概率帮你断公平

王祖星

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）01-138-02

游戏是同学们喜闻乐见的一种娱乐形式，而游戏规则的制定讲究的是“公平”二字，那么如何判断游戏规则制定的公平性呢？下面列举几个生活事例，和同学们共赏。

1、转盘游戏

案例1（2009年本溪市）甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过转盘游戏决定。游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘（如图1），转盘连续转动两次，若指针前后所指颜色相同，则甲去；否则乙去（如果指针恰好停在分割线，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）。

（1）转盘连续转动两次，指针所指颜色共有几种情况？通过画树状图或列表法加以说明；

（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由。

赏析：（1）画树状图如下。

由树状图可知，一共有9种情况。

（2）不公平。因为上述出现的所有结果是等可能的，而由树状图可知出现颜色相同的结果只有3种，即P（甲去）= ，P（乙去）= ，所以这个游戏不公平。

案例2（2010年广东）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图2）。欢欢、乐乐两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘。

（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；

（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由。

赏析：（1）列表分析如下。

由上表可知，出现的结果总共有12种，并且出现结果都是

等可能的，同时出现奇数结果有6种，所以P（奇数）= = ；

（2）公平。因为数字之积出现偶数的结果也是6种，所以P（偶数）= = ，即欢欢和乐乐取胜的机会是一样的。

2、抓阄游戏

案例3.有4位同学得到一张演唱会门票，到底谁去呢？最后他们商量采用抓阄的方法决定由谁获得这张门票。

他们在4张纸上分别写上1、2、3、4，然后捏成纸团，4人各抓一个，规定抓到1号纸团的将得到这次机会。然而，抓阄的先后循序又成了争论的焦点。

甲说：“我要第一个抓阄，因为最先抓取的人抓到1号纸团的可能性最大。”

乙说：“我不那样认为，最先抓取的人抓到1号纸团的可能性是 ，如果他抓不到，那么第二个人抓到1号纸团的可能性是 ，显然概率变大了，我要最后一个抓。”

两人一直争论不休。为此，请你帮忙断定一下是先抓好呢，还是后抓好？抓阄的顺序影响游戏的公平程度吗？说明理由。

赏析：整个抓阄过程也可以用树状图分析（树状图略）。

…………

上述游戏实际上是一种无放回的抓阄游戏，同学们往往凭感性认识来判断这种游戏规则不公平。由树状图可知，第一位抓阄的同学抓到1号纸团的概率是：P（第一位）= ；第二位抓阄的同学抓到1号纸团的概率是：P（第二位）= = ；依次：P（第三位）= = ；P（第四位）= = 。因此，前后抓阄的顺序不影响他们的概率大小，先抓或后抓是一样的，对任何人都是是公平的。

3、摸牌（球）游戏

案例4（2010年贵阳市）在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上。

（1）从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到花色为红心的概率是多少？

（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后正面朝下，再有小李随机抽取一张牌，记下牌面花色。当两张牌面花色相同时，小王赢；当两张牌面花色不相同时，小李赢。请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由。

赏析：（1）P（抽到牌面花色为红心）= 。

（2）本案例和案例3相反，是一种有放回的摸牌游戏。该游戏规则对双方不公平，理由是：通过列表法可知：所有出现的等可能结果共有9种，其中P（抽到牌面花色相同）= ，P（抽到牌面花色不相同）= 。因为 ﹤ ，所以此游戏不公平，小李赢的可能性大些。

4、石头、剪刀、布游戏

例5.“石头、剪刀、布”是民间广为流传的一种游戏，游戏的两人每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，两种手势不分胜负须继续比赛。现有 甲、乙两人做这种游戏。

一次游戏中甲获胜、乙获胜的概率各是多少？

这样游戏对两个人来说公平吗？

赏析：分别用A、B表示甲、乙两人，用1、2、3表示石头、剪刀、布，那么A 表示甲出石头、B 表示乙出剪刀，依次类推。于是，游戏的所有结果用树状图表示也可运用列表法（具体过程省略）。

通过分析不难得知游戏共有9种结果，且出现的可能性相等。因此，一次游戏时：

（1）甲获胜的结果有（A ，B ）、（A ，B ）、（A ，B ）三种，故甲获胜的概率是P（甲获胜）= 。同理，乙获胜的概率P（乙获胜）= 。

（2）由（1）可知，这种游戏中，甲乙两人获胜的概率都是 ，机会均等，所以游戏对于两人来说是公平的。

发生在我们身边的类似游戏还有很多，如抛掷硬币、掷骰子等等。近几年，利用概率判断游戏公平性的试题越来越受广大命题者青睐。解决这类题目首先通过列表和画树状图等方法求出题中事件的相应概率，然后再比较这些概率的大小。若概率相等，则游戏规则公平；若概率大小不相等，则该游戏就不公平。