从“举三反一”到“举一反三”

毛大平

在我市青年教师数学优质课评比中，一位教师的课给我留下较深的印象. 比赛内容是浙江版八上7.3.1“一次函数”. 该教师课上得非常轻松，关键是师生互动，学生显得很投入，因此效率高. 我认为该老师备课很好地体现了新课改的理念，重视了学生的参与. 而在概念引导时又非常好地把握了“举三反一”和“举一反三”的关系，他的成功给我们在数学概念教学中有很多的启发.

一、一次函数教学设计

1. 概念引入

观察1：描述图1中的变化过程，并列出y关于x的关系式.

观察2：一支蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧t小时后，剩余高度为h（cm）. 描述图2中的变化过程，并列出h关于t的关系式.

观察3：一桶水原有18. 5升，水流出速度为0.037升/秒， 接水时间为t（秒），桶内剩余水V1，杯中水的体积为V2. 描述图3中的变化过程，并分别列出V1，V2关于t的关系式.

观察4：图4是一个边长为a的正方体. 描述正方体的体积V和表面积S关于a的变化过程，并列出V和S关于a的关系式.

2. 概念的形成

通过学生对上述四个情境中变化过程的描述和对列出的关系式的观察，归纳出一次函数的概念：一般地，函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）叫作一次函数；当b=0时，一次函数y=kx+b就变成y=kx（k为常数，k≠0），叫作正比例函数.

3. 概念的辨析

（1）请完成下表

（2）填一填

已知，y关于x的函数y=（m+1）x+m2-1，当m 时，它是正比例函数. 当m 时，它是一次函数.

4. 概念的深入理解

（1）某弹簧的自然长度为4cm，在弹性限度内，挂不同质量物体时，其长度如下表：

①请写出y关于x的函数关系式；② k和b具有怎样的实际意义.

（2）请说出一个可以用y=2x+10表示的生活实例.

5. 概念的实际应用

工资、薪金所得适用税率表

（1）求出员工1和员工2应纳税所得额与应交税

（2）求出单位所有员工的应交税

6. 课堂小结

（1）

（2）本堂课思维导图

7. 作业

作业本7. 3（1）

二、一次函数优质课成功归因分析

1. 在概念的形成过程中注重“举三反一”

“举三反一”是指通过多个实例的讲解而明白其中蕴含着的不变的本质. 在概念教学中的目的是提供典型丰富的具体例证，经历分析、比较、综合、概括的过程，抽象本质属性.

“一次函数”是一个比较抽象的概念，较难理解. 在案例中执教者设置了四个具体的情境：“加油的金额随着加油量的变化而变化的情境”“蜡烛的剩余高度随着燃烧的时间而发生变化的情境”“水杯中的水和桶里剩余的水随着接水时间的变化而变化的情境”“立方体的体积和表面积随着边长的变化而变化的情境”，引导学生通过观察变化的过程，找出两个变量之间的关系如下：y=6.40x；h=-5t+20；V1=-0.037t+18.5；V2=0.037t；V=a3；S=6a2. 通过比较分析两个变量之间的这种对应的依存关系，归纳出“一次函数”的概念. 在这个“举三反一”的过程中调动了学生原有的知识经验，在经历数学知识的发生发展过程中培养了学生的观察和归纳能力，积累了数学的活动经验.

2. 在概念的应用过程中注重“举一反三”

“举一反三”是指从一件事情类推而知道其他许多事情，在概念教学中的作用是突出概念的内涵与外延，它和“举三反一”两者之间又是相辅相成的.

在“概念的辨析”环节中对于y=2（x-1），教师追问y与x-1之间是怎样的函数关系？对于y+5=-3x，是 y关于x的一次函数，教师追问：可以看成什么关于x成正比例关系？一下子提升了思维的层次，促进了学生对于一次函数概念的本质理解. 在“填一填”环节中引导学生进行题后反思. 带参数的一次函数考虑因数：系数（k，b）和次数（一次），在这个过程中培养学生思维的严密性.

在“概念的深入理解”环节中，学生借助弹簧秤这个直观易懂的实际例子，引导学生观察x的变化量Δx和y的变化量Δy之间的关系. 发现Δy随着Δx的变化而变化且k=■，k的实际意义是每千克重物拉升弹簧的长度，l表示弹簧的原长. 更一般的知道了一次函数中y随x的变化是均匀的.

在“实际应用”环节中，教师改编了课本的习题，在学生利用口算轻松解决问题1时，抛出了计算整个公司每个员工的应交税，让学生一下子觉得利用口算已经不是办法，需要利用今天学习的“一次函数”解决，在这个过程中学生感受到了学习“一次函数”的必要性和数学是有用的，同时也对学生进行了一次“纳税是每个公民应尽的义务”教育.

在概念的应用过程中，通过“举一反三”的多个环节，很好地促进了学生对“一次函数”概念的理解，学生之所以在这些环节中能非常的投入，与执教老师循序渐进的教学设计有很大关系，与“一次函数”概念形成过程中的“举三反一”也是分不开的，只有在充分理解概念的基础上才能展开对概念的应用.

三、概念教学实施的有效策略

第一，概念（特别是核心概念）教学中，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一. 由于数学概念的高度抽象性，决定了其认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升、在已有认知基础上再概括的过程. 正如本案例中对“一次函数”概念形成中“举三反一”的过程.

第二，人类认识数学概念具有“渐进性”，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学要与学生认知水平相适应”的原因所在. 本案例中的“一次函数”是初中阶段接触的第一个函数，学生都还比较陌生，在表述上采用“变量说”比较通俗易懂.

第三，为了更有利于学生开展概括活动，教师要重视让学生自己举例，“一个好例子胜过一千条说教”. 案例中“请说出一个可以用y=2x+10表示的生活实例”，就起到了很好的作用.

第四，“细节决定成败”，必须安排概念的辨析、精致的过程，即要对概念的内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生通过对概念的正例、反例作判断，更准确地把握概念的细节.

第五，在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念作判断的“操作步骤”，同时建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程.

在我市青年教师数学优质课评比中，一位教师的课给我留下较深的印象. 比赛内容是浙江版八上7.3.1“一次函数”. 该教师课上得非常轻松，关键是师生互动，学生显得很投入，因此效率高. 我认为该老师备课很好地体现了新课改的理念，重视了学生的参与. 而在概念引导时又非常好地把握了“举三反一”和“举一反三”的关系，他的成功给我们在数学概念教学中有很多的启发.

一、一次函数教学设计

1. 概念引入

观察1：描述图1中的变化过程，并列出y关于x的关系式.

观察2：一支蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧t小时后，剩余高度为h（cm）. 描述图2中的变化过程，并列出h关于t的关系式.

观察3：一桶水原有18. 5升，水流出速度为0.037升/秒， 接水时间为t（秒），桶内剩余水V1，杯中水的体积为V2. 描述图3中的变化过程，并分别列出V1，V2关于t的关系式.

观察4：图4是一个边长为a的正方体. 描述正方体的体积V和表面积S关于a的变化过程，并列出V和S关于a的关系式.

2. 概念的形成

通过学生对上述四个情境中变化过程的描述和对列出的关系式的观察，归纳出一次函数的概念：一般地，函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）叫作一次函数；当b=0时，一次函数y=kx+b就变成y=kx（k为常数，k≠0），叫作正比例函数.

3. 概念的辨析

（1）请完成下表

（2）填一填

已知，y关于x的函数y=（m+1）x+m2-1，当m 时，它是正比例函数. 当m 时，它是一次函数.

4. 概念的深入理解

（1）某弹簧的自然长度为4cm，在弹性限度内，挂不同质量物体时，其长度如下表：

①请写出y关于x的函数关系式；② k和b具有怎样的实际意义.

（2）请说出一个可以用y=2x+10表示的生活实例.

5. 概念的实际应用

工资、薪金所得适用税率表

（1）求出员工1和员工2应纳税所得额与应交税

（2）求出单位所有员工的应交税

6. 课堂小结

（1）

（2）本堂课思维导图

7. 作业

作业本7. 3（1）

二、一次函数优质课成功归因分析

1. 在概念的形成过程中注重“举三反一”

“举三反一”是指通过多个实例的讲解而明白其中蕴含着的不变的本质. 在概念教学中的目的是提供典型丰富的具体例证，经历分析、比较、综合、概括的过程，抽象本质属性.

“一次函数”是一个比较抽象的概念，较难理解. 在案例中执教者设置了四个具体的情境：“加油的金额随着加油量的变化而变化的情境”“蜡烛的剩余高度随着燃烧的时间而发生变化的情境”“水杯中的水和桶里剩余的水随着接水时间的变化而变化的情境”“立方体的体积和表面积随着边长的变化而变化的情境”，引导学生通过观察变化的过程，找出两个变量之间的关系如下：y=6.40x；h=-5t+20；V1=-0.037t+18.5；V2=0.037t；V=a3；S=6a2. 通过比较分析两个变量之间的这种对应的依存关系，归纳出“一次函数”的概念. 在这个“举三反一”的过程中调动了学生原有的知识经验，在经历数学知识的发生发展过程中培养了学生的观察和归纳能力，积累了数学的活动经验.

2. 在概念的应用过程中注重“举一反三”

“举一反三”是指从一件事情类推而知道其他许多事情，在概念教学中的作用是突出概念的内涵与外延，它和“举三反一”两者之间又是相辅相成的.

在“概念的辨析”环节中对于y=2（x-1），教师追问y与x-1之间是怎样的函数关系？对于y+5=-3x，是 y关于x的一次函数，教师追问：可以看成什么关于x成正比例关系？一下子提升了思维的层次，促进了学生对于一次函数概念的本质理解. 在“填一填”环节中引导学生进行题后反思. 带参数的一次函数考虑因数：系数（k，b）和次数（一次），在这个过程中培养学生思维的严密性.

在“概念的深入理解”环节中，学生借助弹簧秤这个直观易懂的实际例子，引导学生观察x的变化量Δx和y的变化量Δy之间的关系. 发现Δy随着Δx的变化而变化且k=■，k的实际意义是每千克重物拉升弹簧的长度，l表示弹簧的原长. 更一般的知道了一次函数中y随x的变化是均匀的.

在“实际应用”环节中，教师改编了课本的习题，在学生利用口算轻松解决问题1时，抛出了计算整个公司每个员工的应交税，让学生一下子觉得利用口算已经不是办法，需要利用今天学习的“一次函数”解决，在这个过程中学生感受到了学习“一次函数”的必要性和数学是有用的，同时也对学生进行了一次“纳税是每个公民应尽的义务”教育.

在概念的应用过程中，通过“举一反三”的多个环节，很好地促进了学生对“一次函数”概念的理解，学生之所以在这些环节中能非常的投入，与执教老师循序渐进的教学设计有很大关系，与“一次函数”概念形成过程中的“举三反一”也是分不开的，只有在充分理解概念的基础上才能展开对概念的应用.

三、概念教学实施的有效策略

第一，概念（特别是核心概念）教学中，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一. 由于数学概念的高度抽象性，决定了其认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升、在已有认知基础上再概括的过程. 正如本案例中对“一次函数”概念形成中“举三反一”的过程.

第二，人类认识数学概念具有“渐进性”，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学要与学生认知水平相适应”的原因所在. 本案例中的“一次函数”是初中阶段接触的第一个函数，学生都还比较陌生，在表述上采用“变量说”比较通俗易懂.

第三，为了更有利于学生开展概括活动，教师要重视让学生自己举例，“一个好例子胜过一千条说教”. 案例中“请说出一个可以用y=2x+10表示的生活实例”，就起到了很好的作用.

第四，“细节决定成败”，必须安排概念的辨析、精致的过程，即要对概念的内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生通过对概念的正例、反例作判断，更准确地把握概念的细节.

第五，在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念作判断的“操作步骤”，同时建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程.

在我市青年教师数学优质课评比中，一位教师的课给我留下较深的印象. 比赛内容是浙江版八上7.3.1“一次函数”. 该教师课上得非常轻松，关键是师生互动，学生显得很投入，因此效率高. 我认为该老师备课很好地体现了新课改的理念，重视了学生的参与. 而在概念引导时又非常好地把握了“举三反一”和“举一反三”的关系，他的成功给我们在数学概念教学中有很多的启发.

一、一次函数教学设计

1. 概念引入

观察1：描述图1中的变化过程，并列出y关于x的关系式.

观察2：一支蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧t小时后，剩余高度为h（cm）. 描述图2中的变化过程，并列出h关于t的关系式.

观察3：一桶水原有18. 5升，水流出速度为0.037升/秒， 接水时间为t（秒），桶内剩余水V1，杯中水的体积为V2. 描述图3中的变化过程，并分别列出V1，V2关于t的关系式.

观察4：图4是一个边长为a的正方体. 描述正方体的体积V和表面积S关于a的变化过程，并列出V和S关于a的关系式.

2. 概念的形成

通过学生对上述四个情境中变化过程的描述和对列出的关系式的观察，归纳出一次函数的概念：一般地，函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）叫作一次函数；当b=0时，一次函数y=kx+b就变成y=kx（k为常数，k≠0），叫作正比例函数.

3. 概念的辨析

（1）请完成下表

（2）填一填

已知，y关于x的函数y=（m+1）x+m2-1，当m 时，它是正比例函数. 当m 时，它是一次函数.

4. 概念的深入理解

（1）某弹簧的自然长度为4cm，在弹性限度内，挂不同质量物体时，其长度如下表：

①请写出y关于x的函数关系式；② k和b具有怎样的实际意义.

（2）请说出一个可以用y=2x+10表示的生活实例.

5. 概念的实际应用

工资、薪金所得适用税率表

（1）求出员工1和员工2应纳税所得额与应交税

（2）求出单位所有员工的应交税

6. 课堂小结

（1）

（2）本堂课思维导图

7. 作业

作业本7. 3（1）

二、一次函数优质课成功归因分析

1. 在概念的形成过程中注重“举三反一”

“举三反一”是指通过多个实例的讲解而明白其中蕴含着的不变的本质. 在概念教学中的目的是提供典型丰富的具体例证，经历分析、比较、综合、概括的过程，抽象本质属性.

“一次函数”是一个比较抽象的概念，较难理解. 在案例中执教者设置了四个具体的情境：“加油的金额随着加油量的变化而变化的情境”“蜡烛的剩余高度随着燃烧的时间而发生变化的情境”“水杯中的水和桶里剩余的水随着接水时间的变化而变化的情境”“立方体的体积和表面积随着边长的变化而变化的情境”，引导学生通过观察变化的过程，找出两个变量之间的关系如下：y=6.40x；h=-5t+20；V1=-0.037t+18.5；V2=0.037t；V=a3；S=6a2. 通过比较分析两个变量之间的这种对应的依存关系，归纳出“一次函数”的概念. 在这个“举三反一”的过程中调动了学生原有的知识经验，在经历数学知识的发生发展过程中培养了学生的观察和归纳能力，积累了数学的活动经验.

2. 在概念的应用过程中注重“举一反三”

“举一反三”是指从一件事情类推而知道其他许多事情，在概念教学中的作用是突出概念的内涵与外延，它和“举三反一”两者之间又是相辅相成的.

在“概念的辨析”环节中对于y=2（x-1），教师追问y与x-1之间是怎样的函数关系？对于y+5=-3x，是 y关于x的一次函数，教师追问：可以看成什么关于x成正比例关系？一下子提升了思维的层次，促进了学生对于一次函数概念的本质理解. 在“填一填”环节中引导学生进行题后反思. 带参数的一次函数考虑因数：系数（k，b）和次数（一次），在这个过程中培养学生思维的严密性.

在“概念的深入理解”环节中，学生借助弹簧秤这个直观易懂的实际例子，引导学生观察x的变化量Δx和y的变化量Δy之间的关系. 发现Δy随着Δx的变化而变化且k=■，k的实际意义是每千克重物拉升弹簧的长度，l表示弹簧的原长. 更一般的知道了一次函数中y随x的变化是均匀的.

在“实际应用”环节中，教师改编了课本的习题，在学生利用口算轻松解决问题1时，抛出了计算整个公司每个员工的应交税，让学生一下子觉得利用口算已经不是办法，需要利用今天学习的“一次函数”解决，在这个过程中学生感受到了学习“一次函数”的必要性和数学是有用的，同时也对学生进行了一次“纳税是每个公民应尽的义务”教育.

在概念的应用过程中，通过“举一反三”的多个环节，很好地促进了学生对“一次函数”概念的理解，学生之所以在这些环节中能非常的投入，与执教老师循序渐进的教学设计有很大关系，与“一次函数”概念形成过程中的“举三反一”也是分不开的，只有在充分理解概念的基础上才能展开对概念的应用.

三、概念教学实施的有效策略

第一，概念（特别是核心概念）教学中，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一. 由于数学概念的高度抽象性，决定了其认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升、在已有认知基础上再概括的过程. 正如本案例中对“一次函数”概念形成中“举三反一”的过程.

第二，人类认识数学概念具有“渐进性”，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学要与学生认知水平相适应”的原因所在. 本案例中的“一次函数”是初中阶段接触的第一个函数，学生都还比较陌生，在表述上采用“变量说”比较通俗易懂.

第三，为了更有利于学生开展概括活动，教师要重视让学生自己举例，“一个好例子胜过一千条说教”. 案例中“请说出一个可以用y=2x+10表示的生活实例”，就起到了很好的作用.

第四，“细节决定成败”，必须安排概念的辨析、精致的过程，即要对概念的内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生通过对概念的正例、反例作判断，更准确地把握概念的细节.

第五，在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念作判断的“操作步骤”，同时建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程.