静态集合样本的构造及其在全球海浪滤波同化中的应用*

孙 盟 尹训强 杨永增①

(1. 国家海洋局第一海洋研究所 青岛 266061; 2. 海洋环境科学与数值模拟国家海洋局重点实验室 青岛 266061)

随着卫星遥感技术的发展, 海洋观测数据日益丰富, 极大地促进了海洋资料同化的研究。海浪资料同化以海浪自身演变规律(动力学方程或模式)作为约束, 利用包含观测误差(噪声)的空间分布不均匀的实测资料给出海浪状态的最优估计。海浪资料同化能够提高海浪的模拟和预报水平, 影响海浪资料同化效果的一个重要因素是背景误差协方差的准确性。在海浪滤波同化中, 模式的背景误差通常由集合模式的积分得到。然而, 随着集合样本数的增加, 集合模式的计算量成倍增长, 限制了海浪滤波同化在业务化海洋预报中的应用。

背景误差是模式背景值与“真值”之间的偏差。但“真值”是未知的, 因此必须寻求其他方法来近似表示或者计算背景误差。在气象学和海洋学中, 已有许多方法用来估计背景误差的相关性。Hollingswoth等(1986)提出观测法, 该方法统计(从长期的、密集的、均匀的观测网获取的)观测数据和背景数据的总偏差,并假设观测误差空间不相关, 进而由总偏差分解计算得到背景误差和观测误差。观测法的优点是能够直接计算背景误差, 确定背景误差的空间结构, 但具有合理时空采样特征的长期观测网格的缺乏使观测法很难被应用于海洋学或气象学领域。Parrish等(1992)提出NMC方法, 即以同一时刻不同预报时效的预报值之差作为背景误差。NMC方法需要积累足够多的样本, 统计出背景误差协方差。该方法可以很好地保持模式的动力约束和平衡关系, 不受观测资料分布密度的限制, 在业务化预报中容易实现。集合预报方法(Evensen, 1994), 即在一定误差范围内通过随机扰动一组初值而得到一组预报值, 利用这些预报值构成的资料序列统计出预报误差协方差。其优点是不受观测限制, 但计算量较大, 受集合样本数限制。

以上是研究背景误差相关性的主要方法, 对背景误差协方差矩阵的研究还可以转化为背景误差相关函数的研究。Lionello等(1992)提出了海浪背景误差相关函数的各向同性表示形式, 较早开展了卫星高度计有效波高资料的最优插值同化研究。Masten-broek等(1994), Breivi等(1994), Young等(1996), Bender等(1996), Greenslade(2001)等提出了诸多相关函数的改进形式, 对卫星遥感有效波高资料进行了同化试验, 并应用于数值预报。Hasselmann等(1997),Voorrips等( 1997), Dunlap等( 1998), Breivik等( 1998)等建立了谱空间上的相关函数形式, 对卫星SAR海浪谱反演资料进行了最优插值同化试验研究, 较好地改善了模拟效果。国内张志旭等(2003), 郭衍游等(2006), 齐鹏等(2013), 任启峰等(2010)基于各向同性相关函数对卫星高度计及SAR资料开展了海浪的最优插值同化研究。Greenslade等(2004)对文献中出现的各种背景误差相关函数进行了总结, 这些背景误差相关函数通常取为各向同性和均质性的指数衰减或自回归函数形式; 然而, 背景误差实际可能是各向异性的, Greenslade等(2005a, b)给出了椭圆形状的各向异性背景误差相关函数。任启峰(2010)将间隔24h的有效波高预报之差作为有效波高背景误差的近似,进而得到有效波高的误差协方差矩阵, 并提出了两类椭圆形状各向异性的背景误差相关函数以改进海浪资料同化的最优插值同化。但文中并未分析利用24h有效波高预报之差作为有效波高背景误差近似的合理性, 对该构造方法的可行性也没有给出明确的验证。另外, 无论圆形还是椭圆形近似方法, 都是一种较为理想的近似, 实际上背景误差相关结构要更加复杂, 统计方法较近似方法更能准确地描述背景误差协方差矩阵的结构, 进而影响同化的整体效果。

综上所述, 现有的背景误差协方差矩阵的构造方法存在各自的优缺点, 需要寻求一种更为合理的做法, 将模式误差的主要分量的统计特征用于数据同化, 改进同化的效果。大洋区域海浪模式中的扰动(或误差)通常会在一段时间内成长, 而增长到最大之后便开始逐渐衰减(杨永增, 2000, 2001); 处在增长过程中的这些扰动对预报结果具有重要的影响。为了获取模式误差主要部分, 我们借鉴了繁殖向量法集合预报(Tothet al, 1993, 1996, 1997)中的一些观点。繁殖向量法通过对模式扰动量的不断标准化调整(re-scale), 使随模式积分逐渐衰减的扰动分量和随模式积分不变的分量从全部模式扰动量中消除, 最终获得随模式积分增长最快的扰动分量。增长最快的扰动分量称为繁殖向量, 相应的调整过程称为繁殖循环。借鉴繁殖向量法集合预报中对模式误差分类处理的概念, 本文采用不同时间间隔的海浪模式预报偏差构造了模式背景误差的集合, 使其代表海浪模式中处于增长过程的扰动分量, 以改善数据同化的效果。

1 静态集合样本的构造及检验

1.1 背景误差的构造

背景误差是背景场与未知“真值”的偏差, 也是影响同化效果的主要因素, 因此如何构造误差序列来近似背景误差显得尤为重要。利用模拟与观测的差异作为模式误差(背景误差), 理论上是比较理想的, 但长期的、均匀的、密集的、连续的观测资料难以获取,为构造模式误差带来了困难。本文拟借鉴繁殖向量法集合预报中的观点, 并结合NMC方法, 构造一组合理的海浪模式背景误差的集合用于海浪观测资料的同化实验中, 提高资料同化的效果。

在基于繁殖向量法的集合预报研究中, 数值模式的误差被分为了三种分量: 增长分量、恒定分量和衰减分量。其中, 增长分量将随着模式的积分不断成长, 恒定分量不随模式的积分改变, 衰减分量则随着模式的积分不断减小。类似NMC方法, 若采用固定时间间隔的模拟结果的差异代替模式的背景误差,这个差异将包含误差分量的增长分量和衰减分量,以及间隔后的模式变量的演变差异。如上所述, 误差的增长分量在增长过程中不同时间的差异为后面时刻的误差的一个主要部分。类似地, 衰减分量作为一个小量, 其不同时间上的差异可视为前一时刻的一部分误差。本研究将这两类误差分量在固定时间间隔的差异的总和作为后一时刻的背景误差。当误差以增长分量为主时, 所构造的误差将与实际误差较为接近。当误差以衰减分量为主时, 所构造的误差将与实际误差相反。

接下来我们讨论模式变量本身在这个固定时间间隔上的变化。假定某时段内的模式变量是随时间线性变化的一种简单变量, 模式控制方程可简单记为

若模式误差相对模式变量是个小量, 且在某个范围内变化, 则变量在某固定间隔的差异将接近一个常数, 因误差的存在导致这个差异随时间不断变化。沿时间轴进行采样, 当样本数目足够时, 这个差异的均值将与该变量本身在固定时间间隔内的改变量接近。对于真实的海浪模式, 模式变量随时间的变化较为复杂, 但在有限较短时段内, 这一变化可近似为线性。鉴于此, 可对模式变量在固定时间间隔差异的频繁采样的均值作为变量本身在这个时间间隔上的变化。从构造的差异中将变量本身的变化减掉, 用于构造背景误差的静态集合样本。

首先, 基于MASNUM海浪模式在2006—2007年的模拟结果, 根据不同的时间间隔, 构造六组静态集合样本。为了验证静态集合样本作为背景误差的可行性, 利用同一时段内的海浪模拟结果与有效波高多颗卫星融合观测资料的偏差, 统计计算模式误差,六组静态集合样本与模式误差的综合对比分析将在1.2节给出。

本文采用基于球坐标系下的第三代海浪模式MASNUM(Marine Science and Numerical Modeling)(Yuanet al, 1991; Yuanet al, 1992; Yanget al, 2005)的模拟结果构造静态集合样本。该模式应用了基于统计波理论发展的海浪破碎耗散源函数(Yuanet al, 1986),并采用复杂特征线嵌入计算格式。波数谱被离散成24个方向和25个波数, 对应频率范围是0.042—0.413Hz。该模式计算覆盖区域为: 79°S—65.5°N;0°E—360°E, 水平分辨率为0.5°×0.5°, 时间步长为10min, 模式输出为1h一次。模式驱动风场数据采用Quikscat融合风场, 由Quikscat卫星散射计观测数据融合NCEP分析数据得出。该融合风场提供距海面10m高处经向和纬向风速分量, 时间间隔为6h, 空间分辨率为0.5°×0.5° , 覆盖范围为88°S—88°N; 0°E—360°E。

海浪有效波高多颗卫星融合高度计数据由AVISO(Archivage, validation et interpretation des donnes des satellite oceanographiques)网站提供, 用于海洋大气方面的相关研究。该观测资料为分辨率1°×1°的格点数据, 可覆盖全球海域(0°E—360°E,90°S—89°N), 产品输出频率为1天。

本文将某时刻的模拟结果与观测数据的差异作为此时的误差, 对2006—2007年的模拟与观测数据进行逐日统计, 得到模式误差。由于观测数据为逐日的融合数据, 模式结果也做了相应的日平均处理。此外, 观测数据与本文模式的网格分辨率不同, 分别为1°×1°和0.5°×0.5°, 海浪模式的分辨率明显高于融合数据的分辨率。为了便于比较, 本文在获取模式误差和构造静态集合样本时均采用了水平空间上的双线性插值。对应观测数据的分布时段, 分别准备了模式误差和静态集合样本。其中静态集合样本为间隔N小时的模拟结果之间的差异,N的取值分别为6、12、24、36、48和72。但用于数据同化的静态样本没有空间插值, 其时间间隔N为下述分析所得到的最佳时间间隔。

1.2 构造误差性质检验

将六组静态集合样本分别与模式误差进行对比和概率密度分布分析, 确定N的最佳取值, 并综合分析最佳静态集合样本与模式误差的时空相关性, 以验证最佳静态集合样本作为背景误差的可行性。

(1) 整体检验

利用全球及不同断面(45°S, 30°N, 60°E, 180°E,30°W)的六组静态集合样本与模式误差, 在以静态集合样本和模式误差为横纵轴的坐标系内, 统计每个0.04m×0.04m网格内散点的个数, 将散点个数取以10为底的对数, 统计结果如图1所示。从散点分布特征来看, 随着时间间隔不断增大, 散点呈现逐渐发散的趋势, 而散点相对于对角虚线的集中程度, 则为顺次接近又依次偏离。各列的分布变化趋势类似, 但24h间隔静态集合样本与模式误差的散点分布与对角线最为接近。整体检验结果表明, 24h间隔静态集合样本与模式误差最为相近, 可作为最佳静态集合样本。下面我们通过统计概率分析进行理论上的探讨。

理论上, 静态集合样本与模式误差服从相似的概率密度分布。根据海浪过程的随机性, 一般认为模式误差服从正态分布(图2):

其中δH表示模拟误差量(或下面的模拟偏差量),f表示对应的概率密度,2,μσ分别为均值和方差。利用2006—2007年的全球模式误差数据, 可拟合得出μ=μ1=0,σ=σ1=0.697。基于海浪统计理论, 一般认为海浪波高服从瑞利分布。因此可认为全球各格点处N小时间隔的有效波高模拟偏差应当服从某个相同的概率密度分布。根据中心极限定理, 统计平均下N小时间隔的海浪有效波高模拟偏差渐近于正态分布, 即静态集合样本渐近于正态分布。因此静态集合样本与模式误差均近似服从正态分布。由此, 对六组静态集合样本进行正态分布参数估计, 并绘制概率密度函数曲线, 如图2所示。

图1 静态集合样本-模式误差散点图Fig.1 The scatter diagram of static assemble sample vs model error

图2 静态集合样本与模式误差概率密度分布图Fig.2 The probability density distribution of static assemble sample vs model error

从图中可以看出, 随着时间间隔增大, 静态集合样本概率密度函数曲线逐渐变宽, 即方差逐渐增大。24h间隔静态集合样本与模式误差的概率密度函数曲线吻合最好, 即两者的方差最为接近, 因此整体上是最佳的, 24h间隔静态集合样本用于近似背景误差是可行的。一般情况下, 大洋中的海浪扰动谱在24h达到最大值(杨永增, 2000, 2001), 随后逐渐衰减。本文采用N小时间隔的模拟偏差来分析模式误差的统计性质, 正是利用了海浪模式中误差的增长时间尺度,获得海浪模式误差的主要部分。因此, 上述通过数据统计的方式, 得到了类似的时间尺度, 即最佳静态集合样本的时间间隔为24h。

(2) 空间相关性

空间相关性分析可分为两部分, 一为分析两组误差在某一时间点的水平空间分布, 可以从分布情况直观地看到两者的相似性; 二为利用上述的两个水平空间的误差数据计算空间相关系数, 则每一个时间点对应一个空间相关系数, 从而可以分析两组误差的整体空间相关性。

分别绘制2007年3月1日的模式误差和最佳静态集合样本的误差水平分布, 如图3(a), (b)所示。从等值线的分布结构来看, 明显存在若干较为相似的区块, 在模式误差分布出现大值区和小值区的位置处, 最佳静态集合样本亦存在大值和小值, 说明两组误差在2007年3月1日的空间相关性较好。

对每一个时间点, 计算不同区域(全球, 南半球10°S—60°S, 赤道区域10°S—10°N, 北半球10°N—60°N)的最佳静态集合样本和模式误差的空间相关系数, 得到两组误差在不同区域的空间相关系数随时间的变化曲线, 如图3(c)所示。从图中可以看出, 全球和南半球的空间相关系数介于0.6—0.8之间; 北半球的空间相关系数大部分时段在0.6以上, 但6、7月份相关性下降, 需进一步探讨和研究; 赤道区域的空间相关系数在0.4上下大幅振荡。总体来看, 最佳静态集合样本与模式误差的空间相关性较好。

图3 静态集合样本与模式误差空间相关性Fig.3 Spatial correlation between static assemble sample and model error

(3) 时间相关性

时间相关性分析可分为两部分, 一为两组误差在某一空间点的误差序列变化曲线, 可以从变化趋势直观地看到两者的相似性; 二为计算上述的两个误差序列的时间相关系数, 则每一个空间点对应一个时间相关系数, 从而可以分析两组误差的整体时间相关性。

图4 静态集合样本与模式误差时间相关性Fig.4 Temporal correlation between static assemble sample and model error

绘制最佳静态集合样本和模式误差在(120°E,45°S)位置处误差随时间的变化曲线, 如图4(a)和(b)所示。从图中可以看出, 在模式误差曲线峰值处, 最佳静态集合样本曲线亦存在峰值, 两条误差曲线的变化趋势较为吻合, 说明两组误差在(120°E, 45°S)位置处的时间相关性较好。

对每一个空间格点位置上的两组误差序列计算时间相关系数, 其在空间上的分布如图4(c)所示。从图中可以看出, 赤道地区相关系数为0.4—0.5, 中纬度地区为0.7—0.8, 南北半球西风带区域相关性程度最高。总体来看, 最佳静态集合样本与模式误差的时间相关性较好。

综上所述, 通过6组静态集合样本与模式误差在全球和不同断面的对比及概率密度分析, 确定基于MASNUM海浪模式构造静态集合样本的最佳时间间隔为24h。对最佳静态集合样本和模式误差进行时间和空间的相关性分析, 结果证明, 两者相关性较好,前者可用于近似背景误差, 用于下一步海浪资料同化实验。

2 静态集合样本在全球海浪滤波同化中的应用

2.1 同化实验设计

基于前文分析得出的最佳时间间隔, 同化实验采用MASNUM全球海浪模式模拟的2008年1月的有效波高构造了模式误差的静态集合样本, 其采样频率为1h。随着模式不断向前积分, 每6h进行一次同化。同化过程中, 首先根据同化前的海浪谱输出该同化时间点的有效波高场, 将静态集合样本叠加到同化前的有效波高场, 得到状态变量集合, 采用两步滤波同化方法(Yinet al, 2012)对状态变量集合进行更新, 得到同化后的有效波高场, 然后对海浪谱进行调整, 最终得到同化后的海浪谱, 至此完成一次同化调整过程, 模式继续向前积分。同化过程流程如图5所示。

图5 同化过程流程图Fig.5 The flow chart of data assimilation

对2008年全球海域开展两组海浪数值模拟实验,分别为未同化的控制实验与基于静态集合的同化实验。数值模拟实验时间均为: 2008年1月1日至2008年12月31日。空间同化半径为4.0°, 加入空间局地化调整, 即距离观测点4.0°范围内的模式网格点都要根据与观测点的距离权重进行同化更新, 时间同化半径固定为6h, 即将同化窗口前后6h的观测数据加入该次同化过程。同化资料采用Jason-1卫星高度计观测数据。

2.2 实验结果分析

实验结果检验采用Envisat卫星高度计观测资料,该数据为沿卫星轨道的散点数据, 即在时间和空间上的分布是不规则的, 而海浪模式结果为0.5°×0.5°的网格化数据, 每间隔1h输出一次。因此, 进行模拟结果检验前, 利用时空插值, 将网格化模式结果插值到观测点上, 即对有效波高模拟数据进行时相和位相上的匹配处理。

图6 有效波高绝均差及同化修正量空间分布(单位: m)Fig.6 Spatial distribution of SWH mean absolute error and the correction in data assimilation (Unit: m)

图6(a)为未同化实验的绝均差分布, 从图中可以看出, 大部分网格的绝均差小于0.8m, 说明MASNUM海浪模式的模拟效果较好。图6(b)为同化实验的绝均差分布。图6(a)中的等值线分布较为零散均匀,而图6(b)中的等值线分布较为规整成块, 中低纬度地区绝均差较小, 基本位于0.4m以下, 高纬度地区的绝均差介于0.4—0.6m之间, 说明同化效果显著。将同化前后的绝均差相减, 得到同化后绝均差的减小量在空间的分布, 如图6(c)所示。中低纬度地区绝均差的减小量在0.2—0.4m之间, 高纬度地区均绝均差的减小量在0.1—0.2m之间, 说明基于静态集合样本的海浪资料同化有效地提高了数值模拟能力。

(2) 绝均差随时间变化

绝均差随时间变化的统计方法为, 对不同区域(全球, 南半球10°S—60°S, 赤道区域10°S—10°N,北半球10°N—60°N), 根据观测点的时间逐日统计绝均差, 得到两组模拟实验的绝均差随时间的变化曲线, 如图7所示。

图7 模拟与观测的绝均差随时间变化曲线(单位: m)Fig.7 The curves of mean absolute error between simulated SWH and observed SWH

从四幅曲线图均可以看出, 同化实验的绝均差曲线位于未同化实验绝均差曲线之下, 说明基于静态集合样本的同化调整有效地减小了模拟误差。对比四幅曲线图可以看出, 未同化实验的绝均差曲线在不同区域的取值均介于0.4—0.8, 说明MASNUM海浪模式的模拟效果较好。5月和8月中旬同化绝均差曲线与未同化绝均差曲线出现交叠, 原因为该时段内的Jason-1卫星资料缺失, 未进行同化调整。

(3) 模拟-观测散点比较

在模拟-观测坐标系内, 划分0.05m×0.05m的网格, 根据每个观测值及其对应模拟值的大小, 统计每个网格内的散点个数, 并取其以10为底的对数, 对两组模拟实验在全球及不同断面(45°S, 30°N, 60°E,180°E, 30°W)±5.0°的区域, 分别统计2008年1月和7月散点分布情况, 并计算每个散点图的绝均差, 统计结果如图8所示。

图8 有效波高模拟-观测散点分布图Fig.8 The scatter diagram of simulated SWH and observed SWH

从1月份的统计结果来看, 不同统计区域内, 同化实验的绝均差均小于未同化实验的绝均差, 说明基于静态集合样本的同化调整有效地减小了模拟与观测之间的差异。从散点的集中程度来看, 散点越集中于对角虚线, 说明模拟与观测越接近。在不同统计区域内, 同化后的散点更集中于对角虚线, 说明基于静态集合样本的海浪资料同化有效地改善了数值模拟的效果。7月份的统计结果可以得到与上述类似的结论。

上述三种方式的误差统计分析表明基于静态集合样本的滤波同化调整可以有效地提高海浪模式的模拟水平。

3 结论与讨论

背景误差协方差的表达对海浪资料同化工作至关重要。本文借鉴了繁殖向量法集合预报中的观点,并结合NMC方法, 提出了一种最佳静态集合样本的构造方法, 该方法可用于近似背景误差。基于MASNUM海浪模式, 利用间隔N小时的有效波高的模拟偏差(N= 6, 12, 24, 36, 48, 72)构造静态集合样本, 同时利用模拟结果与卫星高度计融合资料构造模式误差, 对两者进行统计分析。结果表明, 24h静态集合样本与模式误差最为接近, 时空相关性较好, 可作为最佳静态集合样本, 用于近似背景误差。基于最佳静态集合样本, 结合两步滤波同化方法, 利用Jason-1卫星高度计资料, 针对2008年全球海域开展海浪资料同化实验。实验结果表明, 同化后海浪数值模拟的效果得到了有效改善。

海浪资料同化的一个重要应用是为预报系统提供合理的初始场。海洋环境预报业务系统对海洋资料同化的时效性和准确性要求较高。因此, 实际操作中常常采用局地化技术, 用一种距离权重函数进行滤波, 将误差协方差局地化, 同时提高并行算法的效率。本文海浪资料同化实验中, 考虑了空间局地化处理方式, 但实验中所采用的空间局地化参数仅为试验值, 后续将考虑时间局地化处理, 并进一步确定时空局地化的最佳参数取值。

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