培养学生的数学主元思想

所谓“主元思想”，是指在含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中，选择其中一个字母作为主要研究对象，视为“主元”，而将其余各字母视作参数或常量，来指导解题的一种思想方法。笔者以厦门市2013届高三理科数学质检卷第19题的解题过程为例，谈了一些做法：

题目：已知函数f（x）=x+alnx在 x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，g（x）=f（x）+ x2-bx。（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设x1，x2（x1

解：（Ⅰ）（Ⅱ）略；

（Ⅲ）

∵x1，x2（x1、x1）是函数g（x）的两个极值点，

∵x1，x2（x1、x2）是方程g'（x）=0的两个实数根，

∴x1+x2=b-1，x1·x2=1，

∴

x2] ……①

解题时，多数学生只能进行到这一步，原因是式子①所含的参数太多了。显然，这是学生缺乏主元意识造成的，应引起教师的高度重视。笔者大胆让学生探究这个问题，教学过程如下：

笔者说：“求①式的最小值，我们应该怎么做？”

学生1回答：“用基本不等式。”

学生2回答：“用导数。”

笔者说：“我们可以考虑用导数，但它目前并不是个函数，函数应该是两个变元。用什么办法可以把它变为函数呢？”

经过认真观察①式后，学生3回答：“可不可以把其中一个字母，比如x1当作自变量，其他字母 x2、b当作常数（或已知数），这样就可以把它看成关于x1的函数 y=h（x1）。”

听到这位学生的回答，笔者感到一阵欣喜。在笔者的鼓励下，学生3把“

”这个式子写了出来。

笔者继续引导他：“突出x1为自变量即主元，其他为参数。那么，我们能否把它整理得更像一个函数呢？”

学生3回答：“能。只要把 x2、b 用含x1的式子代替，那么它就是一个函数了。”

接着，学生3写出了解法：以x1为主元，令h（x1）=g（x1）-g（x2）

当他写到这一步时，笔者问：“要求函数的值域，还应知道什么条件？”学生异口同声地回答：“还要求变元x1的取值范围，即h（x1）的定义域。”

学生4回答：“ ∵

由x1+x2=b-1，x1·x2=1得0

笔者说：“到此，这个问题变成了一个简单的求函数值域问题：已知x1∈（0， ]，求函数 的最小值。接下去，应该怎么解？”

学生5回答：“先换元。令t=x12，则

，

∵

∴ 函数 在区间 上是单调递减函数，故ymin= -2ln2 。”

最后，笔者问：“解决本题的关键是什么？”

学生6回答：“就是以其中一个字母x1为主元，其他两个字母x2、b都能用表示x1，最终把它看成关于x1的函数来解决。”

笔者说：“像这个问题，关键是确立主元。一旦主元确定了，解决问题的方向也就确定了。那么，本题还有其他解答方法吗？”

笔者的问题又使学生再次陷入思考中。

学生7回答：“根据对称性，也可以选择x2为主元。解题过程类似。”

学生8回答：“还可以选择 b为主元，建立关于b的函数。”

学生9回答：“我发现，

选择 为主元，令t=x12，则

，与第一个问题一样。”