基于有限元方法的薄板超声Lamb波频散曲线计算

陈 亮， 王恩报， 马 豪， 董彦磊， 王 瑜

(电子科技大学 机械电子工程学院，四川 成都 611731)

0 引 言

超声Lamb波检测技术是薄板结构检测一种较为先进的无损检测技术，针对厚度在6 mm以下的薄板结构，利用换能器激励调制信号到薄板中，分析调制信号在传播过程中发生散射、反射和透射后的回波信号，对传播路径上的缺陷等信息进行检测[1-3]。由于Lamb波的频散特性，对于探伤参数选择，辨识性较好的模态选择以及结果分析的简易性等存在很多难题，在实际工业生产过程中的广泛应用产生了很大的阻碍[4]。

通过观察超声Lamb波的频散曲线不难看出，频厚积在1 MHz·mm范围附近，超声Lamb波主要以S0模态和A0模态进行传播；频厚积大于2 MHz·mm时，超声Lamb波将频散成诸多复杂的模态形式进行传播[5-6]。因此选取频厚积在1 MHz·mm范围时对于检测信息的分析的辨识性较好。通过分析检测信息中S0模态和A0模态的信号，对传播路径上的信息进行确定[7-10]。

本文主要采用有限元仿真的方法对薄铝板材料中超声Lamb波的传播进行模拟建模，通过提取仿真结果数据，计算群速度和相速度的大小，拟合绘制在2 MHz·mm以下的频散曲线，并通过Matlab对超声Lamb波的频率方程进行数值模拟，绘制铝板材料超声Lamb波的理论频散曲线。将两种方法计算所得频散曲线进行对比，验证有限元数值模拟的准确性。

1 超声Lamb波频散曲线理论求解

超声Lamb波在板中传播会出现频散现象，即会出现多模态现象。自由边界条件下Raleigh-Lamb频率特征方程为[11-13]：

对称模态

(1)

反对称模态

(2)

式中：p和q分别表示为：

(3)

波数k在数值上等于ω/cp，cp是Lamb波的相速度，ω为圆频率；cL和cT分别表示材料的纵波和横波速度；h为薄板的厚度，

其中，

E是材料的弹性模量；ν为泊松比；ρ为材料密度。

群速度cg可以通过相速度cp来求解，cg与cp有如下关系：

cg=dω/dk

(4)

将k=ω/cp代入上式得:

(5)

利用ω=2πf，上面的等式可以写做：

(6)

利用Matlab对频率特征方程以及群速度与相速度的关系式进行求解，绘制群速度和相速度的频散曲线[14]。

求解对象材料为铝板，密度为ρ=2 700 kg/m3，cL=6.27 mm/μs，cT=3.14 mm/μs。通过数值求解得到群速度和相速度的频散曲线分别如图1和图2所示。

图1 群速度理论频散曲线

图2 相速度理论频散曲线

2 超声Lamb波在板中传播有限元模拟

2.1 材料参数确定

采用ABAQUS对薄铝板中超声Lamb波传播进行数值模拟。所采用铝板材料密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比υ=0.33，弹性模量E=70 GPa。

2.2 激励信号选取

分别采用50，100，150，200，250，300，350，400，450和500 kHz的10种不同中心频率的5周期汉宁窗调制正弦信号作为激励信号。图3所示为中心频率为250 kHz的5周期汉宁窗调制信号。

2.3 有限元仿真计算群速度大小

建立厚度h=4 mm，长度x=300mm的铝板模型，激励信号采用上述中心频率250 kHz的5周期汉宁窗调制信号呈45°加载在模型左上角的集中力，接收点在激发点位置，采用四方形网格划分，模型图见图4。

图3 250 kHz的5周期汉宁窗调制正弦信号

仿真结果接收到的时域波形图如图5所示。从激励信号到接收点收到回波信号的距离为600 mm。

图5 仿真时域波形图(群速度计算)

采用10种激励信号，求出分别对应的S0、A0模态的群速度，同时与前面利用数值求解此材料参数铝板的理论群速度曲线相比较，对比结果如表1所示。

表1 有限元仿真计算群速度及其与理论数值求解误差

从表1可知，有限元仿真计算S0和A0模态群速度的相对误差均小于5%，因此可以验证对板中Lamb波传播频散现象有限元仿真群速度模拟的有效性。

通过表1中的数据可以绘制出通过有限元计算得出的频厚积在0.2～2 MHz·mm内A0模态和S0模态的群速度频散曲线，如图6所示。

图6 有限元计算群速度频散曲线

2.4 有限元仿真计算相速度大小

建模厚度h=4 mm，长度=800 mm的铝板模型，激励信号采用上述中心频率250 kHz的5周期汉宁窗调制信号呈45°加载在模型左上角的集中力，信号接收点选取在距离激励触发位置400、410 mm的点位置，网格划分采用四方形网格划分，模型图见图7。

仿真结果距离激励信号400、410 mm距离的接收点接收的信号时域波形图如图8所示。

图8 仿真时域波形图(相速度计算)

计算A0和S0模态单一频率在经过400～410 mm这10 mm距离时所用的时间差。

与群速度有限元仿真计算相同，采用10种激励信号，求出分别对应的S0模态和A0模态的相速度，同时与前面利用数值求解此材料参数铝板的理论相速度曲线相比较，对比结果如表2所示。

从表2可知，有限元仿真计算所得S0和A0模态相速度的相对误差均小于5%，因此可以验证对板中Lamb波传播频散有限元仿真相速度模拟的有效性。

通过表2中的数据可以绘制出通过有限元计算得出的频厚积在0.2～2 MHz·mm范围内A0模态和S0模态的相速度频散曲线，如图9所示。

表2 有限元仿真计算相速度及其与理论数值求解误差

图9 有限元计算相速度频散曲线

3 结 语

通过有限元方法对薄板结构进行仿真，对超声Lamb的传播模式进行研究，得到以下结论：

(1) 对10组不同的频率对应的频厚积进行有限元仿真，对仿真结果进行计算，绘制了频厚积在0.2～2 MHz·mm范围内A0模态和S0模态的群速度和相速度的频散曲线。

(2) 求解超声Lamb波的频率方程，绘制超声Lamb波的理论频散曲线，将有限元方法绘制的频散曲线与其进行对比，证实了有限元方法的有效性。

同时，对于复合结构和非平面结构，很难建立相应的频散曲线数学描述方程，采用有限元方法可以得到相应的频散曲线，对此类结构的检测提供理论指导。

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