基于Allan噪声模型的随机误差滤波器设计

施建礼，焦吉祥，彭文辉

（1.海军潜艇学院3系，青岛 266044；2.92196部队，青岛 266071）

近年来，MEMS陀螺仪作为惯性领域的一个新兴的重要分支，以体积小、重量轻等特点受到人们的重视，对其研究也越来越深入。但是MEMS陀螺仪受本身的精度不高、动态误差和随机误差较大等缺点影响，使得MEMS陀螺仪的应用领域受到了限制。

当前，对MEMS陀螺仪随机误差项的辨识法主要有Allan方差、功率谱密度（PSD）法[1]等。这些方法能辨识出随机误差项，但是并没有说明如何在此基础上对MEMS陀螺仪的随机误差进行补偿。这使其在工程技术方面的应用受到了限制，尤其是一些精度要求较高的场合。

针对MEMS陀螺仪的以上缺点，文章提出一种能够快速辨识和滤除MEMS陀螺仪随机误差项的方法：首先分析影响MEMS陀螺仪随机误差的主要误差项，建立误差模型并运用Allan方差法进行辨识。然后设计Kalman滤波器，建立滤波方程，进行随机误差补偿。经过实例证明，该种方法可以将MEMS陀螺仪的随机误差精度提高2个数量级（方差）且均值基本不变。具有很高的工程应用价值。

1 MEMS陀螺仪主要随机误差项

目前并没有统一的国家和国际标准界定MEMS陀螺仪的随机误差项，在参考IEEE中的单轴光纤陀螺仪的标准——IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros[2]的基础上，采用Allan方差法，将随机误差划分为量化噪声、角度随机游走、零偏不稳定性、角速率随机游走和速率斜坡误差项。本文按照标准中计算方法进行了实际测试，表明在MEMS陀螺仪中，也存在这些随机误差项，以下是这些误差项产生的原因和物理意义。

量化噪声（其系数简写为Q，下同）在将模拟信号转化为数字信号过程中，由于AD转换芯片的位数有限而产生的误差，为平稳随机序列[3]，与MEMS陀螺仪的最小分辨率有关。角度随机游走（N）与MEMS陀螺仪的有效带宽有关，当高频噪声高于采样频率时，对其输出进行积分，会造成角度随机游走，是影响精度的主要误差。零偏不稳定性（B）是由于电子或其他器件受随机抖动的影响而产生的误差。角速率随机游走（K）和速率斜坡（R）是对随机误差进行PSD分析的结果，原因不明[1，4-5]。

根据文献[2]和上述分析，最终确立的MEMS陀螺仪的随机误差模型如图1所示。

图1 MEMS陀螺仪随机误差模型Fig.1 MEMS gyroscope random error model

其中：TS为采样间隔时间；1/s为积分环节。

由图1可以看出，只要能辨识出这些误差项，然后根据观测的角速度输出值，就可以反推出角速度的真值。

2 ALLAN方差法辨识误差项

2.1 Allan方差的定义及与MEMS陀螺仪随机误差项的关系

Allan方差法是1966年David Allan提出的一种基于时域的方差分析方法，其核心思想是通过观测不同时间段上的样本方差来辨识不同的随机误差项。采用数据集（Data Cluster）的概念，将长度为N的数据ω按照不同的时间间隔划分出一段段数据子集 ωj（j=1，…M，M＜N/2。 至少为 2 段），求出每段数据子集的均值E（ωj）和相邻子集的方差。计算过程为[1]

其中，σ2（τ）为平均时间上的Allan方差。在对数-对数（log-log）曲线上表示。MEMS陀螺仪典型的随机误差项系数与Allan方差的关系[1-2]如表1[6]所示。

表1 MEMS陀螺仪随机误差项对应的Allan方差计算公式Tab.1 Correspondence calculation formula between MEMS gyroscope random error terms and Allan variance

对应的对数-对数曲线图如图2所示。

图2 MEMS随机误差项在Allan对数-对数曲线图上的关系Fig.2 Match of MEMS random error terms in Allan log-log graph

2.2 MEMS陀螺仪随机误差项系数的计算方法

由2.1节可知，MEMS陀螺仪随机误差项对应的Allan方差为

可以采用最小二乘法求出各个误差项系数。求出系数矩阵A后，便可利用式（2）得到MEMS陀螺仪的随机误差项系数。

3 MEMS陀螺仪的误差方程

3.1 MEMS陀螺仪的主要影响误差项

对挪威Sensor公司STIM202 MEMS陀螺仪Z轴进行Allan方差法随机误差项的辨识。

首先对其进行3 h的数据采集并进行确定性误差补偿，采样速率为100 Hz，即采样时间间隔TS=0.01 s，然后按照第2节中介绍的方法计算Allan方差项，其结果如图3所示。

图3 STIM202Z轴Allan方差图Fig.3 STIM202 Z axis Allan variance chart

其中：粗线表示原始数据的Allan方差；细线表示对其进行数据拟合的结果，拟合后的曲线斜率集中在-1/2和1/2两部分。

对比表1和图2，由图4可以看出，对MEMS陀螺仪随机误差影响较大的误差项为角度随机游走和角速率随机游走。零偏不稳定性的影响较小。其中角度随机游走的影响主要集中在短平均时间（零至几十秒）内，这段曲线的渐近线斜率为-1/2，然后在100 s左右经过零偏不稳定性的最低点，以后的主要影响因素则为角速率随机游走，其渐近线斜率为1/2。

因此，MEMS陀螺仪的主要随机误差项为角度随机游走和角速率随机游走。二者之和构成MEMS陀螺仪的主要随机误差。参考文献[7]可以将二者看作是零均值的高斯白噪声。同时考虑到零偏不稳定性的因素，将图1的MEMS陀螺仪随机误差模型简化为如图4所示。

3.2 MEMS陀螺仪的随机误差模型

图4 MEMS陀螺仪随机误差简化图Fig.4 Simplified diagram of MEMS gyroscope random error

由于零偏不稳定性的量纲和输出角速度的量纲一致，可以认为其在微观领域的采样间隔内为一常值，因此，重点分析角度随机游走和角速率随机游走的误差模型。由3.1节的分析和图4，并参考文献[7]，可以得到MEMS陀螺仪的随机误差方程为

其中：Δ（t）为随机误差；d（t）为角速率随机游走转化为角速度的大小，其导数为角速率随机游走；ωN（t）和ωK（t）分别为角度随机游走和角速率随机游走。由文献[7]可以知道 ωN（t）和 ωK（t）可以看作零均值的高斯白噪声，其标准差为角度随机游走系数N和角速率随机游走系数K。上述值可以通过Allan方差法得到。

由于采集到的是离散数据，故需要对式（3）进行离散化，设采样频率为TS，则随机误差的离散形式表达式为

其中：

其方差分别为 N2/TS和 K2TS[7]，其量纲为（（°）/h）2。可以看出，角度随机游走随着时间的增加，影响越来越弱，角速率随机游走随着时间的增加，影响越来越强。这与进行数据分析得到的结果是一致的。

4 Kalman滤波器设计

4.1 Kalman滤波方程的建立

Kalman滤波的核心思想是利用观测数据对状态变量的估计做修正，以得到状态的最优估计。因此需要对系统建立状态方程和观测方程[8-10]。

可以将经过确定性误差（动态误差和静态补偿）补偿后测量的角速度信息分成2部分，真值和随机误差值。即：

由式（4）和式（5），可以将ω真和 D 作为状态量，将ω输出作为观测量，可得Kalman方程为

这个方程将零偏不稳定性、角速率随机游走作为状态噪声，设其协方差阵为Q，将角度随机游走作为观测噪声，设其协方差阵为R。根据3.2节的分析，可以得到Q和R的值为

4.2 滤波递推公式

Kalman滤波目的是使真值与估计值的均方差最小。其滤波递推公式为

状态一步预测：

协方差一步预测：

更新增益方程：

更新状态估计：

更新协方差阵：

5 结果分析

以STIM202 Z轴为例，其采集的原始数据信号经过确定性误差补偿后如图5所示。

图5 STIM202经确定性误差补偿后的数据Fig.5 STIM202 data after uncertainty error compensation

其Allan方差辨识的误差项结果如表2所示。

表2 Allan方差辨识误差项结果Tab.2 Allan variance error terms results

选取状态变量初值为：［1，0］T，初始的协方差矩阵为

Q和R的取值参考4.1节，按照4.2节中的介绍进行迭代，最终的输出结果如图6所示。

图6 Kalman滤波结果Fig.6 Kalman filtering results

若选取初始值为［Y（1，1），0］T，即状态量和观测值一致，则滤波结果如图7所示。

由图6和图7可以看出，这种滤波方式能较快地收敛跟踪。滤波前后的方差和均值如表3所示。

由表3可以看出，滤波后数据的均值基本不变，而方差得到明显改善。

图7 Kalman滤波结果Fig.7 Comparison with the original value

表3 滤波前后均值和方差比较Tab.3 Comparison of mean and variance value with before and after filtering

对本文提出的方法进行了转台验证，在匀速和变速的情况下利用此算法对陀螺仪的输出进行了随机误差滤波，其结果如图8和图9所示。

图8 在-6.3096°/s的转速下输出结果Fig.8 Result in speed-6.3096°/s

图9 变速运动下输出结果Fig.9 Result in Shift movement

可见，算法能够及时准确地跟踪不同状态下的陀螺仪数据，能够有效地滤除随机误差的影响。

6 结语

本文通过对MEMS随机误差项的分析，得出了一种利用Allan方差辨识的误差项进行误差补偿的方法，在此基础上建立了滤波方程，并对STIM202 MEMS陀螺仪进行随机误差滤除。结果证明该方法能有效跟踪和滤除随机误差，经滤除后的均值基本不变，方差减小2个数量级，有效地滤除了随机误差的影响。此种方法可往其他惯性器件如光纤陀螺仪、激光陀螺仪等推广，以提高惯性器件的器件级精度。

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