基于可靠度的重力式挡土墙断面优化设计

叶晨茂，汪 霏

(1.重庆交通大学 河海学院，重庆 400074；2.重庆建筑工程职业学院 建筑工程系，重庆 400039)

在公路工程、水利工程以及工业与民用建筑工程中，挡土墙被广泛地应用于支撑路堤、堤坝等填方或路堑边坡，是确保土坡或自然山坡稳定的构造物。工程实践中，挡土墙的形式多种多样[1]，其中，重力式挡土墙以其结构简单、就地取材，施工方便，经济效果好等优点，是一种常用的挡土墙结构形式，得到广泛应用。

传统的重力式挡土墙通常采用常规的设计方法：①直接套用设计图集；②试算法，依靠人工计算，工作量大、重复性劳动多[2]。传统的结构优化设计方法已广泛应用在土木工程中的各个领域中，然而传统的按照定值法估计安全系数的设计方法虽然行之有效，但并未考虑各设计变量的随机性。基于可靠度理论的优化设计是对常值法优化设计的发展[3]，即能保证工程的安全性，又能使工程建设更加经济有效地进行，它的应用将会给工程建设带来更大的效益。笔者主要介绍按可靠度理论对重力式挡土墙进行断面进行优化的过程。

1 重力式挡土墙可靠度优化设计方法

对于重力式挡土墙的设计，一是要保证结构的安全、实用和耐久；二是要追求经济合理，基于可靠度的结构优化设计就是做到两者的对立统一。

1.1 挡土墙的极限状态方程

重力式挡土墙结构最主要的失稳模式包括两个方面：

1)抗滑移稳定性要求，即墙身沿基底不产生滑动破坏，其极限状态方程为：

Z1=FR-FS

(1)

式中：FR为抗滑力；FS为滑动力。

2)抗倾覆稳定性要求，即墙身不产生绕墙趾的倾覆破坏，其极限状态方程为：

Z2=MR-MS

(2)

式中：MR为稳定力矩；MS为倾覆力矩。

1.2 可靠度指标分析过程

1.2.1 均值1次2阶矩法简介

影响结构可靠度的因素既多且复杂，考虑到对有些因素的研究尚不深入，因此，很难用同一方法准确确定随机变量的概率分布。在通常情况下，只有1阶矩(均值)和2阶矩(方差)较容易得到。1次2阶矩法就是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用只有均值和标准差的数学模型去求解结构可靠度的方法[4]。均值1次2阶矩法，采用Taylor级数在平均值将极限状态功能函数展开，使之线性化。该方法计算比较简便，可导出解析表达式，直接给出可靠度指标β与随机变量统计参数之间的关系[3]，其基本原理如下。

设影响结构可靠度的n个随机变量为Xi(I=1，2，…，3)，对应的功能函数为：

Z=g(x1，x2，…，xn)

(3)

极限状态方程为：

Z=g(x1，x2，…，xn)=0

(4)

将功能函数在某点用泰勒级数展开，并经线性化处理，求得z的平均值mz和标准差σz后，结构可靠指标值β可用式(5)来表示：

(5)

1.2.2 重力式挡土墙可靠度指标计算

重力式挡土墙的滑动稳定极限状态方程及倾覆稳定极限状态方程如式(6)、式(7)：

Z1=FR-FS=Wμ-Ea

(6)

Z2=MR-MS=WZ0-Eaz

(7)

由Coulumb土压力理论得到主动土压力及主动土压力计算系数如式(8)、式(9)：

(8)

(9)

式中：Ea为墙后填土主动土压力；Z0为整个断面的重心至墙趾的距离；z为墙后填土主动土压力作用点位置。

影响重力式挡土墙土压力的主要随机变量包括墙后填土的重度γ、填土内摩擦角φ、黏聚力c、土对挡土墙基底的摩擦系数μ等4个，这些随机变量一般都服从正态分布，挡土墙断面形式如图1。

图1 挡土墙的断面形式Fig.1 Section form of retaining wall

图1的重力式挡土墙模型(墙背竖直光滑)由均值1次2阶矩法计算抗倾覆和抗滑移的稳定可靠度β1，β2，如式(10)、式(11)：

(10)

(11)

1.3 建立可靠度优化设计数学模型

1.3.1 确定目标函数

目标函数是评价和判别设计优劣的标准，是设计变量的函数，代表着所设计结构的某个重要特征或指标。优化设计就是以目标函数为标准，找出这个函数的极值(极小或极大)，从而选出最优设计方案。通常将重力式挡土墙作为平面应变问题来考虑，从而以重力式挡土墙断面圬工数量作为目标函数[5]。

1.3.2 确定约束条件

挡土墙基于可靠度优化设计的约束条件，不仅包括重力式挡土墙的结构构造要求的约束条件，还包括应满足基于极限状态方程的可靠指标约束条件：

βi≥βr

(12)

1.4 优化计算过程

LINGO软件能够快速、方便和有效地构建和求解线性、非线性和整数最优化模型的功能全面的工具。它是使建立和求解线性、非线性以及整数最佳化模型更快更简单更有效率的综合工具，能够提供强大的语言和快速的求解引擎来阐述和求解最佳化模型。

LINGO的建模语言可以以一种易懂直观的方式来表达模型，例如采用公式表示，可以使得模型更加容易构建，也更容易理解，同时，也利于在以后的计算过程当中进行修改。

2 应用实例

某重力式挡土墙截面形式如图1。墙背竖直光滑，墙高h=5 m，忽略被动土压力，挡土墙顶部无附加荷载。γ，φ，c，μ为随机变量，其统计参数见表1。

表1 随机变量的统计参数

2.1 设计变量

以挡土墙截面宽度参数x1，x2作为设计变量。

2.2 目标函数

以截面面积S最小为目标函数：

(13)

2.3 约束条件

2.3.1 可靠度指标

g(1)=β1-βr

(14)

g(2)=β2-βr

(15)

2.3.2 构造要求

1)截面上部最小宽度要求

g(3)=x2-0.4≥0

(16)

2)墙身坡面要求

g(4)=x2/x1-2.5≥0

(17)

2.3.3 优化过程

参照文献[6]，取βr= 2.5，将式(13)～式(17)写入LINGO计算模块当中，得到最后的优化结果。

3 优化结果

优化结果为：S=5.25，x1=1.6 m，x2=0.5 m。

按GB 50007—2002《建筑地基基础设计规范》中相关要求，分别进行抗滑稳定性、抗倾覆稳定性验算：

计算结果表明，该优化结果显然能够满足规范中抗滑移、抗倾覆要求。

4 结果比较

对于同样的挡土墙结构，按传统的优化计算方法计算截面尺寸[7-8]。

土压力值为：

土压力作用点位置：

由抗滑稳定性和抗倾覆稳定分别可以得到：

其余的构造条件同于基于可靠度要求的约束条件，通过计算最后可以得到挡土墙的截面尺寸为：x1=1.4 m；x2=0.4 m。

可以看出，常值计算结果与可靠度优化结果相比，偏小。虽然，由可靠度计算所得到的结果并不是经济最优的，但该结果是在保证了结构的安全、实用和耐久性而得到的经济最优的计算结果，该结果可靠、合理。

5 结 语

介绍了基于可靠度理论的重力式挡土墙优化设计的整个过程。与以往的常值计算方法相比较，由于基于可靠度的方法考虑了各个设计变量的随机性，其结果可靠合理。

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