中考压轴题中如何构建直角三角形

　　摘要：构建直角三角形是中考压轴题常考的考点，很多学生对此束手无策.本文通过一个浅显的例子，探索构建直角三角形的万能模型——两切线夹一圆模型，通过建立该模型，可以很容易地解答只要求符合条件的点的个数的题目.对于压轴题来说，可以利用该模型直观地给出分类解题的思路，且不会出现漏解或者多解的情况.
　　关键词： 中考压轴题两切线夹一圆模型直角三角形
　　
　　历年来的中考数学压轴题中都有涉及构建直角三角形的问题，且有逐年增加的趋势.以近几年的中考题为例，很多省市的压轴题涉及了构建直角三角形，比如2012广东广州，2012浙江杭州，2011辽宁沈阳，2012重庆等十多个省市的压轴题.解这类题需要运用数形结合思想，先从形上感受如何得到直角三角形，再从数的方面计算出符合要求的答案.
　　一、以形快速体验
　　对于构建直角三角形的题目，一些学生不知道如何入手，最常见的问题是产生漏解.我们先看下面这个看似与压轴题无关但是很重要的题目.这道题是根据2010年南通市中考题中的选择题改编的.
　　例1:（改编题）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（-2，-2），R（5，5），点Q在y轴上，△PQR是直角三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
　　A.5个B.4个C.3个D.2个
　　如何快速简单地将所有符合要求的点都找出来呢?这就要讲究技巧.市场上出版的书籍和其他任何书籍都很少涉及这方面的技巧.题目是已知两点（假设为点A，点B），找直角三角形的第三个点.很多同学知道过一点（点A或点B）作线段AB的垂线，只有极少数同学会以AB为直径作圆.大部分同学都找不出所有符合要求的点.
　　这里探讨迅速找出所有符合要求的点的方法.首先，分别过点A和点B作线段AB的垂线.然后以AB为直径作圆.这样除线段AB之外的所有点都符合要求（如图1）.
　　有了上面那个图形，我们就得到一个万能的和已知两点构建直角三角形的基本图形.图1中除线段AB外，其他任何一点都与点A和点B构成直角三角形，并且图1外的其他任何一点和点A点B都不构成等腰三角形，我们把这个图形叫做“两切线夹一圆模型”，当点A点B是定点的时候，答案显而易见.这个模型可以在几何画板里制成自定义工具.
　　再回到刚才的例1，将“两切线夹一圆模型”套进去，可立即得出答案，如图2.
　　从图2中可以看出，在y轴上共有4个点和点P、点R构成直角三角形，所以答案为B.
　　接下来让我们看看中考压轴题真题，体会“两切线夹一圆模型”的“威力”.
　　例2：（2012湖南邵阳）如图3所示，直线y=-■x+b与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．
　　（1）求点C的坐标.
　　（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC，
　　①求证：△PBC∽△MPA.
　　②是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　图3图4
　　分析:第一个问题是送分题，直接可以看出答案.第二个问题的第一小问也不难，先证明∠PMA=∠BPC，再利用两角对应相等证明两个三角形相似即可.第二小问就可以用“两切线夹一圆模型”了.在几何画板中以点P点M构建“两切线夹一圆模型”，移动点P，使“两切线夹一圆模型”经过点B，可以发现有两种情况出现，△PBM是直角三角形，如图4、图5.这给我们进行分类讨论提供了直观的思路（其中有个答案可以直接看出来），防止出现漏解.
　　规范解答:（1）解：∵A（4，0），且点C与点A关于y轴对称，∴C（﹣4，0）．
　　（2）①证明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
　　∴∠PMA=∠BPC．
　　又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，
　　∴∠BCP=∠MAP．
　　∴△PBC∽△MPA．
　　②存在．
　　解：∵直线y=-■x+b与x轴相交于点A（4，0），
　　∴把A（4，0）代入y=-■x+b，得b=3，∴y=-■x+3，∴B点坐标为（0，3）．
　　当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO
　　∴■=■，即■=■，∴PO=■，即P■坐标为（-■，0）．
　　当∠PMB=90°时，则∠PMA=90°（如图）．
　　∴∠PAM+∠MPA=90°．
　　∵∠BPM=∠BAC，
　　∴∠BPM+∠APM=90°．
　　∴BP⊥AC．
　　∵过点B只有一条直线与AC垂直，
　　∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为（0，0）．
　　∴使△PBM为直角三角形的点P有两个，P■（-■，0），P■（0，0）．
　　二、数形结合不漏解
　　有些题目有多个答案，学生解题时容易出现漏解的情况.我们先以“两切线夹一圆模型”了解答案的个数，然后根据情况分类讨论，这样就不会出现漏解的情况.
　　例3：（2011年沈阳市）如图6，已知抛物线y＝x■+bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
　　（1）求抛物线的函数表达式；
　　（2）求直线BC的函数表达式；
　　（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
　　①当线段PQ=■AB时，求tan∠CED的值；
　　②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
　　温馨提示：考生可以根据第三问的题意，在图中补出图形，以便作答.
　　分析:第一个问题比较简单，将抛物线设为顶点式，再将点C的坐标代入即可求得抛物线的函数表达式.可以先用对称轴公式求出b的值，再将点C代入c的值即可求得答案.第二个问题也不难，先在抛物线中令y=0，解出方程即可求得点B的坐标，再用待定系数法可以求出直线BC的函数表达式.第三个问题是考查学生思维能力的问题，关键是求出点E的坐标和使用“两切线夹一圆模型”及数形结合思想.如图7.
　　规范解答：（1）设抛物线的函数表达式为y=(x-1)■+n，将点C（0，-3）代入，得n=-4.
　　∴抛物线的函数表达式为y=(x-1)■-4=x■-2x-3.
　　（2）由y=x■-2x-3=(x+1)(x-3)，知A（-1，0），B（3，0）．设直线BC的函数表达式为y=kx+b，代入点B（3，0）和点C（0，－3），得3k+