低温制冷机用柔性板弹簧优化参数及型线分析

甘智华 汪伟伟 王龙一 陶 轩 刘碧强

(浙江大学制冷与低温研究所 杭州 310027)

1 引 言

相比其它轴承支撑技术，柔性板弹簧(flexure bearing，亦可译为flexure spring，简称板弹簧)具有较大的径轴向刚度比与理论上的长寿命，是空间机械式低温制冷技术高效可靠、长寿命运行的关键［1］。其较大的径向刚度用于支撑动子部件，在无活塞环的情况下，保证活塞与气缸之间的狭小间隙(微米级)以实现动态密封及活塞与气缸之间的非接触往复运动;较小的轴向刚度保证活塞在轴向有限位移下几乎无限次的自由往复运动，因此板弹簧具有轴承和弹簧的双重作用以及潜在的长寿命［2］。早期的板弹簧曾应用于紫外线传感器快门系统［3］和人工心脏［4］，直到1981年，牛津大学的Davey第一次将板弹簧应用于低温制冷机，使得制冷机的间隙密封和无油润滑技术成为可能，迅速成为空间长寿命机械式低温制冷机的首选技术［5］。此后，板弹簧在低温制冷机领域获得了广泛的关注和应用。

目前应用的板弹簧主要有3种形式，即涡旋臂、直线臂和Corey型板弹簧，如图1所示。涡旋臂板弹簧(图1a)是应用最早的一种板弹簧［6］，后来又有了直线臂板弹簧［7］(图1b)和美国 Chart(前 Qdrive)公司特有的Corey型板弹簧［8］(图1c)。其中涡旋臂板弹簧的应用最广，一些著名的低温制冷机生产商如Sunpower［9］、Thales［10］、Ricor［11］等都采用这种形式的板弹簧。

图1 3种不同类型的板弹簧Fig.1 Three different kinds of flexure springs

涡旋线的构造关系到板弹簧的径轴向刚度及应力分布，是保证板弹簧长寿命运行的重要研究内容。构造板弹簧型线的方法有很多。1992年，Wong等利用曲线拟合的方法来构造涡旋线［12］。1994年，Haruyama等利用阿基米德螺旋线来构造涡旋线，并将得到的板弹簧与牛津大学的板弹簧进行对比分析，得到了相似的板弹簧性能［13］。2007年，Al-Otaibi等也利用阿基米德螺旋线来构造涡旋线，通过有限元方法对板弹簧进行刚度和应力计算，并优化了最大应力分布［2］。2006年，陈楠等提出利用圆渐开线对涡旋线进行构造，并给出了该型线板弹簧刚度和自振频率的理论计算公式［14］。陈曦等在2011年又提出了利用费马曲线来构造涡旋线，并从理论计算、有限元和实验上进行对比分析［15］。

本文提出同时以“径轴向刚度比”和“最大应力与轴向刚度比”为板弹簧的优化参数，针对应用最广泛的涡旋臂板弹簧，研究了阿基米德、曲线拟合以及圆渐开线3种不同型线的特性，对偏心型与同心型板弹簧进行了比较，通过实验进一步证明了有限元方法的可靠性。

2 板弹簧的性能参数与优化参数

2.1 性能参数

在板弹簧的设计过程中，应特别关注板弹簧的4个性能参数，即轴向刚度、径向刚度、最大应力及自振频率。

2.1.1 轴向刚度(kz)

较小的轴向刚度用于实现活塞的往复运动以及系统的共振运行。

2.1.2 径向刚度(kr)

较大的径向刚度保证低温制冷机活塞和气缸之间微米级的间隙密封和无油润滑，降低活塞和气缸之间发生接触摩擦的风险。

2.1.3 最大应力(σmax)

由于活塞的往复运动，板弹簧将受到交变的应力作用，较大的应力会导致板弹簧破裂损坏，降低制冷机的使用寿命。因此板弹簧应具有较小的应力分布，其最大应力应低于板弹簧材料疲劳强度的60%。

2.1.4 自振频率(f)

为了防止板弹簧发生自振断裂，低温制冷机的运行频率应避开板弹簧的自振频率，从而提高板弹簧的使用寿命。

2.2 优化参数

板弹簧在设计过程中需要优化，即在满足轴向刚度的前提下，应尽量提高板弹簧的径向刚度，减小应力分布。单纯比较轴向刚度、径向刚度以及最大应力分布往往不能准确的判断板弹簧的设计好坏，因此，本文提出同时考虑“径轴向刚度比”和“最大应力与轴向刚度比”为板弹簧的优化参数。

2.2.1 径轴向刚度比(K)

即径向刚度与轴向刚度之比，如式(1)所示。K越大，表示在相同轴向刚度的前提下，具有更大的径向刚度，因此可以更好的支撑动子部件，保证间隙密封和无油润滑。

2.2.2 最大应力与轴向刚度比(S)

即板弹簧最大应力与轴向刚度之比，如式(2)所示。S越小，表示在满足相同轴向刚度及轴向位移时，具有较小的应力分布，这有利于提高板弹簧的使用寿命。

对于基本几何尺寸相同的板弹簧，最大应力分布与其轴向刚度有关，一般轴向刚度越大，相同位移处的应力也越大;同时板弹簧的轴向刚度一般不随位移变化，是板弹簧的固有属性，而径向刚度随位移的增大而减小，最大应力随位移的增大而增大;因此提出以“径轴向刚度比”和“最大应力与轴向刚度比”作为板弹簧的优化参数更具合理性。为了更好地说明这两个优化参数，下面分别使用两种比较方法，对不同形式的板弹簧进行性能分析。

2.2.3 单纯比较 kz、kr以及 σmax

两种板弹簧的径轴向刚度以及最大应力分布如图2和图3所示。从图中可以看出，板弹簧1的径轴向刚度和最大应力都小于板弹簧2，即板弹簧2的径向刚度优于板弹簧1，而板弹簧1的最大应力分布却优于板弹簧2，这就很难对板弹簧的性能优劣做出准确的判断。

图2 两种板弹簧的径轴向刚度Fig.2 Axial and radial stiffness of two flexure springs

2.2.4 综合比较K和S

当采用新的优化参数后，得到两种板弹簧的“径轴向刚度比”和“最大应力与轴向刚度比”如图4和图5所示。从图中可以清晰的看出，板弹簧2具有较大的K与较小的S，较大的K值可以有效的保证低温制冷机的间隙密封和无油润滑，较小的S值可以降低板弹簧疲劳失效的风险，延长其使用寿命。因此板弹簧2的设计较优。

图3 两种板弹簧的最大应力分布Fig.3 Maximal stress distribution of two flexure springs

图4 两种板弹簧的径轴向刚度比Fig.4 K of two flexure springs

图5 两种板弹簧的最大应力与轴向刚度比Fig.5 S of two flexure springs

通过对比以上两种方法可以得出，同时考虑“径轴向刚度比”及“最大应力与轴向刚度比”作为板弹簧的优化设计参数更具合理性，因此本文以下工作都基于上述两个优化参数进行展开。

3 涡旋线研究

3.1 涡旋臂板弹簧型线方程

涡旋臂板弹簧是应用最广泛的一种板弹簧，其型线设计也一直是板弹簧研究的重点。本文在总结国内外涡旋线的基础上，设计和研究了3种不同型线的涡旋臂板弹簧，下面给出3种型线的设计方程式。

3.1.1 圆渐开线型涡旋线［15］

圆渐开线型涡旋线由陈楠提出，目前在国内应用较多，其型线方程如式(3)。

式中:R为基圆半径，α为渐开线展角。

3.1.2 阿基米德型涡旋线［14］

阿基米德螺旋线是应用很广的一种构造涡旋线的方法，其极坐标方程和直角坐标方程分别如式(4)和式(5)所示。

式中:r为涡旋线极径，θ为极角，a为θ=0时的极径，b为极角系数。

3.1.3 曲线拟合型涡旋线［12］

板弹簧的涡旋线也可以通过曲线拟合的方法得到，如式(6)。

式中:λ = β/βmax，f(λ)=c1λ +c2λ3+c3λ5+c4λ7，ri为涡旋线内半径，ro为涡旋线外半径，β为涡旋角，βmax为最大涡旋角，c1、c2、c3、c4、n 为待定系数。根据定义，有边界条件:

定义拐点，令:

式中:si为内圆斜率截距，so为外圆斜率截距。为得到合适的板弹簧，需限制一些系数的大小，令:0.4≤m≤0.6，1≤n≤1.25，0.8≤si，so≤1.2。

3.2 不同型线板弹簧性能分析

针对3种不同的涡旋线，分别设计出两组不同形式的涡旋臂板弹簧，即三臂同心型板弹簧和六臂同心型板弹簧，如图6所示。利用Ansys有限元计算软件，对比分析了两组板弹簧的K值以及S值。为真实的比较不同型线的板弹簧性能，设定每组板弹簧的基本尺寸一致，涡旋线的起始点相同，并尽量保证型线轮廓一致。其中，每组板弹簧的基本尺寸如表1所示。

图6 不同形式的同心型板弹簧Fig.6 Different types of concentric flexure springs

表1 两组同心型板弹簧的基本尺寸Table 1 Basic dimensions of two concentric flexure springs

通过给板弹簧施加轴向载荷以及特定位移处的径向载荷，可以分别计算出板弹簧的轴向刚度以及不同位移处的径向刚度，得到两组板弹簧的径轴向刚度比如图7所示。从图中可以看出，圆渐开线型板弹簧的径轴向刚度比最大，阿基米德型次之，曲线拟合型最小。同时也可以看出，板弹簧的径向刚度随动子位移的增大而减小，这一点在低温制冷机的设计中要特别考虑。为保证间隙密封的可靠性，径向刚度要取活塞最大位移处的值，即最小的径向刚度。

对于最大应力的计算，应考虑板弹簧的实际受力状态。由于板弹簧始终要支撑动子部件，故径向要承受一定的载荷;而轴向随动子运动，具有一定的位移。因此给板弹簧施加1 N的径向力以模拟动子的重力作用，再施加一定轴向位移载荷，从而得到板弹簧的最大应力分布;其最大应力与轴向刚度比如图8所示。从图中可以看出，3种不同涡旋型线板弹簧的最大应力与轴向刚度比非常接近，同时也可以看出，板弹簧的最大应力几乎随位移线性增加。

通过以上比较分析，可以得到:圆渐开线型板弹簧型线设计较为简单，具有较高的径轴向刚度比;阿基米德型设计简单，具有适中的径轴向刚度比;曲线拟合型设计复杂，具有较低的径轴向刚度比;因此圆渐开线和阿基米德螺旋线都可以作为涡旋板弹簧的型线设计之用，且圆渐开线较优;这是由于采用圆渐开线可以得到均匀分布的涡旋槽宽度，而另外两种涡旋线的涡旋槽宽度具有不均匀分布的特性。

图7 不同涡旋型线板弹簧的径轴向刚度比Fig.7 K of different spiral-line flexure springs

图8 不同涡旋型线板弹簧的最大应力与轴向刚度比Fig.8 S of different spiral-line flexure springs

4 偏心型板弹簧研究

偏心型板弹簧与同心型板弹簧相比，具有较小的轴向刚度，因此在相同轴向刚度时，偏心型板弹簧具有较大的厚度，即具有较高的径向刚度，这样就能更好的保证低温制冷机的间隙密封和无油润滑，降低活塞气缸发生摩擦碰撞的风险。根据图6中两组板弹簧，分别作偏心处理，得到两组偏心型板弹簧如图9所示，其中每组板弹簧的偏心率相同。

图9 不同形式的偏心型板弹簧Fig.9 Different types of eccentric flexure springs

利用有限元方法，计算得到同心型和偏心型板弹簧的径轴向刚度比如图10所示。从图中可以看出，偏心型板弹簧的径轴向刚度比要远远大于同心型板弹簧，在最大位移处，三臂偏心板弹簧要高出40%以上，六臂偏心板弹簧要高出210%以上;同时也可得到，偏心型板弹簧径向刚度随轴向位移的变化要平缓一些，这有利于低温制冷机的稳定运行。

同心型与偏心型板弹簧的最大应力与轴向刚度比如图11所示。从图中可以看出，偏心型板弹簧的最大应力与轴向刚度比要略小于同心型板弹簧，且对于不同形式的板弹簧，其最大应力与轴向刚度比与位移都具有较好的线性关系。

5 板弹簧实验研究

为了验证有限元计算方法的准确性，针对4片完全相同的柔性板弹簧，利用Zwick电子试验机分别进行了轴向刚度的测量，其中力载荷与位移关系曲线如图12所示。然后将4片板弹簧组装在一起，测得板弹簧组件的轴向刚度值如表2所示。从表中可以看出，板弹簧的实验测量值稍低于有限元计算值，但非常接近，4个试样的平均误差为11.6%，从而证明了有限元方法的可靠性。同时可以看出，板弹簧组件的整体轴向刚度并不是4片板弹簧轴向刚度的简单叠加，需要独立测量，这一点在设计中需要特别注意。因为板弹簧组件的整体刚度直接关系到线性压缩机的共振频率，而线性压缩机只有工作在共振状态，才具有最高效率。

图10 同心型和偏心型板弹簧的径轴向刚度比Fig.10 K of concentric and eccentric flexure springs

图11 同心与偏心型板弹簧的最大应力与轴向刚度比Fig.11 S of two concentric and eccentric flexure springs

图12 板弹簧的刚度曲线Fig.12 Axial stiffness of flexure springs

表2 板弹簧试样及组件轴向刚度值Table 2 Axial stiffness of flexure spring samples and assembly

6 结论

(1)提出同时考虑“径轴向刚度比”和“最大应力与轴向刚度比”为板弹簧的优化设计参数，利用这两个参数，可以更加精确的指导板弹簧的优化设计工作。

(2)圆渐开线和阿基米德螺旋线适用于涡旋线的构造，且圆渐开线较优。

(3)偏心型板弹簧具有较大的径轴向刚度比与较优的应力分布，且径向刚度随位移的变化平缓，有利于低温制冷机的稳定运行。

(4)实验结果证明了有限元方法的可靠性，且板弹簧组件的整体刚度并不是每片板弹簧轴向刚度的简单叠加。

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