基于MATLAB的一阶倒立摆的建模及仿真

韦忠海

[摘 要]倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，建立其数学模型研究其稳定性对于很多工程控制有着重大意义。采用机理建模法对一阶倒立摆系统进行分析，建立其数学模型，在用Matlab 软件进行仿真验证，仿真时，观察不同的初始条件下倒立摆的运行特性。

[关键词]倒立摆，数学模型，MATLAB软件，仿真

Modeling and Simulation of an inverted pendulum based on MATLAB

Wei Zhong-hai

（GUANGXI UNIVERSITY College of Electrical Engineering， Nanning， 530004）

[Abstract]the inverted pendulum system is a typical fast， multi variable， nonlinear， unstable system， study the stability is of great significance for many engineering control to establish its mathematical model. Analysis on the inverted pendulum system by using mechanism modeling method， the mathematical model was established， using Matlab software simulation， simulation， observe the running characteristics of different initial conditions of the inverted pendulum.

[Key words]inverted pendulum， mathematical model， MATLAB software， simulation

中图分类号：TH139 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）10-0016-03

1、倒立摆的简介

图1（a）为直线单级倒立摆实际设备，为方便分析，将其抽象这小车与摆杆的示意图，如图1（b）所示。由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒；这和手持木棒使之直立不倒的现象很类似，。设加在小车上的力为，摆杆与垂直向上方向的夹角，小车的位置为，垂直向下方向的夹角为（），在空气阻力很小可以忽略、杆是刚性的条件下，建立数学模型。

2、倒立摆的数学建模

根据Newton经典力学，考虑平动、转动两方面问题，进行分析如下：定义逆时针转动为正方向，小车向右运动为正方向，建立如图1（b）的坐标系

设摆杆的重心为，则（1）

根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程：

（1）摆杆绕其重心转动的动力学方程为：（2）

式中，为摆杆绕其重心的转动惯量：。这里，杆重力的转动力矩为0，小车运动引起的杆牵连运动的惯性力的转矩也为0。

（2）摆杆重心的水平动力学方程为：（3）

（3）摆杆重心的垂直动力学方程为：（4）

（4）小车的水平动力学方程为：（5）

由式（3）、（5）得：（6）

由式（2）、（3）、（4）得：（7）

于是，计及 得单级倒立摆动力学方程为：

（8）

（9）

令，，计及表 1所给参数，则系统的状态空间表达式为：

（10）

一阶倒立摆的状态空间模型建立。据此模型在MATLAB/Simulink中进行模型的仿真，封装如下：

3、仿真过程及分析

（1）在没有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1）。

仿真结果如下：

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态为初始值不变。10s-11s，系统得到冲量由于没有摩擦，小车的速度先增加。最后趋于一个非零常数。但由于摆的来回摆动作用，速度在一常数附近波动；摆杆的摆动角度不断在0.5rad～6rad间震荡。在运动过程中，车与摆相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。能量在车的速度与摆动幅度间来回交换，运动会永远保持下去。

（2）在没有摩擦的情况下，初始状态为时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1）。分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变，摆杆的角度为π。10s之后，系统得到冲击量，由于没有摩擦，小车的速度最后趋于一个非零常数，由于摆没有储存势能，仅仅由于摆的摆动速度波动很小。在小车接近匀速运动状态后，摆与小车接近相对静止，角度仅仅在π附近波动。在运动过程中，两者相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。

（3）在没有摩擦的情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变，摆杆的角度为π。10s之后，系统得到阶跃信号，由于没有摩擦，小车做变加速运动，速度不断变大，位置呈指数增长，由于摆摆动，速度、加速度均有轻微波动；摆杆由于惯性持续摆动，角度在π附近波动。运动过程中，两者相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。

（4）在没有摩擦的情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点状态不变。10s之后，系统得到阶跃信号，又由于没有摩擦，小车做变加速运动，速度不断变大，位置呈指数增长；摆杆的摆动角度由于小车突然运动先是减小到约12π，再迅速向顺时针方向运动，即先由于惯性逆时针转动接近两圈时再逆时针转动。顺时针转动时转动极快，这一点从角速度图中可以看出。endprint

（5）在没有摩擦的情况下，当初始状态为时，无外力作用下，（实际上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号），分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度πrad，初始角速度为20rad/s，在没有摩擦及外力的情况下，小车在摆杆的带动下，不断前进，而后再向反方向运动；由于摆的摆动，小车速度也不断波动，且逐渐变成负值。由于没有摩擦，摆杆的摆动角度不断增大，即摆杆做圆周运动。

（6）在有摩擦的情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变，10s之后，系统得到冲量，由于有摩擦的存在，小车的运动速度和摆杆的角速度逐渐减小至分别停止，最终整个系统停止运动，其位置在非0处，而角度为π（即摆自然下垂）。在运动过程中，两者相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。

（7）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变。10s之后，系统得到冲量，由于有摩擦的存在，小车的运动速度和摆杆的角速度逐渐减小直至分别停止，最终整个系统停止运动，其位置停在一处，而角速度为π，相比于摆杆初始直立的情况，小车的速度降低更快且波动小。其原因大概是没有摆的初始储能，小车的动能更小。

（8）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变，摆杆的角度为π。10s之后，系统得到力的持续作用，由于有摩擦的存在，小车的速度最后趋于一个常数，有轻微波动，位置不断变化，位置先呈指数增长，后线性增长。相比没有摩擦的同条件下，小车的最后速度更大；摆杆的摆动角度不断减少，由于惯性，最初角度会减小，最终以一个角度π微小摆动，趋于停止。相比于无初始角度，摆杆的摆动的角度变小了。

（9）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变。10s之后，系统得到阶跃信号，又由于有摩擦的存在，小车先作变加速运动，后作匀速运动，位置先呈指数增长，后线性增长；摆杆的摆动角度波动增加，角速度波动变化，最终趋于停止，摆杆角度趋于πrad。

（10）在有摩擦情况下，当初始状态为时，无外力作用下，分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度0.01rad，在有摩擦，无外力的情况下，小车在0处微小的波动，最终大约停在0处；摆杆的摆动角度在π处波动，最终趋于πrad而停止。可视摆的储能在摆动、平动中。

（11）在有摩擦情况下，当初始状态为时，无外力作用下，（实际上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号），分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度0.01rad，初始角度为20rad/s，在有摩擦及无外力的情况下，小车在摆杆的带动下，不断前进，最后小车停在非0处；摆杆的摆动角度不断增大，即摆杆作圆周摆动，而摆杆角速度不断减小，最终停止，摆杆角度最终趋于161πrad。在运动过程中，两者相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。

4、总结

本设计先Newton经典力学分析了一阶倒立摆系统，并建立了状态空间方程。验证了状态空间的合理性后，使用MATLAB/Sinmulink搭建系统的模型，就不同的初始条件以及不同的激励，以Sinmulink为平台验证模型的正确性。

参考文献

[1] 严雪莉、江汉红.单级倒立摆控制方法的仿真对比研究.测控技术.2005.

[2] 曾志新.倒立摆的建模及 MATLAB仿真.新技术新工艺.2005.

[3] 黄祖毅.倒立摆控制的无扰切换.清华大学学报.2004.endprint

（5）在没有摩擦的情况下，当初始状态为时，无外力作用下，（实际上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号），分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度πrad，初始角速度为20rad/s，在没有摩擦及外力的情况下，小车在摆杆的带动下，不断前进，而后再向反方向运动；由于摆的摆动，小车速度也不断波动，且逐渐变成负值。由于没有摩擦，摆杆的摆动角度不断增大，即摆杆做圆周运动。

（6）在有摩擦的情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变，10s之后，系统得到冲量，由于有摩擦的存在，小车的运动速度和摆杆的角速度逐渐减小至分别停止，最终整个系统停止运动，其位置在非0处，而角度为π（即摆自然下垂）。在运动过程中，两者相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。

（7）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变。10s之后，系统得到冲量，由于有摩擦的存在，小车的运动速度和摆杆的角速度逐渐减小直至分别停止，最终整个系统停止运动，其位置停在一处，而角速度为π，相比于摆杆初始直立的情况，小车的速度降低更快且波动小。其原因大概是没有摆的初始储能，小车的动能更小。

（8）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变，摆杆的角度为π。10s之后，系统得到力的持续作用，由于有摩擦的存在，小车的速度最后趋于一个常数，有轻微波动，位置不断变化，位置先呈指数增长，后线性增长。相比没有摩擦的同条件下，小车的最后速度更大；摆杆的摆动角度不断减少，由于惯性，最初角度会减小，最终以一个角度π微小摆动，趋于停止。相比于无初始角度，摆杆的摆动的角度变小了。

（9）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变。10s之后，系统得到阶跃信号，又由于有摩擦的存在，小车先作变加速运动，后作匀速运动，位置先呈指数增长，后线性增长；摆杆的摆动角度波动增加，角速度波动变化，最终趋于停止，摆杆角度趋于πrad。

（10）在有摩擦情况下，当初始状态为时，无外力作用下，分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度0.01rad，在有摩擦，无外力的情况下，小车在0处微小的波动，最终大约停在0处；摆杆的摆动角度在π处波动，最终趋于πrad而停止。可视摆的储能在摆动、平动中。

（11）在有摩擦情况下，当初始状态为时，无外力作用下，（实际上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号），分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度0.01rad，初始角度为20rad/s，在有摩擦及无外力的情况下，小车在摆杆的带动下，不断前进，最后小车停在非0处；摆杆的摆动角度不断增大，即摆杆作圆周摆动，而摆杆角速度不断减小，最终停止，摆杆角度最终趋于161πrad。在运动过程中，两者相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。

4、总结

本设计先Newton经典力学分析了一阶倒立摆系统，并建立了状态空间方程。验证了状态空间的合理性后，使用MATLAB/Sinmulink搭建系统的模型，就不同的初始条件以及不同的激励，以Sinmulink为平台验证模型的正确性。

参考文献

[1] 严雪莉、江汉红.单级倒立摆控制方法的仿真对比研究.测控技术.2005.

[2] 曾志新.倒立摆的建模及 MATLAB仿真.新技术新工艺.2005.

[3] 黄祖毅.倒立摆控制的无扰切换.清华大学学报.2004.endprint

（5）在没有摩擦的情况下，当初始状态为时，无外力作用下，（实际上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号），分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度πrad，初始角速度为20rad/s，在没有摩擦及外力的情况下，小车在摆杆的带动下，不断前进，而后再向反方向运动；由于摆的摆动，小车速度也不断波动，且逐渐变成负值。由于没有摩擦，摆杆的摆动角度不断增大，即摆杆做圆周运动。

（6）在有摩擦的情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变，10s之后，系统得到冲量，由于有摩擦的存在，小车的运动速度和摆杆的角速度逐渐减小至分别停止，最终整个系统停止运动，其位置在非0处，而角度为π（即摆自然下垂）。在运动过程中，两者相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。

（7）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变。10s之后，系统得到冲量，由于有摩擦的存在，小车的运动速度和摆杆的角速度逐渐减小直至分别停止，最终整个系统停止运动，其位置停在一处，而角速度为π，相比于摆杆初始直立的情况，小车的速度降低更快且波动小。其原因大概是没有摆的初始储能，小车的动能更小。

（8）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变，摆杆的角度为π。10s之后，系统得到力的持续作用，由于有摩擦的存在，小车的速度最后趋于一个常数，有轻微波动，位置不断变化，位置先呈指数增长，后线性增长。相比没有摩擦的同条件下，小车的最后速度更大；摆杆的摆动角度不断减少，由于惯性，最初角度会减小，最终以一个角度π微小摆动，趋于停止。相比于无初始角度，摆杆的摆动的角度变小了。

（9）在有摩擦情况下，当初始状态为时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

从图中可以看出：前10s系统处于平衡点，状态不变。10s之后，系统得到阶跃信号，又由于有摩擦的存在，小车先作变加速运动，后作匀速运动，位置先呈指数增长，后线性增长；摆杆的摆动角度波动增加，角速度波动变化，最终趋于停止，摆杆角度趋于πrad。

（10）在有摩擦情况下，当初始状态为时，无外力作用下，分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度0.01rad，在有摩擦，无外力的情况下，小车在0处微小的波动，最终大约停在0处；摆杆的摆动角度在π处波动，最终趋于πrad而停止。可视摆的储能在摆动、平动中。

（11）在有摩擦情况下，当初始状态为时，无外力作用下，（实际上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号），分析波形得到结论。

从图中可以看出：摆杆有初始角度0.01rad，初始角度为20rad/s，在有摩擦及无外力的情况下，小车在摆杆的带动下，不断前进，最后小车停在非0处；摆杆的摆动角度不断增大，即摆杆作圆周摆动，而摆杆角速度不断减小，最终停止，摆杆角度最终趋于161πrad。在运动过程中，两者相互影响，使小车的速度和摆杆的角速度成周期性变化。

4、总结

本设计先Newton经典力学分析了一阶倒立摆系统，并建立了状态空间方程。验证了状态空间的合理性后，使用MATLAB/Sinmulink搭建系统的模型，就不同的初始条件以及不同的激励，以Sinmulink为平台验证模型的正确性。

参考文献

[1] 严雪莉、江汉红.单级倒立摆控制方法的仿真对比研究.测控技术.2005.

[2] 曾志新.倒立摆的建模及 MATLAB仿真.新技术新工艺.2005.

[3] 黄祖毅.倒立摆控制的无扰切换.清华大学学报.2004.endprint