基于椭圆的渐开线齿轮齿根过渡曲线研究

杨 超，王宝超

（机械科学研究总院 中机生产力促进中心，北京100044）

0 引言

渐开线齿轮的主要失效形式为点蚀和弯曲折断。随着齿轮热处理如渗碳淬火、高频淬火和淡化处理等技术的发展，使齿面接触强度得到显著提高，但却增加了发生弯曲疲劳破坏的可能，随着齿轮向着高速重载与小型化的方向发展，也使齿轮的弯曲问题日益突出。所以齿根部位的应力分布状况、最大应力值及部位、以及如何降低弯曲应力引起了人们兴趣和注意[1～8]。

齿轮弯曲应力的计算方法主要有基于悬臂梁结构30°切线法和有限元法。文献[4～7]以有限元为基础对齿轮进行了精确建模和弯曲强度分析；文献[9]基于悬臂梁结构的30°切线法研究了渐开线直齿轮齿根弯曲应力的求解。标准齿条刀具加工的过渡曲线为延伸渐开线的等距曲线，文献[1～3]及[6]表明：该等距曲线并不能使齿根弯曲应力最小，并基于有限元法对齿根过渡曲线进行了优化研究。

本文根据文献[6]采用椭圆曲线方程来描述齿根过渡曲线，采用30°切线法求出齿形系数和应力集中系数，与标准刀具加工的齿根曲线进行比较，结果表明采用椭圆过渡曲线可以使弯曲应力降低15%，文献[6]采用有限元分析的结果为弯曲应力降低17%，两者基本一致，说明采用椭圆作为齿根过渡曲线可以降低齿根弯曲应力。最后采用齿形法线法，反求出滚刀的刀顶曲线。

1 直齿圆柱齿轮参数描述及椭圆方程的求解

为了进行比较，选取的渐开线标准直齿圆柱齿轮的参数与文献[6]完全一致，刀具圆角半径为0.38m, 轴孔直径d0=20mm，其余参数见表1。齿轮材料常数：弹性模量E=205Gpa，泊松比μ=0.3。

表1齿轮参数Tab.1gearparameter

如图1 所示，渐开线标准直齿圆柱齿轮的齿廓由齿顶圆弧（L1 段）、两侧渐开线（L2 段）和两侧齿根过渡曲线（L3 段）组成。由文献[6]建立如图1 所示坐标系，L2 段渐开线齿廓的曲线方程为：

渐开线标准直齿圆柱齿轮的齿根过渡曲线（L3段）采用椭圆曲线来代替，建立如图2 所示的局部坐标系wx-o-wy（wy 位于齿槽终点，转角为Ψ），其椭圆方程设为：

图1 标准齿廓坐标计算Fig.1 Calculation based on the standard profile coordinates

N 点为椭圆与齿根圆的切点，设其在x-o-y 坐标系中坐标为（x1，y1）。x-o-y 坐标系和wx-wo-wy 坐标系的坐标转换关系为：

式中：（x0，y0）是wx-wo-wy 坐标系原点在x-o-y 坐标系中的坐标，其中y0=x0tan（Ψ）。由上述条件列出如下方程组：

其中 （wx1wy1），( wxM,wyM) 分别是 （x1,y1） 和点M（4.3852,46.7942）经坐标相互转换的结果。求得：

2 采用30°切线法求齿形系数和应力修正系数

如图2 所示，由30°切线法的直线斜率和椭圆切线斜率可知：

危险截面齿厚：

SF=2×4.938=9.876

由文献 [9] 求得载荷作用于齿顶时弯曲力臂he=9.2173，载荷角δ=29.528°，进而求得齿形系数和应力修正系数分别为：

图2 椭圆过渡曲线Fig.2 Elliptic curve

当采用标准刀具加工齿轮时，滚刀圆角半径为r=0.38m，由上述公式或者查表GB-3480 ，求得YFao=28，

3 齿形法线法反求滚刀的刀顶曲线

如图3 所示，P-X，Y 是固定坐标系 （P 点是固定坐标系的啮合节点）；齿形与动坐标系ox1-y1固连在一起，o-x1-y1的初始位置与0-x0-y0重合；刀具与动坐标系o2-x2-y2固连在一起。为了使P' 点成为接触点，齿廓在这一点的法线和齿轮瞬心线（标准齿轮与分度圆重合）的交点p" 要与啮合节点p 重合。为此，必须使齿轮和齿廓由初始位置转过φ1角，与此同时，刀具也要从初始位置平移一个距离l=r1φ1。

图3 齿形法线法Fig 3 The tooth profile normal method

由文献[10]可得如下计算方程：各参数的意义参考图3，其余同前文所述。

可以求出一系列的离散点 （x2，y2），通过三次样条曲线拟合，可以求得刀顶曲线的形状如图4 所示。

4 结束语

图4 刀顶曲线Fig.4 The knife tip curve

用椭圆曲线代替延伸渐开线的等距曲线，并采用30°切线法进行应力的计算表明椭圆曲线可使齿根弯曲应力降低15%，又能保证齿廓的连续性和光滑性，但该方法仅适用于给定齿数和模数的齿轮。最后给出了采用齿形法线法反求滚刀刀顶曲线的计算过程，对实践具有指导意义。

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