一种基于有限元分析的杨氏模量的能量等效方法

吴晓东，盛美萍，张安付，屈忠鹏

（西北工业大学 航海学院，陕西 西安 710072）

在研究结构振动特性中，杨氏模量一种常用的参数，用于描述固体材料抵抗形变能力。在结构动态特性研究中，对于常用金属材料，可以使用通过静力试验测得的杨氏模量值，但对于粘弹性材料，当其受动态力激励时，其杨氏模量是随激励频率变化的，通常称为动态杨氏模量，因此，在研究具有粘弹性结构动态特性中就不能使用静力试验测得的粘弹性材料静态杨氏模量。现已有多种实验方法[1,2]测量动态杨氏模量，如正弦力激励法、谐振实验法、自由衰减法、振动梁法。动态杨氏模量比静力法测得的杨氏模量更真实地反映结构动态能量特性，但对结构动态能量特性的软件仿真和数值计算中，输入动态杨氏模量较为困难或者无法输入，例如Autosea软件是计算结构动态特性的常用软件，但是只能在Autosea软件中输入杨氏模量的常值，这就造成了软件仿真的误差。针对此问题，本文提出了一种运用有限元分析，以得到既能反映动态杨氏模量的能量特性，又能便于在软件中输入等效杨氏模量，用于该结构的动态特性计算。该方法以具有粘弹性材料自由阻尼板为例进行阐述。此外，由于本文篇幅有限，如无特殊说明，以下杨氏模量简称模量，动态杨氏模量简称动态模量，等效杨氏模量简称等效模量。

1 优化可行性分析

波速法可以获取粘弹性材料自由阻尼板上的阻尼层粘弹性材料的动态杨氏模量。通过波速法获取4组100~3 000 Hz频段内对数平均分布的100个频率点处的模量数据。其中一组数据如图1所示。

图1 动态杨氏模量Fig.1 Figure of dynamic Young's modulus

由图1可知，阻尼材料模量随频率增大而增大，低频增速较快高频增速放缓，且曲线连续，与实际情况相符[1]。结构受激时，由激励点位移ξ和力F求取输入功率P用以表征激励点的能量特性，如式（1）所示[3]

取3个静态模量，分别为模量范围内的下限模量Emin、中间模量Emid和上限模量Emax，分别求取该模量下自由阻尼板结构的输入功率，并与动态模量下的输入功率P0比较，如图2所示。

图2 3种模量常值与动态模量下的输入功率Fig.2 Input power using dynamic and three constant modulus

由图2可知，所有输入功率曲线总体来说较为接近，但各频段的接近程度不一样。下限模量的输入功率在低频与动态模量输入功率接近，而上限模量的输入功率在高频与动态模量输入功率接近，这与动态模量随频率增大而增大的事实相符。

任取一模量常值Et，求取该模量下的输入功率Pt。输入功率Pt和P0为随频率变化的数组，设维数为n，取errort为Pt与P0的误差的评估值。

由表1可知，模量常值为1.00×108时的输入功率与动态杨氏模量下的输入功率更为接近，在所选的6组模量常值中，它更能代表动态杨氏模量的能量特征，更反映真实情况。杨氏模量曲线连续，则其误差曲线也连续，在考察频率范围内，必存在一个误差值最小，最能代表动态模量的模量常值。随后可用有限元优化模块搜索整个区间并获取最小误差下的模量常值。

表1 不同模量常值下的输入功率误差Tab.1 The error of input power using different constant modulus

2 有限元优化

2.1 模型建立

以自由阻尼板为例建立仿真模型，其中基底层长0.5 m，宽 0.4 m，厚 0.003 m，密度 7 800 kg/m3，泊松比 0.28，杨氏模量 2.06×1011Pa，损耗因子 0.01；阻尼层长 0.5 m，宽 0.4 m，厚0.01 m，密度1 100 kg/m3，泊松比0.49，其杨氏模量和损耗因子都是随频率变化的动态数据，逐个分析频点赋值。

在ANSYS有限元软件中建立自由阻尼板的有限元模型。模型基底层采用shell63壳单元，阻尼层采用solid45体单元，自由划分网格。由于网格尺寸必须小于波长的1/6，故根据分析频率范围(100~3 000 Hz)和材料参数，厚0.003 m基底层弯曲波波长下限为0.420 9 m，0.01 m阻尼层波长下限为0.131 5 m，故网格尺寸上限分别为0.070 2 m和0.021 9 m[4]。取壳单元尺寸为0.01 m，体单元尺寸为0.003 m，划分自由网格后，共生成壳单元2 000个和体单元8 000个。以板一顶点为原点，以该顶点所在两边为X、Y坐标，建立平面坐标系，激励点在坐标（0.3,0.3,0）处，激振力为简谐激励，大小为1 N，按实验测量频点逐个进行谐响应分析。激励位置如图3所示，有限元模型如图4所示。

2.2 分析及数据提取

输入动态模量数据和动态损耗因子数据，对图4结构，按实验测量频点逐个进行谐响应分析，提取激励点的力和位移数据，求得每个频率点处的输入功率，以获得动态模量输入功率 P0。

图3 激励位置Fig.3 The point to excite the structure

图4 有限元分析模型Fig.4 The FEA model

2.3 优化设计

再进行预分析，输入模量常值和动态损耗因子数据，同样对图4结构，按实验测量频点逐个进行谐响应分析，提取激励点的力和位移数据，求得每个频率点处的输入功率，得到模量常值输入功率Pt，再根据模量常值输入功率Pt和动态模量输入功率P0，获取二者误差errort。

以模量常值Et为设计变量，以模量常值输入功率Pt与动态模量输入功率P0的误差errort为目标变量，调用ANSYS优化模块进行优化。ANSYS优化模块中的优化算法有零阶方法、一阶方法、随机搜索法、等步长搜索法、乘子计算法、最优梯度法和用户自定义方法。

由于优化目标变量分布情况未知，故本文先用等步长搜索法确定整个频率空间内误差分布，确定局部极小值点范围，再对每个极小值点，缩小设计变量取值范围，缩小收敛界限，进行一阶分析，精确地找出最小误差的局部极值点，误差最小的局部极小值则为优化后的优化模量值。详细优化流程及程序代码如图5所示。

图5 优化流程Fig.5 Flow chart of optimization

3 优化结果分析

对4组实验提供的动态模量数值进行优化后得到等效模量常值Ea，如表2所示。

表2 等效模量常值及其误差Tab.2 Errors and range of dynamic modulus

相比表1，经等效之后，输入功率误差比任取更小。且随着动态模量变化范围越窄，相应误差越小。

分别代入等效模量常值进行分析，得到等效后的输入功率，并与动态模量的输入功率对比，如图6~9所示。

由图6~9知，本文的等效方法所得的4种数据的等效模量常值下的输入功率，在考察频段内，分别与该4种材料的动态模量下的输入功率比较，结果都较为接近，能很好的反映该频段内受激励点的能量特性。对于模量变化范围窄的动态模量，等效作用不明显。反之，对模量变化范围宽的动态模量，等效作用更显著。

4 结论

图6 第1组等效结果Fig.6 Result of equivalence for the 1st time

图7 第2组等效结果Fig.7 Result of equivalence for the 2nd time

图8 第3组等效结果Fig.8 Result of equivalence for the 3rd time

图9 第4组等效结果Fig.9 Result of equivalence for the 4th time

本文提出一种基于能量等效原则，将粘弹性材料的动态杨氏模量等效为杨氏模量常值方法。利用有限元软件的优化模块，从动态模量数据中获取了最接近动态模量下的等效模量常值，以用于特定结构的软件和数值仿真计算，为工程应用提供便利。

[1]刘棣华.粘弹阻尼减振降噪应用技术[M].北京:宇航出版社,1990.

[2]胡卫强,王敏庆,盛美萍,等.阻尼材料动态性能参数的宽频带测试研究[J].机械科学与技术，2007.29(11):1425-1428.HU Wei-qiang,WANG Min-qing,SHENG Mei-ping,et al.Broadband measurement of dynamic performance parameters of damping materials[J].Mechanical Science and technology for Aerospace Engineering,2007,29(11):1425-1428.

[3]姚德源,王其政.统计能量分析原理及其应用[M].北京:北京理工大学版社,1995.

[4]Cremer L M,Heckl,Petersson B.A.T.Structure-borne sound[M].Berlin:Springer,2005.

[5]任辉启.ANSYS7.0工程分析实例详解[M].北京:人民邮电出版社,2003.

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