数学归纳法的再认识

摘 要： 本文试图通过第一、第二数学归纳法的逻辑推理证明过程，指出数学归纳法的实质和逻辑原理，并通过各种典型的例子对数学归纳法归纳推理的方法和技巧问题进行了探讨和剖析.

关键词： 数学归纳法 添项法 裂项法

定理1：（第一数学归纳法）已知一个与自然数有关的命题P（n），如果

（i）对于数1它是正确的，即P（1）真.

（ii）当假定对自然数k，P（k）真时，能够证明P（k+1）也真，那么命题P（n）对所有的自然数n都为真.

定理2：（第二数学归纳法）设P（n）是一个含有自然数n的命题，如果

（1）P（n）当n=1时成立；

（2）在P（m）对于所有适合1≤m≤k的自然数m成立的假定下，可以证明P（k+1）成立.

那么，P（n）对任意自然数n都成立.

数学归纳法是数学中一种重要而独特的证明方法，对与自然数n有关的命题的证明一般是行之有效的.下面结合题型实例给出方法和技巧，同时体现其应用.

一、添项法

如何添项，添项后怎么处理，是证明恒等式和不等式经常遇到的问题之一.在使用数学归纳法进行证明的过程中添项的关键是要找准式子形成的规律，然后利用归纳假设推证出所需的式子.