“举三反一”在数学概念形成过程中的应用——以“指数函数”概念教学为例

张鹏丽

（重庆师范大学 数学学院数学与应用数学专业，重庆 401331）

“举三反一”在数学概念形成过程中的应用
——以“指数函数”概念教学为例

张鹏丽

（重庆师范大学 数学学院数学与应用数学专业，重庆 401331）

数学概念教学是数学教学的一个重要模块，有效的概念教学有利于数学的教学。概念的形成过程作为概念教学的开门锁，起到至关重要的作用。在概念的应用过程中要求学生“举一反三”，熟练掌握所学知识，那么在教师可以将“举三反一”的方法应用到概念的形成过程中，更有效地为学生引入概念，促进学生对概念的理解，发展学生的智力。

数学概念；概念形成；举三反一

现代教学中要求培养学生“举一反三”的能力，即通过一类事情类推而知道其他的多类事情，然而“举三反一”是建立在掌握理解某一确定事情的基础之上的，那么在学习某一类事情过程中，我们可以运用“举三反一”的方法，即通过多类事情中归纳出一类事情。

一、“举三反一”在数学概念教学中的含义

数学概念的形成过程是从大量具体的实例出发，根据实际经验，分化出各种属性，同化出共同属性，抽象出本质属性，再概括到一类事物中，形成概念。[1]在数学概念形成过程中，应用“举三反一”将赋予其独特的含义：通过多个实例的讲解而归纳出其中蕴含着的不变的本质。其中“三”为多个实例，可以是生活实例，可以是与数学学科相关学科的实例，更可以是数学学科本身的实例；“一”为数学中抽象的概念。

二、“举三反一”在数学概念教学中的应用缘由

数学中的某些概念是抽象的，难以理解。中小学生对于某些抽象概念的直接经验较为浅薄，因此在老师将抽象的概念作为间接经验传输给学生的过程中，要结合学生的直接经验基础，不能一味地灌输，不注重方法的选择。其实，人的认知过程是一个非常复杂的过程，我们要重视学生对概念的认识过程，以生动的讲解和形象的比喻对概念作逻辑分析，为学生提供丰富、正确的感性认识途径，为正确理解、记忆、应用数学概念打下扎实的基础。[2]

“灌输式”的教学方法只是把概念的具体内容强加给学生，学生只认识到概念的表面，没有深刻理解概念的内涵。“举三反一”联系生活实际，实现了数学与生活实际相联系的数学教学思想；“举三反一”列举了多种生活实例，丰富了课堂教学活动，便于激发学生的学习兴趣；“举三反一”讲究教师与学生之间的互动，体现了探究式教学的理念，锻炼了学生的探究问题、推理的思维能力。简而言之，“举一反三”深刻反映了数学概念形成过程中的实质，更有效地实现了数学概念形成过程的目标，更有利于学生对概念的掌握。

三、“举三反一”在数学概念教学中的具体应用

（一）“举三反一”的具体演示

“举三反一”在指数函数概念教学中的具体演示如下：

1.教师活动：向学生展示有关指数函数的实例。

观察1：某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……依次这样进行下去，如果细胞分裂了x次，相应的细胞个数为y，如何描述这两个变量之间的关系？

观察2：国王在棋牌中放置麦粒，总计整个棋牌中的麦粒总数，摆放方法如下：第一个格子放2个麦粒，第二个格子放4个麦粒，第三个格子放8个麦粒……依次进行下去，则当放到第x个格子时，放置的麦粒个数为y，试写出y与x的关系式。

观察3：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。[3]根据此规律，试写出生物体内碳14含量y与死亡年数x之间的关系。

当死亡5730年时，y=0.5；

当死亡5730×2年时，y=0.5×0.5=（0.5）2；

当死亡5370×3年时，y=（0.5）2×0.5=（0.5）3；

…

当死亡x年时，y=？

观察4：《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”[4]请写出取x次后，木棰的剩余量y与x的函数关系式。

2.学生活动：对每个实例进行观察分析，小组进行交流讨论，分组阐述观点。学生可两三个人为一个小组，对老师给出的实例进行分析，试着写出各实例的函数关系式，并比较各关系式，找出其异同点，得到一般性结论。各小组将自己的成果总结整合，形成一致观点，并踊跃地向老师提出自己的观点。

3.教师活动：通过学生对上述四个情景的观察和分析得到的探究成果，归纳出指数函数概念。教师针对各小组总结出的观点进行客观的评价，对于错误的观点予以耐心的指导，令学生能够正确认识到自己的错误；对于正确的观点予以真诚的鼓励与赞扬。再之，对学生的观点进行提炼总结，归纳出令学生一致认可的指数函数概念：一般地，函数y=ax2（a＞0且a≠1）叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。[3]紧接着并对概念再加以详细解说。

（二）“举三反一”的过程分析

上述教学演示流程图如下：

图1

指数函数对高一学生来说是一个陌生的概念，与初中所学知识无太大联系，丝毫不加修饰地教授学生指数函数的概念，这种教学方式下学生难以理解指数函数的抽象含义。在以上指数函数概念的形成过程中，运用“举三反一”的方法，教师创设四个具体的情景：“细胞个数随着分裂次数的变化的情境”、“棋牌的格子摆麦粒的个数随着格子的变化的情境”、“生物体内碳14含量随着死亡年数的变化的情境”“棰的长度随着截取的次数的变化的情境”，联系生活实际，易激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察这四个情境变化的过程，在学生小组讨论中找出两个变量之间的关系，并通过比较两个变量之间的关系，找出其中不变的特征，总结归纳出“指数函数”的概念。[5]

在上述教学演示中，充分发挥了教师的指导作用，以及肯定了学生的主体地位。教师给出切合教学主体的实例，使学生的探究中心切合主题；教师提出问题后，将课堂交给学生，让学生学会解决问题的能力；学生在小组讨论中，学会与他人合作交流，有利于课堂情感目标的实现；学生在解决问题中“举三反一”，体会“举三反一”的真谛，从中获得学习数学的乐趣。教师评价各小组得出的结论，将课堂上对学生的评价落实到实处。

四、“举三反一”应用的注意事项

（一）引入情境联系生活实际，简洁而切合

不同阶段的学生发展状况不同，引入情境要考虑学生的心理和生理发展特点，避免生僻、难以令学生理解，注重联系生活实际，不教脱离生活的数学，另外概念教学中概念形成过程所占时间较少，因此引入情境应避免烦琐、占用过多的时间，但是又在概念教学中起着重要的作用，不可省略过多。同时引入情境要符合学科和所学概念特点，力求一针见血，防止模糊不清、偏离课堂的主题，影响教学的正常进行。例如在上述指数函数教学中使用了生物、文学典故、生活等方面的例子，展现了数学与其他学科以及生活的联系，易调动学生的学习好奇心和自信心，同时简短易懂，可以在恰当的时间内完成教学任务。

（二）鼓励学生主动探究，切勿“注入式”

对于抽象的概念，建议采用发现式教学，那么在“举三反一”过程中，就要以学生为主体，教师仅起着引导的作用，放开禁锢学生的手，让学生在积极探索中寻找知识的真谛。老师通过评价学生的发现，对学生的想法进行修正、认可，令学生认识到自身的不足或获得不断探索的鼓励，促进学生身心的不断发展。在上述指数函数概念教学中，学生在老师的指导下自主探究指数函数的概念，并由老师的评价过程来完善指数函数的概念，以保证指数函数概念的准确性。

“举三反一”不仅可以在数学概念形成过程中应用，也可以扩展到数学的其他教学过程，并与“举一反三”的方法相结合，可达到事倍功半的效果。“举三反一”的方法也不局限于数学学科，在其他学科的教学过程中也可以渗透，促进学生对知识的有效掌握。

[1]李伯春，等.数学教育学[M].合肥：安徽大学出版社，2004：179.

[2]吕小兵.重视概念生成 强化数学能力——例谈初中数学概念教学[J].数学教学通讯，2014，（04）：33-34.

[3]刘绍学，等.数学必修1A版[M].北京：人民教育出版社，2007：48，54.

[4]谢祥皓.庄子导读[M].北京：中国国际广播出版社，2008：298.

[5]毛大平.从“举三反一”到“举一反三”——“一次函数”优质课反思[J].教学月刊（中学版教学参考），2014，（01）：46-48.

G642.4

A

1674-9324（2014）51-0182-02

张鹏丽（1994-），女，山西临汾人，本科在读生，研究方向：数学与应用数学。