电场中的带电体在理想绳束缚下的两种运动

程龙

电场中的带电体由静止释放时，在绳束缚下可能做两种运动：圆周运动、先匀加速直线运动再圆周运动，分清楚这两种运动模型和对应的条件，可以避免由此引发的错误.

1.圆周运动

例1 如图1所示，在一个平行板电容器所形成的水平方向的匀强电场中，用细线在固定点悬挂一个质量为M的小球，小球带负电，小球的重力为小球所受电场力的3倍，现将小球拉至细绳正好水平伸直的A位置后自由释放，绳子不可伸长，求：小球到最低点B处时线上拉力的大小？

图1 图2解析 带电体没有初速度，电场力和重力的合力斜向右下方，如图2所示.粒子能否沿直线运动？假设粒子沿直线运动，则物体到悬点的距离增大，要求绳子伸长，而理想绳是不可伸长的，所以由于绳子的束缚物体沿圆弧做圆周运动.

对物体从A到B的过程应用动能定理

12mv2=mgL-qEL

对B点列牛顿第二定律方程

T-mg=mv2L

解得 T=9+233mg

2. 先直线运动再圆周运动

例2 如图3所示，在一个平行板电容器所形成的水平方向的匀强电场中，用细线在固定点悬挂一个质量为M的小球，小球带正电，小球的重力为小球所受电场力的3倍，现将小球拉至细绳正好水平伸直的A位置后自由释放，绳子不可伸长，求：小球到最低点B处时线上拉力的大小？

图3 图4解析 球在重力与电场力的共同作用下，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，直至C点，在C点绳子被拉直，此时tanθ=mgqE=3，θ=60°，如图4所示，线长为L，由动能定理可求得球刚到C点时的速度v0，qELcotθ+mgLsinθ=12mv20，v0=2gl3，小球在C点受到细线的拉力作用，速度发生突变，由v0变为与OC垂直方向的速度v1，把合速度v0进行正交分解，分解为沿半径OC方向的分速度v2和沿切线方向的分速度v1，v1=vCcos30°=3gL， 即v2在线拉力的作用下瞬间减至零.

对小球由C到B的运动过程应用动能定理，有

mgL（1-cos30°）+qELsin30°=12mv2-12mv21 （1）

在B点TB-mg=mv2L （2）

（1）（2）联立可得 TB=（3+33）mg

要非常注意电荷的正负和电场的方向，因为它们影响电场力的方向，电场力的方向影响物体的运动形式.在绳子束缚下电场中的带电体由静止释放一般有两种运动模式.

1.一直沿圆周运动

条件：电场力和重力的合力沿绳方向的分力背离圆心，绳子绷紧.

2.先沿直线做匀加速加速运动，再沿圆周运动

条件：电场力和重力的合力沿绳方向的分力背离圆心，绳子松弛.

电场中的带电体由静止释放时，在绳束缚下可能做两种运动：圆周运动、先匀加速直线运动再圆周运动，分清楚这两种运动模型和对应的条件，可以避免由此引发的错误.

1.圆周运动

例1 如图1所示，在一个平行板电容器所形成的水平方向的匀强电场中，用细线在固定点悬挂一个质量为M的小球，小球带负电，小球的重力为小球所受电场力的3倍，现将小球拉至细绳正好水平伸直的A位置后自由释放，绳子不可伸长，求：小球到最低点B处时线上拉力的大小？

图1 图2解析 带电体没有初速度，电场力和重力的合力斜向右下方，如图2所示.粒子能否沿直线运动？假设粒子沿直线运动，则物体到悬点的距离增大，要求绳子伸长，而理想绳是不可伸长的，所以由于绳子的束缚物体沿圆弧做圆周运动.

对物体从A到B的过程应用动能定理

12mv2=mgL-qEL

对B点列牛顿第二定律方程

T-mg=mv2L

解得 T=9+233mg

2. 先直线运动再圆周运动

例2 如图3所示，在一个平行板电容器所形成的水平方向的匀强电场中，用细线在固定点悬挂一个质量为M的小球，小球带正电，小球的重力为小球所受电场力的3倍，现将小球拉至细绳正好水平伸直的A位置后自由释放，绳子不可伸长，求：小球到最低点B处时线上拉力的大小？

图3 图4解析 球在重力与电场力的共同作用下，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，直至C点，在C点绳子被拉直，此时tanθ=mgqE=3，θ=60°，如图4所示，线长为L，由动能定理可求得球刚到C点时的速度v0，qELcotθ+mgLsinθ=12mv20，v0=2gl3，小球在C点受到细线的拉力作用，速度发生突变，由v0变为与OC垂直方向的速度v1，把合速度v0进行正交分解，分解为沿半径OC方向的分速度v2和沿切线方向的分速度v1，v1=vCcos30°=3gL， 即v2在线拉力的作用下瞬间减至零.

对小球由C到B的运动过程应用动能定理，有

mgL（1-cos30°）+qELsin30°=12mv2-12mv21 （1）

在B点TB-mg=mv2L （2）

（1）（2）联立可得 TB=（3+33）mg

要非常注意电荷的正负和电场的方向，因为它们影响电场力的方向，电场力的方向影响物体的运动形式.在绳子束缚下电场中的带电体由静止释放一般有两种运动模式.

1.一直沿圆周运动

条件：电场力和重力的合力沿绳方向的分力背离圆心，绳子绷紧.

2.先沿直线做匀加速加速运动，再沿圆周运动

条件：电场力和重力的合力沿绳方向的分力背离圆心，绳子松弛.

电场中的带电体由静止释放时，在绳束缚下可能做两种运动：圆周运动、先匀加速直线运动再圆周运动，分清楚这两种运动模型和对应的条件，可以避免由此引发的错误.

1.圆周运动

例1 如图1所示，在一个平行板电容器所形成的水平方向的匀强电场中，用细线在固定点悬挂一个质量为M的小球，小球带负电，小球的重力为小球所受电场力的3倍，现将小球拉至细绳正好水平伸直的A位置后自由释放，绳子不可伸长，求：小球到最低点B处时线上拉力的大小？

图1 图2解析 带电体没有初速度，电场力和重力的合力斜向右下方，如图2所示.粒子能否沿直线运动？假设粒子沿直线运动，则物体到悬点的距离增大，要求绳子伸长，而理想绳是不可伸长的，所以由于绳子的束缚物体沿圆弧做圆周运动.

对物体从A到B的过程应用动能定理

12mv2=mgL-qEL

对B点列牛顿第二定律方程

T-mg=mv2L

解得 T=9+233mg

2. 先直线运动再圆周运动

例2 如图3所示，在一个平行板电容器所形成的水平方向的匀强电场中，用细线在固定点悬挂一个质量为M的小球，小球带正电，小球的重力为小球所受电场力的3倍，现将小球拉至细绳正好水平伸直的A位置后自由释放，绳子不可伸长，求：小球到最低点B处时线上拉力的大小？

图3 图4解析 球在重力与电场力的共同作用下，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，直至C点，在C点绳子被拉直，此时tanθ=mgqE=3，θ=60°，如图4所示，线长为L，由动能定理可求得球刚到C点时的速度v0，qELcotθ+mgLsinθ=12mv20，v0=2gl3，小球在C点受到细线的拉力作用，速度发生突变，由v0变为与OC垂直方向的速度v1，把合速度v0进行正交分解，分解为沿半径OC方向的分速度v2和沿切线方向的分速度v1，v1=vCcos30°=3gL， 即v2在线拉力的作用下瞬间减至零.

对小球由C到B的运动过程应用动能定理，有

mgL（1-cos30°）+qELsin30°=12mv2-12mv21 （1）

在B点TB-mg=mv2L （2）

（1）（2）联立可得 TB=（3+33）mg

要非常注意电荷的正负和电场的方向，因为它们影响电场力的方向，电场力的方向影响物体的运动形式.在绳子束缚下电场中的带电体由静止释放一般有两种运动模式.

1.一直沿圆周运动

条件：电场力和重力的合力沿绳方向的分力背离圆心，绳子绷紧.

2.先沿直线做匀加速加速运动，再沿圆周运动

条件：电场力和重力的合力沿绳方向的分力背离圆心，绳子松弛.