矩阵滤波技术进展及其在阵列信号处理中的应用

曾晓晟++韩东（等）

摘 要：矩阵滤波技术可以用于阵列信号的预处理，实现增强通带目标信号，抑制阻带干扰的目的。文章在矩阵滤波器设计及应用方面开展了多年的研究。依据矩阵滤波技术的最新进展，文章总结了已有矩阵滤波设计方法，简要叙述了最小二乘矩阵滤波器、零点约束矩阵滤波器、通带响应误差零点约束、阻带响应整体约束、阻带恒定响应抑制、近场干扰抑制等六种矩阵滤波器的设计方案及相应最优解。从矩阵滤波技术的理论体系完善和该技术的应用两个方面，对该技术的发展方向做了讨论。在使用阵列信号处理技术用于信息传输过程中，矩阵滤波技术可以为之提供技术支撑。

关键词：矩阵滤波器；阵列信号处理；目标方位估计；空域矩阵滤波

1 引言

空域矩阵滤波技术是一种新兴的阵元域数据预处理技术。通过对目标探测区域或方位设置通带和阻带，通过滤波器对通带及阻带的响应及响应误差，设计最优化问题，即可实现空域矩阵滤波器对通阻带不同的响应效果，使得阵元域数据通过空域矩阵滤波器后，通带目标信号能最大程度无失真通过，同时使阻带区域的干扰被最大程度的抑制。

空域矩阵滤波技术为实现阵元域的空域数据处理，需要通过设计矩阵滤波器来实现。矩阵滤波器不仅可以实现空域滤波的功能，也可将之用于设计数字滤波器，两个应用方向虽然不同，但矩阵滤波器的设计方法基本相通。

在矩阵滤波器的设计中，Vaccaro将滤波器对通带响应误差、阻带响应和过渡带振幅作为目标函数及约束条件构造凸规划问题设计滤波矩阵，并将该矩阵滤波器用于匹配场定位前的滤波，以及用于设计希尔伯特变换滤波器[1，2]；鄢社锋和马远良等提出了广义空域滤波的概念，构造凸规划问题，并将其转化为二阶锥规划问题，使用最优化软件Sedumi求解，并将空域矩阵滤波器用于匹配场定位及平面波目标方位估计，使得波束形成获得了超出阵元数目的目标分辨能力[3]；Zhu和Wang等利用半无限最优化（Semi-infinite optimization）设计滤波矩阵，该方法主要用于设计数字滤波器，实现低通、带通或带阻数字滤波功能，该最优化问题的约束条件针对连续的阻带区间，并以积分的形式给出了通带响应误差，较离散形式的解更精确[4]；Macinnes利用伪逆（Pseudo inverse）设计矩阵滤波器，该方法能够直接给出最小二乘解，并将该滤波器用于常规波束形成，同样获得了超过阵元数的目标分辨能力[5]。

韩东等[6-9]在矩阵滤波器设计方面做了大量的工作，给出了最小二乘矩阵滤波器的设计及误差分析，提出了零点约束矩阵滤波器设计方法，提出了通带响应误差或阻带响应整体约束矩阵滤波器设计方法，提出了近场强干扰抑制矩阵滤波器设计方法，加权最小二乘矩阵滤波器设计方法，并对这些方法的误差进行了分析。这些方法都有闭式解，设计效率高，可用于实时阵列信号处理。

2 现有矩阵滤波器设计方案

线列阵阵元数目为N，假设具有相同的角频率？棕0的D个窄带平面波信号源，从D个方向？兹=[？兹1，？兹2，…，？兹D]入射到该基阵，则接收阵采样信号表示为x（t）=A（？兹）s（t）+n（t）

式中 ， 是D个具有相同角频率？棕0的信号源， 是阵列接收数据的背景噪声，A（？兹）∈CN×D是由入射信号方向向量所构成的矩阵，A（？兹）=[a（？兹1），…，a（？兹i），…，a（？兹D）]， 是第i个信号的入射方向向量，（·）T表示矩阵转置。

设计一个滤波器矩阵 对接收阵列数据进行阵元域滤波，滤波输出为：y（t）=Hx（t）=HA（？兹）s（t）+Hn（t）

=AH（？兹）s（t）+nH（t）

滤波器方向向量的响应为：

为使该滤波器保留感兴趣方向的信号，滤除不感兴趣方向的噪声，并且限制过渡带的输出响应，可通过对特定的方向？兹i设计不同的k（？兹i），1？燮i？燮D值实现。

2.1 最小二乘矩阵滤波器

定义由全空间方向向量构成的阵列流形为X=[a（？兹1），…，a（？兹M）]∈CN×M，期望响应向量构成的期望阵列流形为Y=[k（？兹1）a（？兹1），…，k（？兹M）a（？兹M）]∈CN×M。则可建立如下最优化问题设计最优空域矩阵滤波器：

（1）

可以通过建立Lagrange方程并通过求偏导数的方式，求得该问题的最优解：

（2）

即滤波器矩阵H等于期望阵列流形Y与原阵列流形X的右伪逆XH（XXH）-1的乘积。可以通过期望阵列流形中波达方向系数k（？兹j），1？燮j？燮M的设置得到不同类型的滤波器。

图1 不同阵元数情况下矩阵滤波器效果

（左侧为滤波器响应，右侧为误差响应）

2.2 零点约束矩阵滤波器

假设VP和VS=[VS1，VS2]分别为通带阵列流形和（左右）阻带阵列流形。

其中vpi、vsj分别是通带、阻带离散化后的第i、j个方向向量，P，S分别为相应的离散化方向向量数目。则可以建立如下的最优化问题，实现阻带区域上某强干扰的抑制：

Subject to HVs=0N×S

该最优化问题的解为：

（3）

图2 零点约束矩阵滤波器对干扰抑制效果

（左侧为离散强干扰抑制效果，右侧为扇面强噪声抑制效果）

2.3 通带响应误差零点约束

为了能够产生通带信号无失真通过的效果，可以使滤波器对通带响应的进行零误差约束，在此情况下，求阻带响应最小。

Subject to HVP-VP=0

该问题的最优解为：

（4）

2.4 阻带响应整体约束

在整体划分通带和阻带的情况下，可以让阻带的整体响应小于某设定值，也可以使通带的整体响应误差小于某设定值，通过调节约束值，就可以产生对阻带内干扰的抑制调节作用。这里我们考虑阻带整体响应约束滤波器：

Subject to

该最优化问题的最优解为：

（5）

其中 表示共轭转置，（·）-1表示非奇异方阵求逆。确定Lagrange乘子■的方程为：

2.5 阻带恒定响应抑制约束

前面所有的设计方法，都没有产生一个恒定的阻带响应抑制效果，通俗的讲，就是产生“平”的阻带。通过下面的设计，就可以实现这种效果：

这种矩阵滤波器没有闭式解，其求解过程需要通过最优化软件实现，在阵元数增多时，求解效率低，不利于实时信号处理。

图4 阻带响应整体约束和恒定阻带抑制约束矩阵滤波器效果

（左侧为滤波器响应，右侧为误差响应）

2.6 近场强干扰抑制

如果近场存在强干扰，则可以通过下面的最优化问题，抑制近场干扰对接收数据的影响：

Subject to HV0=0

该最优化问题的最优解为：

（6）

通过这种设计方法，可以产生在保留通带情况下，抑制阻带内某个方位的强干扰。

3 矩阵滤波器发展方向

矩阵滤波技术现已成功应用于平面波波束形成以及匹配场定位前的阵元域数据处理，但该技术还没有形成完善的理论体系，与波束域空域滤波技术容易产生混淆，其应用领域也与波束域空域滤波有所不同，由于其自身特点，阵元域空域矩阵滤波技术可以与平面波波束形成技术结合，也可以与匹配场处理技术结合，可实现更高的定位精度，可实现超出阵元数目的目标探测、定位能力，有望解决拖曳阵声纳平台辐射噪声抑制问题。

以下给出了矩阵滤波技术的四个发展方向，对应于该技术理论体系的完善和应用领域的拓展。

1）连续积分形式空域矩阵滤波器设计

研究常规空域滤波方法，现有空域矩阵滤波技术都是针对离散化后空间方位设计的，设计效果与离散化间隔有关，当离散化间隔趋近于无穷小时，与连续积分形式所获得的空域滤波器应具有相同的效果。研究连续积分形式所获得的空域矩阵滤波器对通带及阻带的响应和响应误差，用以设计空域矩阵滤波器，完善空域矩阵滤波器的理论体系。

2）特殊及任意阵形的空域矩阵滤波器设计

目前空域矩阵滤波器的设计都是集中在等间隔线列阵，空域矩阵滤波技术可以用于任意阵形的阵元域数据预处理，任意阵形，以及某些特殊的如圆阵、面阵、双线阵等的空域矩阵滤波器设计需要从线列阵的设计方法上拓展，从而完善空域矩阵滤波器的设计。

3）阵元域空域矩阵滤波对信号检测、波束形成影响研究

阵元域空域矩阵滤波器可以增加通带信号的检测能力，抑制阻带区域的强噪声干扰，但这种能力的提高及强干扰的抑制只是给出大致的效果，还没有完全从数理角度给出理论说明。尤其对于阵元域空域矩阵滤波后，能实现超出阵元数的信号检测能力，具体可以超出多少，还需要深入研究。

4）阵元域空域矩阵滤波器应用研究

阵元域的空域矩阵滤波器可以用于阵列波束形成前的空域滤波，也可以用于匹配场定位前的阵列数据预处理，亦可将空域矩阵滤波技术与波束形成技术结合，用于抑制阵列垂直面上的强噪声干扰，同时保留水平面上的目标侦测能力，有望解决长久以来困扰拖曳阵声纳的平台自噪声干扰抑制问题。

4 结束语

综上所述，文章对矩阵滤波技术进行了分析和阐述，帮助相关产业更好的应用，促进该项技术的快速发展。

参考文献

[1]Vaccaro R J， Harrison B F. Optimal matrix-filter design[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 1996， 44（3）： 705-709.

[2]Vaccaro R J， Chhetri A， Harrison B F. Matrix filter design for passive sonar interference suppression[J]. J. Acoustic Soc. Am.， 2004，115（6）： 3010-3020.

[3]鄢社锋，侯朝焕，马晓川. 矩阵空域预滤波目标方位估计[J]. 声学学报， 2007，32（2）： 151-157.

[4]Zhu Z W ，Wang S， Leung H et al. Matrix filter design using semi-infinite programming with application to DOA estimation[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 2000， 48（1）： 267-271.

[5]Macinnes C S. Source localization using subspace estimation and spatial filtering[J]. IEEE J. Ocean. Eng.， 2004，29（2）： 488-497.

[6]Han Dong，Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with application to filtering short data records[J]. IEEE Signal Processing Letters， 2010，17（5）： 521-524.

[7]Han Dong， Yin Junsong， Kang Chunyu， Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with controlled mean-square sidelobe level[J]. IET signal processing， 2011，5（3）： 306-312.

[8]韩东，章新华. 零点约束矩阵滤波设计[J]. 声学学报， 2010，35（3）： 353-358.

[9]韩东，章新华. 宽带最优空域矩阵滤波器设计[J]. 声学学报，2011，36（4）： 405-411.

Subject to

该最优化问题的最优解为：

（5）

其中 表示共轭转置，（·）-1表示非奇异方阵求逆。确定Lagrange乘子■的方程为：

2.5 阻带恒定响应抑制约束

前面所有的设计方法，都没有产生一个恒定的阻带响应抑制效果，通俗的讲，就是产生“平”的阻带。通过下面的设计，就可以实现这种效果：

这种矩阵滤波器没有闭式解，其求解过程需要通过最优化软件实现，在阵元数增多时，求解效率低，不利于实时信号处理。

图4 阻带响应整体约束和恒定阻带抑制约束矩阵滤波器效果

（左侧为滤波器响应，右侧为误差响应）

2.6 近场强干扰抑制

如果近场存在强干扰，则可以通过下面的最优化问题，抑制近场干扰对接收数据的影响：

Subject to HV0=0

该最优化问题的最优解为：

（6）

通过这种设计方法，可以产生在保留通带情况下，抑制阻带内某个方位的强干扰。

3 矩阵滤波器发展方向

矩阵滤波技术现已成功应用于平面波波束形成以及匹配场定位前的阵元域数据处理，但该技术还没有形成完善的理论体系，与波束域空域滤波技术容易产生混淆，其应用领域也与波束域空域滤波有所不同，由于其自身特点，阵元域空域矩阵滤波技术可以与平面波波束形成技术结合，也可以与匹配场处理技术结合，可实现更高的定位精度，可实现超出阵元数目的目标探测、定位能力，有望解决拖曳阵声纳平台辐射噪声抑制问题。

以下给出了矩阵滤波技术的四个发展方向，对应于该技术理论体系的完善和应用领域的拓展。

1）连续积分形式空域矩阵滤波器设计

研究常规空域滤波方法，现有空域矩阵滤波技术都是针对离散化后空间方位设计的，设计效果与离散化间隔有关，当离散化间隔趋近于无穷小时，与连续积分形式所获得的空域滤波器应具有相同的效果。研究连续积分形式所获得的空域矩阵滤波器对通带及阻带的响应和响应误差，用以设计空域矩阵滤波器，完善空域矩阵滤波器的理论体系。

2）特殊及任意阵形的空域矩阵滤波器设计

目前空域矩阵滤波器的设计都是集中在等间隔线列阵，空域矩阵滤波技术可以用于任意阵形的阵元域数据预处理，任意阵形，以及某些特殊的如圆阵、面阵、双线阵等的空域矩阵滤波器设计需要从线列阵的设计方法上拓展，从而完善空域矩阵滤波器的设计。

3）阵元域空域矩阵滤波对信号检测、波束形成影响研究

阵元域空域矩阵滤波器可以增加通带信号的检测能力，抑制阻带区域的强噪声干扰，但这种能力的提高及强干扰的抑制只是给出大致的效果，还没有完全从数理角度给出理论说明。尤其对于阵元域空域矩阵滤波后，能实现超出阵元数的信号检测能力，具体可以超出多少，还需要深入研究。

4）阵元域空域矩阵滤波器应用研究

阵元域的空域矩阵滤波器可以用于阵列波束形成前的空域滤波，也可以用于匹配场定位前的阵列数据预处理，亦可将空域矩阵滤波技术与波束形成技术结合，用于抑制阵列垂直面上的强噪声干扰，同时保留水平面上的目标侦测能力，有望解决长久以来困扰拖曳阵声纳的平台自噪声干扰抑制问题。

4 结束语

综上所述，文章对矩阵滤波技术进行了分析和阐述，帮助相关产业更好的应用，促进该项技术的快速发展。

参考文献

[1]Vaccaro R J， Harrison B F. Optimal matrix-filter design[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 1996， 44（3）： 705-709.

[2]Vaccaro R J， Chhetri A， Harrison B F. Matrix filter design for passive sonar interference suppression[J]. J. Acoustic Soc. Am.， 2004，115（6）： 3010-3020.

[3]鄢社锋，侯朝焕，马晓川. 矩阵空域预滤波目标方位估计[J]. 声学学报， 2007，32（2）： 151-157.

[4]Zhu Z W ，Wang S， Leung H et al. Matrix filter design using semi-infinite programming with application to DOA estimation[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 2000， 48（1）： 267-271.

[5]Macinnes C S. Source localization using subspace estimation and spatial filtering[J]. IEEE J. Ocean. Eng.， 2004，29（2）： 488-497.

[6]Han Dong，Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with application to filtering short data records[J]. IEEE Signal Processing Letters， 2010，17（5）： 521-524.

[7]Han Dong， Yin Junsong， Kang Chunyu， Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with controlled mean-square sidelobe level[J]. IET signal processing， 2011，5（3）： 306-312.

[8]韩东，章新华. 零点约束矩阵滤波设计[J]. 声学学报， 2010，35（3）： 353-358.

[9]韩东，章新华. 宽带最优空域矩阵滤波器设计[J]. 声学学报，2011，36（4）： 405-411.

Subject to

该最优化问题的最优解为：

（5）

其中 表示共轭转置，（·）-1表示非奇异方阵求逆。确定Lagrange乘子■的方程为：

2.5 阻带恒定响应抑制约束

前面所有的设计方法，都没有产生一个恒定的阻带响应抑制效果，通俗的讲，就是产生“平”的阻带。通过下面的设计，就可以实现这种效果：

这种矩阵滤波器没有闭式解，其求解过程需要通过最优化软件实现，在阵元数增多时，求解效率低，不利于实时信号处理。

图4 阻带响应整体约束和恒定阻带抑制约束矩阵滤波器效果

（左侧为滤波器响应，右侧为误差响应）

2.6 近场强干扰抑制

如果近场存在强干扰，则可以通过下面的最优化问题，抑制近场干扰对接收数据的影响：

Subject to HV0=0

该最优化问题的最优解为：

（6）

通过这种设计方法，可以产生在保留通带情况下，抑制阻带内某个方位的强干扰。

3 矩阵滤波器发展方向

矩阵滤波技术现已成功应用于平面波波束形成以及匹配场定位前的阵元域数据处理，但该技术还没有形成完善的理论体系，与波束域空域滤波技术容易产生混淆，其应用领域也与波束域空域滤波有所不同，由于其自身特点，阵元域空域矩阵滤波技术可以与平面波波束形成技术结合，也可以与匹配场处理技术结合，可实现更高的定位精度，可实现超出阵元数目的目标探测、定位能力，有望解决拖曳阵声纳平台辐射噪声抑制问题。

以下给出了矩阵滤波技术的四个发展方向，对应于该技术理论体系的完善和应用领域的拓展。

1）连续积分形式空域矩阵滤波器设计

研究常规空域滤波方法，现有空域矩阵滤波技术都是针对离散化后空间方位设计的，设计效果与离散化间隔有关，当离散化间隔趋近于无穷小时，与连续积分形式所获得的空域滤波器应具有相同的效果。研究连续积分形式所获得的空域矩阵滤波器对通带及阻带的响应和响应误差，用以设计空域矩阵滤波器，完善空域矩阵滤波器的理论体系。

2）特殊及任意阵形的空域矩阵滤波器设计

目前空域矩阵滤波器的设计都是集中在等间隔线列阵，空域矩阵滤波技术可以用于任意阵形的阵元域数据预处理，任意阵形，以及某些特殊的如圆阵、面阵、双线阵等的空域矩阵滤波器设计需要从线列阵的设计方法上拓展，从而完善空域矩阵滤波器的设计。

3）阵元域空域矩阵滤波对信号检测、波束形成影响研究

阵元域空域矩阵滤波器可以增加通带信号的检测能力，抑制阻带区域的强噪声干扰，但这种能力的提高及强干扰的抑制只是给出大致的效果，还没有完全从数理角度给出理论说明。尤其对于阵元域空域矩阵滤波后，能实现超出阵元数的信号检测能力，具体可以超出多少，还需要深入研究。

4）阵元域空域矩阵滤波器应用研究

阵元域的空域矩阵滤波器可以用于阵列波束形成前的空域滤波，也可以用于匹配场定位前的阵列数据预处理，亦可将空域矩阵滤波技术与波束形成技术结合，用于抑制阵列垂直面上的强噪声干扰，同时保留水平面上的目标侦测能力，有望解决长久以来困扰拖曳阵声纳的平台自噪声干扰抑制问题。

4 结束语

综上所述，文章对矩阵滤波技术进行了分析和阐述，帮助相关产业更好的应用，促进该项技术的快速发展。

参考文献

[1]Vaccaro R J， Harrison B F. Optimal matrix-filter design[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 1996， 44（3）： 705-709.

[2]Vaccaro R J， Chhetri A， Harrison B F. Matrix filter design for passive sonar interference suppression[J]. J. Acoustic Soc. Am.， 2004，115（6）： 3010-3020.

[3]鄢社锋，侯朝焕，马晓川. 矩阵空域预滤波目标方位估计[J]. 声学学报， 2007，32（2）： 151-157.

[4]Zhu Z W ，Wang S， Leung H et al. Matrix filter design using semi-infinite programming with application to DOA estimation[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 2000， 48（1）： 267-271.

[5]Macinnes C S. Source localization using subspace estimation and spatial filtering[J]. IEEE J. Ocean. Eng.， 2004，29（2）： 488-497.

[6]Han Dong，Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with application to filtering short data records[J]. IEEE Signal Processing Letters， 2010，17（5）： 521-524.

[7]Han Dong， Yin Junsong， Kang Chunyu， Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with controlled mean-square sidelobe level[J]. IET signal processing， 2011，5（3）： 306-312.

[8]韩东，章新华. 零点约束矩阵滤波设计[J]. 声学学报， 2010，35（3）： 353-358.

[9]韩东，章新华. 宽带最优空域矩阵滤波器设计[J]. 声学学报，2011，36（4）： 405-411.