一类时滞切换模糊系统的静态输出反馈控制

杨 红, 陶冠男, 张 乐

(沈阳大学 信息工程学院, 辽宁 沈阳 110044)

混杂动态系统(Hybrid Dynamical Systems)是同时包含连续变量动态和离散事件动态及其相互作用的复杂系统.近年来,随着现代控制理论和计算机技术等高新技术的发展,特别是计算机信息处理速度的不断提高、存储量的增加,以及多任务实时处理功能和通信功能的提高,混杂动态系统广泛应用于通信网络、现代工业生产制造系统、交通系统、军事系统等大规模复杂系统[1-4].切换系统是混杂动态系统中一类有影响的重要类型.切换系统的特点是包含有限个子系统或动态模型,同时附加一个切换规律,使子系统之间可以进行切换.许多实际系统可以概括为切换系统,如dc-to-dc电转炉系统(power converter)、电容电路系统(capacitor networks)[5-6]等.

另外,随着现代工业过程日趋复杂,模糊集理论已成为人工智能及控制应用中最为活跃的研究领域之一.近几年,基于模型的方法逐渐占优势,而T-S模糊系统是最常用的模糊模型[7-9].切换模糊系统将切换融于模糊理论中,描述客观实际中连续与离散模式的耦合关联及其相互作用的复杂非线性现象[10-12].该系统突破了文献[13-14]采用的两级结构,能直接在每个子模糊模型之间进行切换,切换规则可设计为变量的任意组合函数,弥补了目前依赖单一变量切换的不足.与切换系统和模糊系统的研究成果相比,关于切换模糊系统控制的研究成果还很少见,特别是切换模糊系统的输出反馈控制方面更不多见.

与状态反馈控制相比,利用输出反馈控制,有利于提高系统的抗干扰性和系统的可靠性[15].本文应用线性矩阵不等式方法,研究了一类不确定时滞切换模糊系统的输出反馈镇定问题.利用多Lyapunov函数方法,给出了由线性矩阵不等式描述的输出反馈镇定的存在条件,并给出了相应的设计方法.

1 问题描述

考虑如下形式的不确定时滞连续切换模糊系统:

(1)

式中,uσ(t)表示系统的控制输入;Aσi,Bσi,Cσi表示适当维数的常数矩阵;d>0为时滞常数; ΔAσi,ΔAσid,ΔBσi是反映系统模型中参数不确定性的未知矩阵, 且假定其是范数有界的,满足以下形式:

对于系统(1),考虑如下形式的第r个不确定时滞切换模糊系统:

(5)

设第r个静态输出反馈规律为

(6)

则第r个不确定切换模糊时滞系统的全局模型为

2 主要结果

定理对于系统(1), 如果存在同时非负或同时非正的常数βrg(r=1,2, …,l;g=1,2, …,l)及正定矩阵Pr,Q, 满足如下线性矩阵不等式:

(8)

则存在静态输出反馈(6)和切换律σ=σ(x(t)),使得系统(1)是渐近稳定的.

证明 不妨设βrg同为非负.显然,对于∀x∈Rn{0},必有一个r∈M,使得xT(Pr-Pg)x≥0, ∀g∈M, 则由矩阵不等式(8)知, 对于此向量, 有

(9)

取Lyapunov函数

式中,Pr为满足式(8)的对称正定矩阵.构造如下切换律:

(10)

则

另外,可以得到

和

(KrjCrk)T(DriF(t)E3)TPr+

PrDriF(t)E3KrjCrk≤

(13)

且又有

则

应用二次型不等式化矩阵的方法可以将式(15)化简为如下形式:

3 仿真实例

这里考虑一种房间空气调节系统的控制设计方案.系统的动态方程为[16]

式中,u为控制量;T1为空调房间的时间常数,min;T2为蒸汽加热器的时间常数,min;Tn为空调房间的空气温度变化,℃;k1为恒温室的放大系数;k2为电动执行器的放大系数.当温度较低时,T1=20.30 min,T2=1 min.当温度较高时,T1=30.40 min,T2=2.5 min.

为了说明所研究的切换模糊系统(switched fuzzy system)的优势,现在与文献[13]中的Example 1 switching fuzzy system做比较:

Region Rule 1: ifx2(t)≥1, then

Local Region Rule 1: ifx2(t) ish11(x2(t)), then

Local Region Rule 2: ifx2(t) ish12(x2(t)), then

Region Rule 2: ifx2(t)<1, then

Local Region Rule 1: ifx2(t) ish21(x2(t)), then

Local Region Rule 2: ifx2(t) ish22(x2(t)), then

下面对本文所研究的切换模糊系统(switched fuzzy system)和文献[13]中的switching fuzzy system取相同的值,其中

隶属度函数选取为[16]

利用MATLAB的LMITOOLBOX可解得

令

则Ω1∪Ω2=Rn{0}.下面给出切换律的设计:

(16)

那么系统(1)在切换律(16)下是渐近稳定的.SIMULINK仿真时,取相同的初始条件x(0)=[-5 5]T,结果如图1和图2所示.

图1 不确定时滞切换模糊系统的状态响应Fig.1 Status responses of uncertain time-delay switched fuzzy system

图2 文献[13]中系统的状态响应Fig.2 Status responses of the system in reference [13]

比较图1和图2可以看出,图1中曲线的性能指标要明显好于图2.

4 结 论

本文研究了一类不确定时滞切换模糊系统的静态输出反馈控制问题.利用多Lyapunov函数方法以及线性矩阵不等式对系统进行稳定性分析,并给出相应的切换律的设计方案.最后通过MATLAB/SIMULINK软件对系统进行实例仿真,验证理论推导的可行性与有效性.

参考文献:

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