关于高中数学不等式恒成立问题分析

郝连军

摘 要：不等式恒成立问题是近年来高考数学的热点，也是高中数学教学中的重点内容。由于不等式恒成立问题涉及的知识面多、表现形式多样化以及综合能力强，所以导致学生无从下手，不知道怎样解这一类型的题目。通过分析高中数学不等式恒成立中常见的例题，妙解不等式恒成立问题。

关键词：不等式恒成立；换元思路；函数思路

根据调查发现，高中数学中的不等式恒成立问题成为高中热点命题之一，针对不等式恒成立问题所涉及的知识载体众多，高中数学的解题思路相对比较灵活，尤其是在多题型的情况下学生难以快速找到合适的解题思路，传统单一的教学方法及解题方法不仅不能实现课改的创新要求，而且对学生的答题思路还有一定的限制。下面就将不等式恒成立问题多种解题思路进行系统全面的讲解。

一、换元思路在不等式恒成立问题中的应用

不等式恒成立问题中常见的就是出现参数与变量的结合，在这种情况下利用分离参数得出最大值与最小值就相对困难一些，根据问题的不同，学生在解题的过程中首先需要弄清楚题意中表示的谁是主元，这样解题就有了目标性。然后根据主元构成的函数来进行解题，一般的换元思路中多为一次函数，采取一次函数的直线形状的特点，根据实际分析两个端点的具体情况，这样问题就容易了。

例如：已知f（x）=x3+4ax-l，g（x）=f′（x）-ax-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，恒有g（x）<0，求实数x的取值范围.

分析：理解题意，如果将这一例题看做为关于x的一元二次方程式化简这个过程就会十分的复杂；如果能够改变角度，将其中a的范围看为主元变量问题，x作为做变量，那么这个问题就变成以a为变量的一次函数。

点评：这道题的核心问题在于，学生能够将x视作参数，a视为自变量。

二、函数思路在不等式恒成立问题中的应用

不等式恒成立问题中对于二次函数法的应用主要是根据二次函数图象的特性来解题的，如果能够将不等式问题转化成函数最大值、最小值问题，就需要结合分类讨论思想来完成解题。

例如：已知函数f（x）=x3+ax+x+3，a∈R，若f（x）在区间（-1/3，

-2/3）内是减函数，求a的取值范围。

分析：这一道题的解题思路主要是二次函数区间问题，在这个过程中学生的思路要考虑的就是只对变量讨论，同时本题的关键在于考察二次函数零点的分布，学生需要注意对于特殊点函

数值的正负问题进行思考，问题就简化了，因为函数f（x）在区间

（-1/3，-2/3）内是减函数，所以在（-1/3，-2/3）内，f′（x）=3x2+2a+1≤0恒成立.因为二次函数f′（x）开口向上，f′（x）最小只可能是f′（-2/3）或f′（-1/3），由f′（-2/3）=4/3-4a/3+1≤0与f′（-1/3）=1/3-2a/3+1≤0，得到a≥2。

上一道题的另一种考查形式为：（a-1）n2+（a-1）+2>0恒成立，求a的取值范围。

分析：这道题的变量为n，并且没有任何的限制条件，需要用判别式来思考解决。

解析：如果a-1=0，即a=1时，因此2>0恒成立.如果a-1≠0，即a≠1时，则a-1>0，Δ=（a-1）2-8（a-1）<0，所以1≤a<9。

点评：这一个不等式题目需要利用二次函数，根据二次函数零点的分布，最终得出参数的取值范围。

综上所述，由于高中数学不等式恒成立问题涉及面比较广、综合性比较强，如果基础知识掌握不牢固，没有掌握解题方法，则在解题中很容易出错。因此在课堂以及课下学习的过程中，打好坚实的基础，掌握解题技巧，在解题中不断总结，这样才能促进学生提高解题能力和思维能力。

参考文献：

李冬倩.高中数学中不等式的恒成立问题[J].新校园：理论版，2012（11）.

（作者单位 内蒙古自治区赤峰第四中学）