浅析线性代数中初等变换方法的应用

摘 要：用初等变换的思想方法分析、解决线性代数中的一些问题。

关键词：初等变换 矩阵 增广矩阵

中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）06（c）-0199-01

线性代数中有诸多的思想方法，其核心是等价分类求标准形以及贯穿全书始终的初等变换的思想方法。初等变换的方法是线代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法之一。这种方法的实质是将问题化繁为简，化多为少，化大为小，并保持事物的本质不变，矩阵的初等变换计算简洁便于应用，是研究线性代数问题的一个重要工具。在文献[1][2]中，已应用矩阵的初等变换解决了：（1）求线性方程组的通解；（2）求可逆矩阵的逆矩阵；（3）化矩阵为标准形；（4）求向量组的极大线性无关组；（5）判断向量组等价；（6）求多项式的最大公因式、最小公倍式及组合系数多项式；（7）求标准正交基等。初等变换在线性代数中的应用远不止这些，如何巧妙地运用初等变换去解决线性代数中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果。以下就初等变换的思想方法在线性代数中的广泛应用做进一步的总结。

1 基本定理

定理1 矩阵经过初等行（列）变换后，其秩不变。

定理2 设=（）关于基的坐标为（）用矩阵表示成。因可逆，所以，即：

定理3 设矩阵方程，若A可逆，则，即：

推论1设矩阵方程，若A可逆，则，，即：

定理4 对A作一系列初等行变换，同时作相应的初等列变换，把A化为对角形B，其初等列变换把单位阵化为变换阵P

则存在可逆变换，将A对应的二次型化为标准型。

2 典型例题详解

例1 用初等变换法求矩阵的秩。

解 先把第五行邻换到第一行：

注意：用初等变换把矩阵化为阶梯形或标准形，则阶梯形中非零行数r就是矩阵的秩。

3 结论

初等变换在线性代数中的应用非常广泛，要真正掌握这种方法，才能巧妙地运用其解决线性代数中有些运算复杂的问题，起到事半功倍的效果。

参考文献

[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1987.

[2]杨家骐，王卿文.高等代数在初等数学中的应用[M].济南：山东教育出版，1992.

[3]王文省，姚忠平，钟红心.初等变换的思想方法在高等代数中的应用[J].聊城师院学报：自然科学版，2000，13（3）：76-78.