非光滑向量似变分不等式与向量优化问题

赵亮　刘学文

摘要 在非光滑不变凸性的条件下讨论了上Dini方向导数形式的非光滑Minty（弱）向量似变分不等式、非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式以及扰动非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式这3类解集之间的关系，并得到了这3类似变分不等式问题的解与向量优化问题的（弱）有效解之间的等价条件.

关键词 向量似变分不等式；向量优化问题；Dini方向导数；C伪单调；有效解

中图分类号 O224 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2014）01-0069-07

向量变分不等式是变分不等式的推广形式，目前已被广泛应用于机械学、控制论、最优化理论等领域.在适当条件下，向量变分不等式的解与最优化问题（记为VOP）的最优解具有一致性.由于实际应用中有些目标函数是非光滑的，因此产生了用方向导数定义的变分不等式（参见文献[1～8]）.最近，Ansari等人在文献[6]中，利用上Dini方向导数分别定义了非光滑形式的Minty向量变分不等式问题（记为NMVVIP）和Stampacchia向量变分不等式问题（记为NSVVIP），在伪凸条件下讨论了NMVVIP和NSVVIP的解与VOP的（弱）有效解之间的关系.文献[8]中Ansari等人把[6]中结果推广到了不变凸集上，利用上Dini方向导数分别定义非光滑Minty（弱）向量似变分不等式问题（记为NM（W）VVLIP）和非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式问题（记为NS（W）VVLIP），并讨论了几类向量似变分不等式解的存在性，最后得到它们与VOP（弱）有效解之间的关系.本文旨在文献[8]的基础上进一步讨论NM（W）VVLIP和NS（W）VVLIP的解与VOP的（弱）有效解之间的关系，定义了一类上Dini方向导数形式的扰动非光滑（弱）Stampacchia向量似变分不等式问题（记为PNS（W）VVLIP），并在不变凸性的条件下分别得到PNS（W）VVLIP解与NM（W）VVLIP的解以及VOP的（弱）有效解等价的充要条件，因此本文丰富了文献[8]中的相关结果.

1预备知识

参考文献：

[1]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Minty variational inequalities， increase along rays property and optimization[J]. J Optim Theory Appl， 2004，123（3）：479496.

[2]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Existence of solutions and starshapedness in Minty variational inequalities[J]. J Glob Optim， 2005，32（4）：485494.

[3]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Some remarks on the Minty vector variational principle[J]. J Math Anal Appl， 2008，345（1）：165175.

[4]LALITHA C S， MEHTA M. Vector variational inequalities with conepseudomonotone bifunctions[J]. Optimization， 2005，54（3）：327338.

[5]LIU C P， YANG X M， LEE H W. Characterizations of the solution sets of pseudoinvex programs and variational inequalities[J]. J Inequal Appl， 2011（1）：113.

[6]ANSARI Q H， LEE G M. Nonsmooth vector optimization problems and Minty vector variational inequalities[J]. J Optim Theory Appl， 2010，145（1）：116.

[7]肖刚，刘三阳. 广义Minty向量似变分不等式解的性质[J].数学物理学报， 2009，29A（6）：17321742.

[8]ANSARI Q H， YAO J C. Recent developments in vector optimization[M]. New York：SpringerVerlag， 2012.

[9]WEIR T， MOND B. Preinvex functions in multiple objective optimization[J]. J Math Anal Appl， 1988，136（1）：2938.

[10]ANSARI Q H， REZAEI M. Generalized pseudolinearity[J]. Optim Lett， 2012，6（2）：241251.

[11]MOHAN S R， NEOGY S K. On invex sets and preinvex functions[J]. J Math Anal Appl， 1995，189（3）：901908.

[12]CHEN G Y， YANG X Q. The vector complementary problem and its equivalences with the weak minimal element in ordered spaces[J]. J Math Anal Appl， 1990，153（1）：136158.

（编辑沈小玲）

摘要 在非光滑不变凸性的条件下讨论了上Dini方向导数形式的非光滑Minty（弱）向量似变分不等式、非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式以及扰动非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式这3类解集之间的关系，并得到了这3类似变分不等式问题的解与向量优化问题的（弱）有效解之间的等价条件.

关键词 向量似变分不等式；向量优化问题；Dini方向导数；C伪单调；有效解

中图分类号 O224 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2014）01-0069-07

向量变分不等式是变分不等式的推广形式，目前已被广泛应用于机械学、控制论、最优化理论等领域.在适当条件下，向量变分不等式的解与最优化问题（记为VOP）的最优解具有一致性.由于实际应用中有些目标函数是非光滑的，因此产生了用方向导数定义的变分不等式（参见文献[1～8]）.最近，Ansari等人在文献[6]中，利用上Dini方向导数分别定义了非光滑形式的Minty向量变分不等式问题（记为NMVVIP）和Stampacchia向量变分不等式问题（记为NSVVIP），在伪凸条件下讨论了NMVVIP和NSVVIP的解与VOP的（弱）有效解之间的关系.文献[8]中Ansari等人把[6]中结果推广到了不变凸集上，利用上Dini方向导数分别定义非光滑Minty（弱）向量似变分不等式问题（记为NM（W）VVLIP）和非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式问题（记为NS（W）VVLIP），并讨论了几类向量似变分不等式解的存在性，最后得到它们与VOP（弱）有效解之间的关系.本文旨在文献[8]的基础上进一步讨论NM（W）VVLIP和NS（W）VVLIP的解与VOP的（弱）有效解之间的关系，定义了一类上Dini方向导数形式的扰动非光滑（弱）Stampacchia向量似变分不等式问题（记为PNS（W）VVLIP），并在不变凸性的条件下分别得到PNS（W）VVLIP解与NM（W）VVLIP的解以及VOP的（弱）有效解等价的充要条件，因此本文丰富了文献[8]中的相关结果.

1预备知识

参考文献：

[1]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Minty variational inequalities， increase along rays property and optimization[J]. J Optim Theory Appl， 2004，123（3）：479496.

[2]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Existence of solutions and starshapedness in Minty variational inequalities[J]. J Glob Optim， 2005，32（4）：485494.

[3]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Some remarks on the Minty vector variational principle[J]. J Math Anal Appl， 2008，345（1）：165175.

[4]LALITHA C S， MEHTA M. Vector variational inequalities with conepseudomonotone bifunctions[J]. Optimization， 2005，54（3）：327338.

[5]LIU C P， YANG X M， LEE H W. Characterizations of the solution sets of pseudoinvex programs and variational inequalities[J]. J Inequal Appl， 2011（1）：113.

[6]ANSARI Q H， LEE G M. Nonsmooth vector optimization problems and Minty vector variational inequalities[J]. J Optim Theory Appl， 2010，145（1）：116.

[7]肖刚，刘三阳. 广义Minty向量似变分不等式解的性质[J].数学物理学报， 2009，29A（6）：17321742.

[8]ANSARI Q H， YAO J C. Recent developments in vector optimization[M]. New York：SpringerVerlag， 2012.

[9]WEIR T， MOND B. Preinvex functions in multiple objective optimization[J]. J Math Anal Appl， 1988，136（1）：2938.

[10]ANSARI Q H， REZAEI M. Generalized pseudolinearity[J]. Optim Lett， 2012，6（2）：241251.

[11]MOHAN S R， NEOGY S K. On invex sets and preinvex functions[J]. J Math Anal Appl， 1995，189（3）：901908.

[12]CHEN G Y， YANG X Q. The vector complementary problem and its equivalences with the weak minimal element in ordered spaces[J]. J Math Anal Appl， 1990，153（1）：136158.

（编辑沈小玲）

摘要 在非光滑不变凸性的条件下讨论了上Dini方向导数形式的非光滑Minty（弱）向量似变分不等式、非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式以及扰动非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式这3类解集之间的关系，并得到了这3类似变分不等式问题的解与向量优化问题的（弱）有效解之间的等价条件.

关键词 向量似变分不等式；向量优化问题；Dini方向导数；C伪单调；有效解

中图分类号 O224 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2014）01-0069-07

向量变分不等式是变分不等式的推广形式，目前已被广泛应用于机械学、控制论、最优化理论等领域.在适当条件下，向量变分不等式的解与最优化问题（记为VOP）的最优解具有一致性.由于实际应用中有些目标函数是非光滑的，因此产生了用方向导数定义的变分不等式（参见文献[1～8]）.最近，Ansari等人在文献[6]中，利用上Dini方向导数分别定义了非光滑形式的Minty向量变分不等式问题（记为NMVVIP）和Stampacchia向量变分不等式问题（记为NSVVIP），在伪凸条件下讨论了NMVVIP和NSVVIP的解与VOP的（弱）有效解之间的关系.文献[8]中Ansari等人把[6]中结果推广到了不变凸集上，利用上Dini方向导数分别定义非光滑Minty（弱）向量似变分不等式问题（记为NM（W）VVLIP）和非光滑Stampacchia（弱）向量似变分不等式问题（记为NS（W）VVLIP），并讨论了几类向量似变分不等式解的存在性，最后得到它们与VOP（弱）有效解之间的关系.本文旨在文献[8]的基础上进一步讨论NM（W）VVLIP和NS（W）VVLIP的解与VOP的（弱）有效解之间的关系，定义了一类上Dini方向导数形式的扰动非光滑（弱）Stampacchia向量似变分不等式问题（记为PNS（W）VVLIP），并在不变凸性的条件下分别得到PNS（W）VVLIP解与NM（W）VVLIP的解以及VOP的（弱）有效解等价的充要条件，因此本文丰富了文献[8]中的相关结果.

1预备知识

参考文献：

[1]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Minty variational inequalities， increase along rays property and optimization[J]. J Optim Theory Appl， 2004，123（3）：479496.

[2]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Existence of solutions and starshapedness in Minty variational inequalities[J]. J Glob Optim， 2005，32（4）：485494.

[3]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Some remarks on the Minty vector variational principle[J]. J Math Anal Appl， 2008，345（1）：165175.

[4]LALITHA C S， MEHTA M. Vector variational inequalities with conepseudomonotone bifunctions[J]. Optimization， 2005，54（3）：327338.

[5]LIU C P， YANG X M， LEE H W. Characterizations of the solution sets of pseudoinvex programs and variational inequalities[J]. J Inequal Appl， 2011（1）：113.

[6]ANSARI Q H， LEE G M. Nonsmooth vector optimization problems and Minty vector variational inequalities[J]. J Optim Theory Appl， 2010，145（1）：116.

[7]肖刚，刘三阳. 广义Minty向量似变分不等式解的性质[J].数学物理学报， 2009，29A（6）：17321742.

[8]ANSARI Q H， YAO J C. Recent developments in vector optimization[M]. New York：SpringerVerlag， 2012.

[9]WEIR T， MOND B. Preinvex functions in multiple objective optimization[J]. J Math Anal Appl， 1988，136（1）：2938.

[10]ANSARI Q H， REZAEI M. Generalized pseudolinearity[J]. Optim Lett， 2012，6（2）：241251.

[11]MOHAN S R， NEOGY S K. On invex sets and preinvex functions[J]. J Math Anal Appl， 1995，189（3）：901908.

[12]CHEN G Y， YANG X Q. The vector complementary problem and its equivalences with the weak minimal element in ordered spaces[J]. J Math Anal Appl， 1990，153（1）：136158.

（编辑沈小玲）