方差分析在激光点光源质量评价中的应用

安其昌，张景旭，杨 飞，郭 鹏

(1．中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春130033;2．中国科学院大学，北京100049)

1 引言

激光点光源由于相干性好、能量强在各种光学系统的检测与装调中，都有较为广泛的应用。大多数波前检测元件，使用前，都需要点光源作为初始的标定工具，同时，如果在点光源之前加上特定的补偿光学元件，就可以将其发出的球面波转化为需要的波前。如在一代哈特曼传感器之前，附加分光棱镜与点光源，就可以检测球面镜的低阶面形误差;将上述装置应用于主动光学的定标之中，也有较好的效果［1－15］。

由于激光点光源常常作为光学系统的标校工具，故对于其本身的误差需要严格的控制。传统上，一般使用精度较高的波前探测元件直接测量，通过波前的均方根来评价点光源发光的均匀性，这样的方法将所有的误差源都作为随机误差，难以对于系统误差的水平做出合理的判断［16－19］。

方差分析是英国统计学家费歇尔在上个世纪所提出的，最初用于分析农产品产量的变化是由于随机误差还是因为品种改良，后来逐渐应用于其他各个领域。其核心思想是:在重复以及随机化的前提下，将采集到的数据看作由理想值与随机误差相加合成得到，之后利用假设检验来权衡分析其变异情况。对于点光源发光质量评价，将多次测量得到的数据合理的排布，就会出现和麦田类似的情况，每一个像元得到的数据，相当于一株麦子的产量，利用方差分析，就可以得到激光点光源波前的系统误差以及随机误差情况。

本文类比农产品产量分析的方法，引入方差分析来研究激光点光源的系统误差以及随机误差。利用维纳过程理论推导了理想激光点光源的统计学模型为高斯分布;之后，针对一种检验激光点光源发光均匀性的检测方法并进行了实验验证。本文的工作对于点光源的发光质量评价有着一定指导意义;同时，对于光电系统的误差分析也有很好的帮助作用。

2 基本推导

对于点光源所产生的绝对理想的波前，测量仪器不可避免的检测误差，也会对数据产生不规则的影响;另一方面，由于在实际的操作过程中的不可控因素(比如大气湍流的扰动以及隔振效果不理想)，实际得到的波前数据也是由各种不规则的起伏构成。系统经过去除掉低阶波像差之后，分析其波前信息的过程与分析随机过程的方法类似。

维纳(Wiener)过程是爱因斯坦(Einstein)对于布朗运动进行分析时，建立的数学模型。其本质在于针对不规则运动内部的数学规律进行了提炼，下面将参考维纳(Wiener)过程对于点光源波前误差进行分析。

首先考虑无系统误差的情况，按照维纳过程的基本假设，在测量范围内，假定起始点的波前误差为零，同时点光源波像差具有下述性质:

(1)波像差各坐标分量都是独立的，考虑其中一个分量，记为w(l)，对于任意相互不相交的区域，

有:w(d1)－ w(u1)，w(d2)－ w(u2)，…，w(dn)－w(un)，都相互独立。

(2)理想的误差应为对称分布，因而E{(w(l)}=0。

(3)w(l+Δ)－w(l)的分布与l无关，并且σ2(Δ)=E{(w(l+Δ)－w(l))2}存在且是Δ的连续函数。

设w(l)的分布密度函数为f(l，x)其特征函数:

那么:

连续性可得:

又:

令s→0

由式(1)可得较为理想的点光源波像差应服从高斯(Gauss)分布，由于系统带有系统误差，假设检测得到的数据为 Φij=i+ δij，(j=1，…，n;i=1，…，k)，其中i表示水平i的理论平均值，称为水平i的效应，即像素i的系统波像差;而δij表示随机误差，服从式(1)所表示的分布。

对于点光源光源质量评价，关心的是i是否相同，如果相同通过去除低阶piston可以得到完全理想的波前，即点光源的系统误差不显著;在实际的应用中，“显著”指的是与随机误差比较，系统误差达到了一定程度，而对于程度的定量分析，需要进行假设检验。

所要检验的假设为:H0:1=2=… =n

设总平方和为:

将总平方和分为两部分，一部分表示由随机误差带来的影响记为SSe，另一部分为各个水平的理论平均值之间的差异所造成的影响，即系统误差，记为SSA。对于SSe做进一步的分析:固定一个i，考虑其一切观察值，他们之间的差异完全是由随机误差所造成，故可以将 SSe表示为:SSe=，通过两者之差可以得到:

通过以上分析可得:对于较为理想的点光源，系统随机波像差服从高斯(Gauss)分布，同时各个像元对应的波像差，应该有相近的系统波像差，即造成测量差异的主要是随机误差。

下面一节将结合理论分析，利用假设检验的方法，提出一种对于实际点光源发光质量的评价方案。

3 方案设计、验证与应用

对于口径较小的系统，该方法可以作为复检检具精度或者高精度测量时的方法，而对于大口径系统，由于光学器件的尺寸以及光路的长度增加的原因，该方法成为了误差分配与分析时需要考虑的问题。

首先考虑小口径系统直接测量的情况，对于实际的点光源，需要进行多次测量，每次测量时都需要微量移动点光源，并重新校准一次。八邻位是图形处理中经常使用的位置关系，一般来说得到像素点周围八个点的信息，就可以较为全面的评价该像元，故为了尽量完整全面地分析点光源的发光质量，需要至少进行九次测量，对应原点、四个象限及其角平分线。下面对于本文得到方法进行实验验证。

本文使用PHASICS公司所生产的剪切干涉仪作为波前探测元件，其原理不同于使用微透镜阵

由于δij服从高斯分布，故利用假设检验，得到接受H0时，有:列进行波前斜率测量的一代哈特曼波前传感器，而是利用可以分离四个相位的衍波板，可以做到多像元，大视场测量快速测量;在测量之前，首先将点光源调节至剪切干涉仪的测量光轴，并进行一次数据采集，结果如图1所示，根据之前的方法，所有数据的平均值以及像素方差数据如图2和图3所示。

图1 波前测量数据Fig．1 data ofwave － frontmeasurement

图2 所有数据平均Fig．2 Average of all the data

图3 各个像素点标准差数据Fig．3 Data of standard variance of piexl

将以上数据代入式(2)可得:

由以上分析可得，在置信概率0．99下，可以接受激光点光源的系统误差是均匀的，而对于随机误差的评价需要结合具体的误差分配来讨论。

对于下一代大口径光电系统，30米望远镜(TMT)计划由美国加州理工学院(Caltech)、加州大学系统(UC)和加拿大大学天文研究联盟联合发起。其中中国承担的三镜系统主镜为椭圆形平面镜，长轴为3．594 m，短轴为2．536 m。对于如此巨大的平面镜反射系统，传统上使用的检测技术以及误差分配标准已经不再适用，需要利用子孔径拼接与扫描技术。对于不同的检测方案，都需要一个标准而理想的光源，对于如此巨大口径的系统的放大作用，对于检测系统标准光源的随机特性的要求会大幅升高。将符合前文分布的随机误差叠加到TMT三镜仿真面形数据之上，如图4所示，可以看出对于系统波像差造成了明显影响，而小口径系统(如镜面上的一个小的子孔径)，影响就比较小。具体的定量误差分配需要进一步的分析与分配。这将是之后工作的重点。

图4 TMT三镜波前Fig．4 Wave front of TMTM3

4 总结

本文引入方差分析来研究激光点光源的系统误差以及随机误差。利用维纳过程理论推导了理想激光点光源的统计学模型为高斯分布;之后，对于小口径系统，提出了一种检验激光点光源发光均匀性的检测方法。对于大口径系统(如TMT)，具体的定量误差分配需要进一步的分析与分配。这将是之后工作的重点。本文的工作对于光电系统的误差分析与分配有很好的指导作用。

［1］ WANG J，WANG Z F，SUIQ M．Study of FBG stain distribution based on improved genetic algorithm dual constraint［J］．Chinese Journal of Lasers，2012，39(3)03050041 －0．050046．(in Chinese)王静，王正方，隋青美．基于改进遗传算法双重约束的应变分布重构研究［J］．中国激光，2012，39(3)03050041 －0．050046．

［2］ ZHANG LM，ZHANG B，YANG F．Design and test of force actuator in active optical system［J］．Opt．Precision Engineering，2012，20(1):38 －44．(in Chinese)张丽敏，张斌，杨飞．主动光学系统力促动器得设计和测试［J］．光学 精密工程，2012，20(1):38 －44．

［3］ BIY，ZHAI J，WU JH，et al．Onemethod formirror surface figure treatment in optical instrument［J］．Optical Technique，2009，35(1):10 －17．(in Chinese)毕勇，翟嘉，吴金虎，等．一种光学仪器镜面面形的处理方法［J］．光学技术，2009，35(1):10－17．

［4］ WANG D，YANG H B，CHEN C ZH．Computer simulation of the optical surface［J］．Computer Simulation，2007，24(2):298 －301．(in Chinese)王栋，杨洪波，陈长征．光学表面面形的计算机仿真［J］．计算机仿真．2007，24(2):298 －301．

［5］ ZHANGW，LIU JF，LING FN，et al．Study on wavefront fitting using Zernike polynomials［J］．Optical Technique，2005，31(5):675 －678．(in Chinese)张伟，刘剑峰，龙夫年，等．基于Zernike多项式进行波面拟合研究［J］．光学技术，2005，31(5):675 －678．

［6］ LIN X D，LIU X Y，WANG JL，et al．Performent of correction capability of 137－element deformablemirror Opt［J］．Precision Engineering，2013，21(2):267 － 273．(in Chinese)林旭东，刘欣悦，王建立，等．137单元变形镜的性能测试即校正能力实验［J］．光学 精密工程，2013，21(2):267－273．

［7］ ZHANGJX．Overview of structure of technologies of large aperture ground based telescope［J］．Chinese Optics，2012，5(4):327 －336．(in Chinese)张景旭．地基大口径望远镜系统结构技术综述［J］．中国光学，2012，5(4):327 －336．

［8］ NIM Y，GONG Y．Design and analysis of kinematic lens positioningstructure in lithographic projection objective［J］．Chinese Optics，2012，5(5):476 － 483．(in Chinese)倪明阳．巩岩光刻投影物镜光学元件运动学支撑结构的设计与分析［J］．中国光学，2012，5(5):476－483．

［9］ SHAO L，YANG F，WANG FG，WU X X．Design and optimization of supporting system for1．2m lightweight SiC primarymirror［J］．Chinese Optics，2012，5(3):229 －234．(in Chinese)邵亮，杨飞，王富国，吴小霞．1．2 m轻量化SiC主镜支撑系统优化设计［J］．中国光学，2012，5(3):229－232．

［10］ A novel predictive controller in the adaptive optics control system based on parallelization method［J］．Acta Optica Sinica，2012，32(8):080100501 － 081001511．(in Chi-nese)史晓雨，冯勇，陈颖．一种基于并行化方法的自适应光学闭环预测控制器［J］．光学学报，2012，32(8):080100501－081001511．

［11］ WANG R D，WANG P，TIAN W．Design and analysis of compensation of large aperture optical element for gravity deformation［J］．Chinese Optics，2011，4(3):259 － 263．(in Chinese)王汝冬，王平，田伟，等．大口径光学元件重力变形补偿的设计分析［J］．中国光学，2011，4(3):259－263．

［12］ WU Xiaoxia，WANG Minghao，MING Ming，et al．Calibration of thermal distortion for large aperture SiC lightweight mirror［J］．Opt．Precision Engineering，2012，20(6):1243 －1249．(in Chinese)吴小霞，王明浩，明铭，等．大口径SiC轻量化主镜热变形得定标［J］．光学 精密工程，2012，20(6):1243－1249．

［13］ LIN X D，XUE C，LIU X Y Current Status and research development ofwave front correctors for adaptive telescope［J］．Chinese Optics，2012，5(6):337 － 351．(in Chinese)林旭东，薛陈，刘欣悦，等．自适应光学波前矫正器技术发展现状［J］．中国光学2012．5(6):337 －351．

［14］ ZHAO H C，ZHANG JX，YANG Fetal．Preloading eight－van spider for supporting structure of secondary mirror［J］．Opt．Precision Engineering，2013，21(5):1199 －1204．(in Chinese)赵宏超，张景旭，杨飞，等．预紧式八翼梁次镜支撑结构动力学分析［J］．光学 精密工程，2013，21(5):1199－1204．

［15］ Wolfgang Dierking．RMS slope of exponentially correlated surface roughnessfor radar applications［J］．IEEE Transactions on Geoscience and remote sensing，2000，38(3):1451－1454．

［16］ Ross Zhelem．Specificationof Optical Surface Accuracy U-sing the Structure Function［J］．SPIE，2011，8083:808310－1～808310－10．

［17］Description of Free－form Optical Curved Surface Using Two_variable orthogonal Polynomials［J］．Acta Optica Sinica，2012，32(9):092200201 － 092200210．(in Chinese)王庆丰，程德文，王涌天．双变量正交多项式描述光学自由曲面［J］．光学学报，2012，32(9):0．9220021 －092200210．

［18］ WANG Xu．Fabrication of SiCmirror in full aperture with optimized fixed abrasive polishing pad［J］．Opt．Precision Engineering，2013，21(2):267 －273．(in Chinese)王旭．使用优化的固着磨料磨盘全口径加工碳化硅反射镜［J］．光学 精密工程，2012，20(10):2123 －2131．

［19］ CHENG JQ．Principles of astronomical telescope design［M］．Beijing:China Science ＆ Technology Press，2003．程景全．天文望远镜原理和设计［M］．北京:中国科学技术出版社，2003．