x)〉≤b〈x,x〉

事实上，对任意的x∈M，

〈Φ*Φ(x),x〉=〈Φ(x),Φ(x)〉=

3 Hilbert K-模上广义框架的不相交性

从文献[7]中可以看到：Hilbert 空间上的广义序列的性质与其诱导序列有关，受这点的启发，本节我们把HilbertK-模上广义框架{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}的(强)不相交和它们各自的诱导序列联系起来，并结合它们各自的广义框架变换的值域，得到了一些重要结论。

定义8 设{Aj,j∈J}为M1关于Nj的(正规紧)广义框架，{Bj,j∈J}为M2关于Nj的(正规紧)广义框架，且其诱导序列分别为{eξ,ξxj,λ,j∈J,λ∈Λ}和{eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}，称{Aj,j∈J}与{Bj,j∈J}(强)不相交，若{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}为M1⊕M2的(正规紧)框架。

证明我们结合K-模上框架理论知识有：广义正规紧框架{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}强不相交当且仅当{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}为M1⊕M2的正规紧框架。

必要性：若{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}为M1⊕M2的正规紧框架，则对任意的x∈M1，y∈M2，

⊕y,eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ〉·

〈eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,x⊕y〉=

〈x,x〉+〈y,y〉=〈x⊕y,x⊕y〉

即{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}为M1⊕M2的正规紧框架，本定理得证。

定理2 设{Aj,j∈J}为M1关于Nj的g-框架，{Bj,j∈J}为M2关于Nj的广义框架，其广义框架变换分别为Φ1和Φ2，则{Aj,j∈J}与{Bj,j∈J}不相交当且仅当Φ1(M1)∩Φ2(M2)={0},且Φ1(M1)+Φ2(M2)是闭的，其中Φ1(M1)和Φ2(M2)分别为Φ1和Φ2的值域。

证明由于{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}为M1⊕M2的框架，则存在a>0,b>0，使得

即，{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}为M1⊕M2的框架当且仅当存在a>0,b>0，使得

a〈x⊕y,x⊕y〉≤〈Φ1(x)+Φ2(y),

Φ1(x)+Φ2(y)〉≤b〈x⊕y,x⊕y〉

(*)

必要性：反设0≠z∈Φ1(M1)∩Φ2(M2)，则存在u∈M1，v∈M2，使得Φ1(u)=Φ2(v)=z，不妨取w=-v∈M2，则

Φ1(u)+Φ2(w)=Φ1(u)-Φ2(v)=z-z=0，从而要使得(*)式成立，即a〈u⊕w,u⊕w〉≤〈Φ1(u)+Φ2(w),Φ1(u)+Φ2(w)〉=0≤b〈u⊕w,u⊕w〉，只能有〈u⊕w,u⊕w〉=0，即〈u,u〉+〈w,w〉=0，而〈u,u〉≥0,〈w,w〉≥0，因此u=w=0，即Φ1(u)=Φ1(0)=0,Φ2(v)=Φ2(-w)=Φ2(0)=0，也即z=0，这与反设矛盾，从而只有Φ1(M1)∩Φ2(M2)={0}。

充分性：我们引入K-线性算子：T:Φ1(M1)⊕Φ2(M2)→Φ1(M1)+Φ2(M2)，使得对∀a∈Φ1(M1),∀b∈Φ2(M2)，T(a⊕b)=a+b，则T是定义好的。

事实上，若a⊕b=0，即0=〈a⊕b,a⊕b〉=〈a,a〉+〈b,b〉，而〈a,a〉≥0,〈b,b〉≥0，从而只有a=b=0，即a+b=0。且T是可伴算子，T*:Φ1(M1)+Φ2(M2)→Φ1(M1)⊕Φ2(M2)，使得T*(e+f)=(e+f)⊕(e+f)，其中任意的e∈Φ1(M1),f∈Φ2(M2)。

我们先证明T是单射：对任意的a∈Φ1(M1),b∈Φ2(M2)，若a+b=0，即a=-b，则存在x∈M1,y∈M2，使得Φ1(x)=a=-b=-Φ2(y)，即Φ1(x)=-Φ2(y)=Φ2(-y)，而Φ1(M1)∩Φ2(M2)={0}，从而只有Φ1(x)=Φ2(-y)=0，即a=b=0，从而a⊕b=0，即T是单射。

我们再证明T是满射，即T*是单射。事实上，对∀e∈Φ1(M1),∀f∈Φ2(M2)，若(e+f)⊕(e+f)=0，则 0=〈e+f)⊕(e+f),e+f)⊕(e+f)〉=2〈e+f,e+f〉，从而只有：e+f=0。

综上，我们知T是双射，即T为可逆算子，根据文献[8]的相关知识，有：

‖T-1‖-2〈a⊕b,a⊕b〉≤

〈T(a⊕b),T(a⊕b)〉≤‖T‖2〈a⊕b,a⊕b〉

即

‖T-1‖-2〈a⊕b,a⊕b〉≤〈a+b,a+b〉≤

‖T‖2〈a⊕b,a⊕b〉

从而对任意的x∈M1,y∈M2，显然：Φ1(x)∈Φ1(M1),Φ2(y)∈Φ2(M2), 则由上式，有

‖T-1‖-2〈Φ1(x)⊕Φ2(y),Φ1(x)⊕Φ2(y)〉≤

〈Φ1(x)+Φ2(y),Φ1(x)+Φ2(y)〉≤

‖T‖2〈Φ1(x)⊕Φ2(y),Φ1(x)⊕Φ2(y)〉

即

‖T-1‖-2〈Φ1(x),Φ1(x)〉+〈Φ2(y),Φ2(y)〉≤

〈Φ1(x)+Φ2(y),Φ1(x)+Φ2(y)〉≤

‖T‖2〈Φ1(x),Φ1(x)〉+〈Φ2(y),Φ2(y)〉

又由于{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均为广义框架，则存在a,b,c,d>0，使得

〈Φ1(x),Φ1(x)〉≤b〈x,x〉;

〈Φ2(x),Φ2(x)〉≤d〈x,x〉

从而

min{a,c}(〈x,x〉+〈y,y〉)≤

〈Φ1(x),Φ1(x)〉+〈Φ2(y),Φ2(y)〉≤

max{b,d}(〈x,x〉+〈y,y〉)

即

‖T-1‖-2min{a,c}〈x⊕y,x⊕y〉≤

〈Φ1(x)+Φ2(y),Φ1(x)+Φ2(y)〉≤

‖T‖2max{b,d}(〈x,x〉+〈y,y〉)=

‖T‖2max{b,d}〈x⊕y,x⊕y〉

从而{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}为M1⊕M2的框架，即{Aj,j∈J}与{Bj,j∈J}不相交。

另外，由T的可逆性知，Φ1(M1)+Φ2(M2)是闭的。

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