概率论与数理统计中的数学建模案例

孙建英

（青岛理工大学琴岛学院基础部，山东青岛 266106）

0 引 言

《概率论与数理统计》与《高等数学》、《线性代数》并称为理工类高等本科院校的三大基础学科，它的重要性已不言而喻。尤其是随着计算机的迅猛普及，概率统计在经济、管理、金融、保险、医学、生物等方面的应用更是得到了长足的发展，但是概率论与数理统计中有很多抽象的概念、定理，学生理解起来都比较困难，更别提应用自如了，而且现在很多院校使用的教材从知识的讲解角度来讲，虽无可挑剔，堪为经典，但是案例过于陈旧，数量不足，这就要求高校教师要不断地自我学习，更新案例，使学生深刻体会到概率论与数理统计这门学科强大的生命力和发展动力［1－6］。文中将数学建模的案例和思想引入概率论与数理统计课堂中，教学中从问题到理论，再从理论到应用，让学生体会到“学以致用”的真正含义，从而激发学生的学习兴趣和探索精神。

1 数学建模案例在概率论与数理统计中的应用

1.1 案例1：概率论与数理统计课程的引入

“兴趣是最好的老师”，紧紧抓住学生的好奇心，是概率论与数理统计课程第一堂课要做的事情。概率论最早起源于历史上两位伟大的数学家帕斯卡和费马关于赌资分配问题的一次伟大的通信。我们把它变成这样一个简单的数学模型。甲、乙两个人去射击，各自押了50元钱，看谁能射中靶心，规则是先正中靶心三局的赢得全部赌资。结果三局后，赌局被迫中断了，此时，乙一胜两负，问如何分配这100元赌资。这个问题可以留给学生们课下讨论，学完等可能事件的概率后，就会发现进行五局比赛后，一定能分出胜负，已经进行了三局，剩下的两局共有四种情况，甲赢的情况有三种，所以甲乙按照3∶1来分赌资，甲分得75元，乙分得25元。

1.2 案例2：全概率公式和贝叶斯公式的应用

概率中的很多问题与人们的生活是息息相关的。像常说的“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，可以用独立事件的概率来分析，“狼来了”的故事就可以用全概率和贝叶斯公式来分析。把“狼来了”这个故事抽象成这样一个数学模型，假设小孩第一次喊狼来了时是半真半假的，他说假话时，狼真的来的概率为0.25，他说真话时，狼真来的概率为0.8，当他说了两次假话后，村民还会相信狼真的来了吗？

解：设Ai表示“小孩第i次喊话时，狼没来”，Bi表示“小孩第i次说谎”，i＝1，2，则

村民第一次受骗的概率为：

村民第一次受骗后，小孩说谎的概率就上升为：

村民第二次受骗的概率为：

同时小孩说谎的概率就上升为：

大家说，村民们受了两次骗后，第三次还会去帮助这个爱说谎的孩子吗？

1.3 案例3：棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理的应用

保险问题近几年一直是个热点话题，保险公司确定的远远高于保险费的赔偿金会不会导致保险公司赔本？保险公司如何来确定每个人交付的保险费？我们把这些问题抽象成这样一个数学模型。某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，保险公司支付2万元赔偿金，已知一个人一年内发生重大人身事故的概率为0.005，如今有5 000人参加保险，问保险公司盈利的概率为多少？

解：设X为一年中发生重大人身事故的人数，则X～B（n，p），n＝5 000，p＝0.005，np＝25，由棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理得，保险公司盈利的概率为

这是一个很经典的案例，我们可以把它扩充的更丰富一些，就能用一个简单的案例却让学生多角度、深层次地把握这个知识。思考如下：

问题（1）：保险公司一年内从该项业务得到的收益在10万元到20万元之间的概率为多少？

问题（2）：从保险公司的角度，如果每个人要交的保险金为b元，要保证公司这个业务盈利的可能性大于99%，那么这个b该如何确定？

问题（3）：要保证公司这个业务盈利超过10万元，则如何确定每个人要交的保险金b元？

2 结 语

数学建模进入大学课堂的20多年，可以说已从星星之火迅速发展成为燎原之势，除了数学建模大赛的推动外，数学建模这门课程本身的这种提出问题、分析问题、模型建立、模型求解、模型检验、修正模型等解决问题的思想越来越被广大的教育工作者所接受，并广泛应用到各自的专业领域里，取得了良好的效果［7－8］。但是在运用过程中，教师们也要把握住几点：

1）如何把这些案例恰如其分地引入到课堂上，既能帮助学生们理解和应用所学到的知识，又不喧宾夺主地占用过多的课堂时间，不能把概率论和数理统计课堂变成数学建模课；

2）除了课堂上，课外也可以布置一些开放性的数学建模案例，通过学生们自己动手查资料，讨论，激发他们自主学习的兴趣，还能进一步巩固课堂知识；

3）对教师们也提出了更高的要求，教师们自己也要广泛地涉猎其它专业领域，寻找合适的案例更新自己的案例库，提高教学水平和科研能力。

［1］ 王新春，肖继光，刘晓红.案例在概率论教学中的应用［J］.河北理工大学学报：社会科学版，2010，10（2）：105-107.

［2］ 葛玉丽，徐少贤，邵曙光.在概率统计教学中融入数学建模思想的教学探讨［J］.南阳师范学院学报，2010，9（12）：86-88.

［3］ 霍玉洪.切比雪夫不等式及其应用［J］.长春工业大学学报：自然科学版，2012，33（6）：712-714.

［4］ 陈海杰，沙荣方，刘明华.应用案例分析提高概率论与数理统计教学效果［J］.东北农业大学学报：社会科学版，2012，10（01）：98-100.

［5］ 王昕，程希明.概率论与数理统计案例教学探析［J］.沈阳师范大学学报：自然科学版，2013，31（3）：372-375.

［6］ 侯嫚丹.数学建模思想融入概率论与数理统计的研究［J］.高师理科学刊，2013，33（3）：76-7.

［7］ 唐小峰，姚云飞.数学建模案例融入高等数学教学的研究［J］.阜阳师范学院学报：自然科学版，2013，30（2）：87-89.

［8］ 施三支.大学数学课程的教学改革与数学建模［J］.长春理工大学学报：社会科学版，2013（5）：192-193.