开放性问题在数学教学中的应用

摘 要： 开放性问题是数学教学的一种新模式，具有新颖性、动态性、发散性和创新性等特点，其类型可分为归纳型、存在型、条件探索型.开放性问题具有一定的知识教育价值、能力发展教育价值和人文教育价值，在数学教学中有广泛的应用.

关键词： 开放性问题 数学教学 应用

实施教育改革以来，以培养人的能力为核心的问题解决、数学建模等教学模式受到越来越多的数学教育工作者的重视.教师的教学观与学生的学习观都发生了很大的变化.教师不再是教学的“主角”而是“导演”，教师的作用是主导而不是主宰，学生不是知识的被动接受者，而是教学活动的中心和主体，学生的学习是一个“建构”的过程，是一个创造或再创造的过程.所有这些观念已成为共识，为人们普遍接受.但是，教育观念的转变并不等于教学实践也随之发生变化.

开放性问题教学是相对封闭式的教学而言的，是一种新的教学思想指导下的新的教学模式.教师不再主宰课堂，而是让学生充当主角.教师的注意力集中于创设情境，设计问题，为学生思考、探索、发现和创新提供最大的空间，不对学生预先设置任何框框.既有独立思考的学生个体活动，又有学生之间、师生之间的合作、讨论、交流的群体活动，在宽松、民主的教学环境中促进学生主体精神、创新意识和创新能力的发展.

一、借助开放性趣味题，激发学生探究的兴趣

在新知识的导入中巧设趣味性的，新颖奇特的开放性问题，能诱发学生的好奇心，激发学生的探究兴趣，调动学生学习的主动性和积极性.

例如在六年级代数式的课题引入中，可以给学生这样引入：

师：“每个同学心里想一个10以内的数，按如下要求计算，把结果记在心里.把想的这个数加上7，在乘以2，再减去6，再除以2，再减去原来的那个数.”

师：“我能猜出你们的答案！”

生：“不可能！老师你说说看！”

师：“答案肯定是4！”

课堂气氛热闹起来.很多同学不明白为什么互不相同的数，却能得到相同的结果，更不明白老师是怎么知道的.探究的兴趣一下子就被激发出来了.这时，老师就可以顺势引导学生说：“数学中经常用字母表示数.”……平时，教师要注意收集一些有趣的、带有悬念的、能引起学生兴趣的问题，如“中央电视台的《焦点访谈》节目为什么首播时间要放在19：38呢？”；“将一张厚度为0.09mm的纸对折42次后，其厚度是多少？是否能够从地球到达月球？”前者应用于“钟面上的追击问题”的教学中，后者应用于“数的乘方”的教学中.通过这些饶有情趣的数学问题，创设出开放性的问题情境，激发了学生的学习兴趣，引发了学生积极主动地思考.

二、将封闭性问题改为开放性问题，引导学生多角度探究

开放性问题有利于学生形成发散思维，为学生的自主探究创造了条件.很多原有的包含了数学思想和数学方法精髓的封闭型问题稍加改变，成为开放性问题后，学生学习兴趣会大大提高.

例1：已知，如图3，在△ABC中，点D，E是BC边上的点，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC.

可以将题目改编为一道开放性的问题，学生有了兴趣和信心，再对学生进行多方面的引导，促使他们进行多方面的思考和探究，既可强化学生对知识的理解和应用，提高学习效率，又能增强他们的思维能力.

（1）改编成条件开放性问题：

已知：如图3，在△ABC中，点D，E是BC边上的点，且AD=AE，要证明△ABD？艿△ACE，还需要补充一个怎样的已知条件？

（2）改编为结论开放性问题：

已知：如图3，在△ABC中，点D，E在BC边上，且BD=CE，AD=AE，从已知条件你能得到哪些结论？

（3）改编成综合开放性问题：

已知：如图3，在△ABC中，点D，E在BC上，现在有4个论断：①∠BAD=∠CAE，②AD=AE，③AB=AC，④BD=CE，请你从中选出两个论断作为题设，另两个论断作为结论组成一个真命题，并加以证明.

通过一题多变，让学生感受到，同一个图形背景下的问题，却能从不同的角度变化出多样化的问题.使学生学会多方面、多角度地思考问题和探究问题，加强知识的连贯性和应用的灵活度.

例2：如图4，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC边和CA边上，BD=2DC，CE=2EA，AD与BE相交于G，求证：AD=BE.

我们只要隐去结论改为开放性问题就能得到不同的解答.

如图4，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC边和CA边上，BD=2DC，CE=2EA，AD与BE相交于G，试就有关图形的形状、大小和关系得出尽可能多的结论.

本题的答案：

先考虑三角形的全等关系，有：

（1）△ACD？艿△BAE（因为AC=AB，CD=AE，∠BAE=∠C）由此可以推出

（2）AD=BE

（3）∠DAC=∠EBA

（4）∠ADC=∠BEA

再考虑特殊角：

（5）显然，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°

（6）联系（1），有∠AGE=∠EBA+∠GAB=∠EAG+∠GAB=∠EAB=60°

进一步推出：

（7）∠DGE=120°

（8）D，G，E，C四点共圆

（9）AE·AC=AG·AD或BG·BE=BD·BC

（10）2AG·AD=BG·BE

（11）∠GDC+∠CEG=180°

（12）AG：AE：GE=AC：AD：CD，BG：BD：GD=BC：BE：CE

三、用引发争论的焦点问题，引导学生合作与交流

合作与交流是开放式学习所倡导的一种学习方式.在教学过程中，通过焦点问题，引发学生相互探讨，互补学习，增强合作意识和交往能力.

例3：若关于x的方程（k-1）x■+2kx+k+3=0（k为整数）有实数根，求k的最大值.

一些学生通过求△=（2k■）-4（k-1）（k+3）>0得出k<■，又由于k为整数，故k的最大值为0.

但立即有学生反驳道：必须使二次项系数k≠1时，才能考虑判别式的值.于是许多同学马上求得k的最大值为0.

但也有学生说：“当k=1时，是一元一次方程.”方程有实数根-2，于是k的最大值仍然是1.这个结果让同学们既感到有趣，又感到困惑.这不是从终点又回到了起点了吗？

通过同学之间的热烈讨论，相互质疑，相互补充，最后同学们达成了共识：k的最大值确应唯1，但是此“1”非彼“1”也.学生通过相互间的交流与合作，更加深了对判别式的理解和对分类讨论的认识.

当然，开放性问题也不是完美的，也有其不足之处.如：开放性问题在单一的技能训练、知识学习上费时费力，效率较低；在教学时易受课时的制约，在课堂上出现学生的思维在低层次上重复现象，不易进行深入的研究；开放性问题的教学对教师要求较高，不易推广，等等.因而，我们应该把开放性问题和封闭性问题在教学中结合起来.开放性问题和封闭性问题在数学教学中应是并存而非排斥的.封闭性问题主要引起认知结构的同化，而开放性问题则是引起认知结构的顺应.在认知变化的过程中，同化说明成长，一种量的变化，而顺应则说明发展，是一种质的变化.这两种心理过程结合在一起进行很多次循环，乃是智慧的适应和解决问题能量的发展的原因.