股票投资组合中若干优化算法的比较研究

摘 要： 鉴于投资组合的构建既是机构投资者首先关注的核心问题，又是金融市场中每个个体投资人需要解决的问题，具有重要的实际意义，本文利用实际数据，首先采用遗传算法、模拟退火算法和粒子群算法等多种算法对模型进行优化计算，然后将所得结果进行了比较研究。

关键词： 资产组合 遗传算法 模拟退火算法 粒子群算法

1.引言

1.1研究背景简介

1.1.1数理金融学

数理金融学（Mathematical Finance）是通过运用数学知识和技术研究金融领域的问题的一门学科，其研究方法是，首先对需要研究或解决的实际问题提出假设，然后以此假设为基础，建立相应的数学模型，最后是对该数学模型进行数值计算等定量分析，以及必要的理论分析，由此发现金融学的有关规律，进而将其用于指导金融实践活动。

鉴于在求解数学模型的过程中，离不开计算机的辅助计算，因此，我们也可认为数理金融学是现代数学及其计算技术在金融领域的应用。

回顾金融学的发展历程，在上世纪50年代之前，金融学的研究主要是定性分析，而很少有定量分析。1952年，美国经济学家、1990年诺贝尔经济学奖获得者马科维茨（Harry.M.Markowitz）在《金融杂志》上发表了题为《资产组合选择——投资的有效分散化》的学术论文，该文堪称现代组合投资理论的开端，并由此开启了金融学定量分析的先河。

1.1.2最优资产组合问题概述

马科维茨的论文《资产组合选择——投资的有效分散化》的发表，是现代金融理论史上的里程碑。该文最早采用风险资产的期望收益率（均值）及方差（或标准差）代表的风险来研究资产组合和选择的问题。自此以后，有关金融市场中投资决策和风险管理等问题，就开始受到世界各国经济学家的广泛关注和深入研究。

在金融风险管理方面，较为棘手的问题之一就是如何度量投资风险。马科维茨的“收益率方差”的风险评价指标无疑对后来的研究产生了深远的影响。

马科维茨认为，任何一位投资者在进行收益率不确定性（风险）决策时，既要追求“高收益”，又希望“收益尽可能确定”。决策的目标无非有两点：一是“尽可能高的收益率”；二是“尽可能低的风险（即不确定性）”。

在通常情况下，收益与风险呈正的相关性，即高收益往往伴随着高风险，因而在投资过程中，投资者最为关注的问题就是预期收益和风险的关系。投资者的目的就是构造一个有效的投资组合，从市场上为数众多的股票中选出若干进行组合，从而实现其“固定收益的水平上风险最低”，或“固定风险的水平上收益最高”的愿望。

每个投资者都知道，收益与风险是两个相互制约的因素。因而在实际操作中，投资者所追求的最佳决策应该是使这两个方面达到最佳平衡状态，这就需要找到一个最佳的投资组合，能够使得投资者实现对于最佳决策的追求。

20世纪90年代初期，一种度量市场风险的VaR（Value at Risk：风险价值）方法的提出，既为人们提供了一种可操作性更强的风险评估工具，又便于金融机构加强内部风险管理，该方法已成为当今金融领域测量金融风险的主流方法。

不同投资者的风险偏好往往是不同的，使得投资者的效用最大化是追求最优投资组合的方法之一。

1.1.3智能优化算法

智能优化算法又称为现代启发式算法，该算法具有全局优化性能，并且通用性强、适合于做并行处理等特点。该算法通常有严密的理论依据，并非单纯凭借专家经验，从理论上讲，该算法能够在一定的时间内找到问题的最优解或近似最优解。常用的智能优化算法有遗传算法（简称GA：Genetic Algorithm）、模拟退火算法（简称SA：Simulated Annealing）、粒子群算法（简称PSO：Particle Swarm Optimization）等，这些算法具有全局性、自适应及离散化等特点，都是从任一解出发，按照某种机制，以一定的概率在整个求解空间中搜索最优解。由于上述算法能够将搜索的空间扩展到整个问题空间，因此具有全局优化性能。

1.2写作目的

本文的最终写作目的是采用优化算法对最优资产组合问题进行分析，从而得到一个最佳的投资组合。写作论文的机会学习了最优资产组合、模拟退火算法及遗传算法等相关知识，并且对数理金融这门课程有了进一步的认识。

2.问题阐述

2.1问题介绍

2.2模型的建立及求解

2.2.1单目标投资组合优化模型

投资者既要求期望收益不低于某个值，又要求风险最小，也就是选择满足在非负约束条件下具有预期收益率的风险最小的证券投资组合，模型如下：

以下先用多种模拟方法分别对上述多目标投资组合优化模型求解，然后对所得结果进行分析。

3.基于多种算法的投资组合优化模型的求解与分析

3.1遗传算法

3.1.1算法产生的背景

自20世纪40年代起，生物模拟（即仿生学）发展成为计算科学的一个组成部分。对机器智能的强烈渴望，极大地促进了仿生学的发展；对大规模优化问题有效求解的现实需求，也有力地推动了遗传算法（GA）的产生；1962年美国的J.Holland教授受达尔文进化论的启发，首先提出了GA算法的思想，并于1975年发表了著名的学术论文“Adaptaton in Natural and Artificial Systems”（自然界和人工系统的适应性）。

遗传算法又叫进化算法，是通过模拟达尔文进化论中的“物竞天择，适者生存”的生物进化过程而产生的计算模型，该算法是通过对自然进化过程进行模拟来找到最优解的算法。近些年来，遗传算法作为一种有效的工具，已被广泛地应用于最优化问题的求解之中。

（1）遗传算法的含义

遗传算法是一种全新的全局优化算法，它模拟生物界“适者生存，优胜劣汰”的进化规律，通过自然选择、遗传、变异等作用机制，达到提高各个个体的适应性（即决策变量的目标函数）的目的。

遗传算法模拟自然选择和遗传过程中发生的繁殖、交叉，以及基因突变等现象，在每次迭代中都保留一组候选解，并按某种指标从解群中选取较优的个体，利用遗传算子对这些个体进行组合，从而产生新一代的候选解群，再根据需要重复此过程，直到获得某种收敛指标为止。

（2）遗传变异理论概述

遗传与变异是生物界不断地、普遍地发生的现象，也是物种形成与生物进化的基础。构成生物的基本的结构与功能单位是细胞，而细胞中的染色体又包含着生物的全部遗传信息。染色体中包括蛋白质和DNA（脱氧核糖核酸），DNA是染色体的主要成分，是遗传的物质基础。DNA具有双螺旋结构，基因是染色体上的有效DNA片断，是遗传的基本单位，生物的各种性状就决定于其相应的基因。基因通过复制与交叉决定生物性状的遗传与变异。

（3）进化论知识概述

所有的生物都具有变异的特性，世界上不会有两个生物是完全相同的。生物都具有高度的繁殖率与自下而上的竞争能力。生物普遍具有繁殖过剩的倾向，但由于受到食物与空间的限制，以及其他因素的影响，每种生物只有少数个体能够得到发育与繁殖。生物在生存竞争过程中，对生存有利的变异个体就被保留下来，而对生存不利的变异个体则被淘汰，这就叫“自然选择”或“适者生存”。新的个体遗传父母双方各一部分的基因，同时又有一定的概率发生基因的变异。概括来说就是：繁殖过程会发生基因交叉和基因突变，适应度低的个体被逐步淘汰，适应度高的个体越来越多。在经过N代的自然选择后，保存下来的个体都是适应度很高的，这当中很可能就有史上所产生的适应度最高的那个个体。

3.1.2算法思想

遗传算法通过借鉴生物进化论，将需要解决的问题模拟成一个生物进化的过程，经过复制、交叉、突变等操作产生下一代的解，把适应度函数值低的解逐步淘汰，从而增加适应度函数值高的解。如此经过N代进化后，就很有可能会进化出适应度函数值很高的个体。

（1）编码

遗传算法要求将问题的解编码成字符串的形式。最常见的编码方式是二进制编码，也就是将问题的解编码成二进制位数组的形式。

（2）初始种群

遗传算法通过采用随机方式生成若干个体的集合，这样的集合称为初始种群，初始种群中个体的数量称为种群规模。

（3）适应度函数

采用适应度函数值来评价一个个体（解）的好坏：适应度函数值越大，则解的质量越好。适应度函数既是遗传算法进化过程的驱动力，又是进行自然选择的唯一标准，它的设计必须依照问题本身的要求而定，一般来说就是用于评价某个染色体的适应度，用f（x）表示，有时还要求区分染色体的适应度函数与问题的目标函数。

（4）选择

遗传算法采用选择运算对群体中的个体进行优胜劣汰的操作。这样，适应度高的个体被遗传到下一代群体中的概率较大，而适应度低的个体被遗传到下一代群体中的概率较小。这就是选择操作，其目的就是按某种方式从父代群体中选取某些个体，并将其遗传到下一代群体中。

遗传算法中的选择算子采用轮盘赌选择方法。轮盘赌选择又叫做比例选择算子，其基本思路是：个体被选中的概率与其适应度函数值成正比。

轮盘赌选择方法的实现步骤：

（ⅰ）计算群体中的所有个体的适应度函数值（需要解码）；

（ⅱ）利用比例选择算子的公式，并计算每个个体被选中遗传到下一代群体的概率；

（ⅲ）采用模拟赌盘操作（即生成0到1之间的随机数和每个个体遗传到下一代群体的概率进行匹配）来确定各个个体是否遗传到下一代群体中。

轮盘赌算法：

//按设定的概率，随机选中一个个体

//P[i]表示第i个个体被选中的概率

int RWS（ ）

{ m = 0；

r=Random（0，1）； //r为0至1的随机数

for（i=1；i<=N； i++）

{ //产生的随机数在m～m+P[i]间则认为选中了i

//因此i被选中的概率是P[i]

m = m + P[i]；

if （r<=m） return i；

}

}

（5）交叉

（6）变异

在生物的繁殖过程中，新产生的染色体中的基因会以一定的概率出错，这种现象称为变异。变异运算就是将个体编码串中的某些基因值依据变异概率P■用其他基因值进行替换，以便形成新的个体。遗传算法中的变异运算是产生新个体的辅助方法，它既决定了遗传算法的局部搜索能力，又保持了种群的多样性。通过交叉运算和变异运算的相互配合，就可完成对搜索空间的全局搜索和局部搜索。遗传算法中的变异算子采用的是基本位变异算子。基本位变异算子就是对个体编码串随机指定的某一位或某几位基因进行变异运算。对于基本遗传算法中用二进制编码符号串所表示的个体，如果需要进行变异操作的某一基因座上的原有基因的值为1，变异操作就会将其变为0；反之，如果原有基因的值为0，变异操作就会将其变为1。

3.1.3主要步骤

（1）将需要解决的问题进行编码；

（2）初始化：确定种群的规模和终止准则，并将随机生成的N个个体作为初始种群X（0）；

（3）置进化代数t=0；

（5）种群进化：以一定的概率应用选择算子、繁殖（交叉和变异）算子产生下一代种群X（t+1）；

（6）终止检验：如果X（t+1）满足终止准则，则输出X（t+1）中具有最大适应度的个体作为最优解，终止计算；否则令t=t+1，转步骤3。

具体流程图如下：

3.1.4适用领域

遗传算法适用于复杂的、困难的全局优化问题，而不是通常的数值优化问题。也就是说，如果能用传统方法有效求解的，就用传统方法，而当传统方法求解无效或求解困难时就用遗传算法。以上所说的复杂问题主要是指目标函数的解析表达式不易计算，或者目标函数没有明确的表达式，又或者目标函数有极多的峰值，抑或目标函数是向量值（多目标）；以上所说的困难主要指目标函数或约束函数不连续、不可微、高度非线性，或者优化问题为NP问题。

3.1.5实例分析

当λ=0.2时，表示投资者更加关注风险，从Table1中可以看出浦发银行的期望收益率较高（仅次于中国医药），而且其风险在八支股票里居中，这一点显然要优于其他股票，因此它将会在投资组合中占很大比例（83.86%）；当λ=0.8时，表示投资者更加关注收益，由于中国医药的风险最大（高出其他股票很多），且其收益也最高，因此它会占很大比例；从Table4中还可以看到，λ的值越大，期望收益率越大，风险也越高。

3.2模拟退火算法

3.2.1算法产生的背景

模拟退火算法（SA）是基于Mente-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，它来源于物理中的金属物质的退火原理与一般组合优化问题之间的相似性。SA起初被Kirkpatrick等人应用于组合优化领域。SA从某一较高初温出发，随着温度参数的不断下降，结合概率的突跳特性，在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，也就是在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。模拟退火算法是一种通用的优化算法，在理论上，该算法具有概率的全局优化性能，在工程中，例如在控制工程、机器学习、信号处理、生产调度、神经网络、VLSI（超大规模集成电路）等领域都有广泛的应用。

3.2.2算法思想

模拟退火算法是一种通过赋予搜索过程一种时变并且最终趋于零的概率突跳性，可有效避免陷入局部极小，进而最终趋于全局最优的串行结构的优化算法。

模拟退火算法有如下特点：（1）与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S（即算法迭代的起点）无关；（2）具有渐近收敛性，在理论上已被证明是一种以概率l收敛于全局最优解的全局优化算法；（3）具有并行性。

由于该算法的原理和金属退火的原理近似，因此将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。

模拟退火与物理退火的相似关系如下：

3.2.3主要步骤

（1）由一个产生函数从当前解中得出一个位于解空间的新解。为了后续计算和接受的方便，以及减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可得出新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等。需要注意的是，由于产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

（2）计算与新解所对应的目标函数差。由于目标函数差仅由变换部分产生，因此目标函数差的计算最好按增量计算。事实证明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

（3）判断新解是否被接受。判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则：若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp（-Δt′/T）接受S′作为新的当前解S。

（4）当确定接受新解时，用新解代替当前解。这时，只需要将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。如此，当前解就实现了一次迭代，在此基础上可以进行下一轮试验；如果新解被判定为舍弃，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

算法动态演示图：

3.2.4适用领域

模拟退火算法的应用很广泛，它能以较高的效率求解调度问题（Scheduling Problem）、0-1背包问题（Zero One Knapsack Problem）、图着色问题（Graph Colouring Problem）、最大截问题（Max Cut Problem），等等。

3.2.5实例分析

（1）单目标投资组合优化模型

编码运行：

在Matlab环境下编写程序，设定参数，代入数据，模拟运行100次，得到结果图像如下：

根据马科维茨的资产组合均值方差理论，选择图中标记为X的点所对应的组合，各组合信息如下表：

对于不同的风险偏好者，可以选择不同的组合：风险喜好者可以选择具有高风险高收益的后两种组合，风险中性者可以选择中间三种组合，风险厌恶者可以选择前两种组合。

（2）多目标投资组合优化模型

模型求解流程同1，在不同的偏好系数λ=0.2，0.5，0.8下，得到最优投资策略如下表：

相应的期望收益率，方差和目标函数值如下表：

3.3粒子群算法

3.3.1算法产生的背景

粒子群算法（PSO）源于复杂适应系统（简称CAS：Complex Adaptive System）。CAS理论创立于1994年。CAS中的成员称为主体，例如研究鸟群系统，每个鸟在这个系统中就称为主体。主体均有适应性，它能够与环境及其他的主体进行交流，并且根据交流的过程“学习”或“积累经验”，以改变自身结构及行为。整个系统的演变或进化包括：（1）新层次的产生（小鸟的出生）；（2）分化和多样性的出现（鸟群中的鸟分成许多小的群）；（3）新的主题的出现（鸟在寻找食物过程中，不断发现新的食物）。

CAS系统中的主体具有四个特点（这些特点是PSO发展变化的依据）：

首先，主体是主动的、活动的；其次，主体与环境及其他主体是相互影响、相互作用的，这种影响是系统发展变化的主要动力；再次，环境的影响是宏观的，主体之间的影响是微观的，宏观与微观要有机结合；最后，整个系统或许还要受到某些随机因素的影响。

粒子群算法就是通过对一个CAS系统——鸟群社会系统的研究得出的。该算法最早由Eberhart和Kennedy于1995年提出，它的基本概念源于对鸟群觅食行为的研究。设想这样一个场景：一群鸟在随机地寻找食物，在这个区域里只有一块食物，所有的鸟都不知道食物的位置，但是它们知道当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么呢？最简单且有效的策略就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。

粒子群算法就是受到这种生物种群行为特性的启发，并将其应用于求解优化问题。在该算法中，每个优化问题的潜在解都可以想象成d维搜索空间上的一个点，将其称为“粒子”，所有的粒子都有一个被目标函数决定的适应值，每个粒子还有一个速度决定它们飞翔的方向和距离，然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。Reynolds在对鸟群飞行的研究中发现，鸟仅仅是追踪它有限数量的邻居但最终的整体结果是整个鸟群好像在一个中心的控制之下，也就是说，复杂的全局行为是由简单规则的相互作用引起的。

3.3.2算法思想

粒子群算法就是模拟一群鸟寻找食物的过程，每个鸟就是该算法中的粒子，也就是我们需要求解问题的可能解。这些鸟在寻找食物的过程中不停地改变自己在空中飞行的位置与速度。我们可以观察一下，在寻找食物的过程中，开始时鸟群比较分散，逐渐地这些鸟就会聚成一群，这个群忽高忽低、忽左忽右，直到最后找到食物。现在，我们将这个过程转化为一个数学问题。寻找函数y=1-cos（3x）e的在[0，4]最大值。该函数的图形如下：

当x∈[0.935，0.945]，达到最大值y=1.3706。为了得到该函数的最大值，我们在[0，4]之间随机地放置一些点。为了方便演示，我们放置两个点，并且计算这两个点的函数值，同时给这两个点设置在[0，4]之间的一个速度。下面这些点就会按照一定的公式更改自己的位置。到达新位置后，计算这两个点的值。然后再按照一定的公式更新自己的位置，直到最后在y=1.3706这个点停止自己的更新。

这个过程与粒子群算法的对照如下：

（1）这两个点就是粒子群算法中的粒子。

（2）该函数的最大值就是鸟群中的食物。

（3）计算两个点函数值就是粒子群算法中的适应值，计算用的函数就是粒子群算法中的适应度函数。

（4）更新自己位置的一定公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。

现在演示这个算法运行一次的大概过程：

第一次初始化

第一次更新位置

第二次更新位置

第21次更新

最后的结果（30次迭代）

最后所有的点都集中在最大值的地方。

3.3.3主要步骤

在投资组合理论中，人们都希望找到若干个投资策略的组合方案，以达到收益最大风险最小的目的。如果将这个过程用上述的粒子群方法进行表述就是通过粒子的不断运动，寻找可以使收益最大风险最小的组合。

每一个粒子都表示一个可能的解，每一个粒子都随着最优解的变化而变化，直到粒子收敛到一个值不再变化为止。

这里需要解决两个问题：第一，什么是最优解，第二，粒子应该如何变化，下面对这两个问题做出解释。

（1）什么是最优解

人们对投资组合的期望是收益最大且风险最小，但是如何寻找收益与风险的平衡点呢？可能有人认为得到100的收益而承受80的风险是值得的，但是另外的人或许觉得获得80的收益而承受60的风险才是可以接受的。由于每个人风险偏好的不同，因此最优投资组合的解释就会有所不同，于是引入一个风险偏好变量λ，并定义一个表示投资组合优劣性的变量：

p=λ×收益-（1-λ）×风险

这样一来，对于关注收益而忽视风险的人，只需要将的值设定的大一些；反之，设定的小一些就能够用p值的大小来表示投资组合的优劣性。p值越大表明投资组合越优。

（2）粒子如何变化

根据粒子群算法的原理，需要使得粒子是运动的，即解是不断变化，从而不断接近最优解的，然而，这里的粒子的变化以什么为依据，又是以怎样的方式进行变化的呢？

为了说明上述情况，先假设粒子以速度V运动。随着粒子的运动，可以求出某个粒子在运动过程中能使p达到最大值的某个位置，将此位置记为pbest，将其称为局部最优。同样的，在所有的粒子中可以找到使p值最大的那个粒子所对应的位置，将此位置记为gbest，将其称之为全局最优。如此一来，粒子现在所处的位置present就应该向着最优位置移动，这里所说的最优包括局部最优和全局最优，当粒子向最优位置移动时也许会遇到更优的解，从而不断地更新最优解，直到确定最优解的位置。于是这样定义V：

这样一来，就可以使粒子的位置不断地产生移动，从而不断地产生新的全局最优和局部最优解。经过若干次的迭代之后，就能得到一个收敛的全局最优解，而这个解所对应的粒子的当前位置就是需要求解的投资组合的解。

（3）非负化和归一化

从上面的算法中可以看到，粒子群算法是采用一定的选择策略，利用不完全穷举法得到的最优解，对投资组合来说，这个解还需要满足下列条件：

①所得到的最优解必须各项相加等于1；

②在不允许卖空的情况下，所得到的最优解必须非负。

为了做到上述两点，需要对结果做归一化和非负化。归一化就是把最优解的各项元素都除以元素和，这样得出的结果就满足各个元素相加的结果为1；非负化是通过比较，找出最优解各个元素中的最小者，如果这个最小元素为负值，就将各个元素都加上这个最小元素的绝对值，这样就将最优解的各个元素都转化成了正值。需要说明的是，拿到最优解后应该先进行非负化然后再归一化。

经过非负化和归一化之后，就得到了需要的最优资产组合的解。

3.3.4流程图

3.3.5实例分析

我们选取了上述实例的8支股票（浦发银行、东风汽车、中国石化、武钢股份、黄山旅游、中国医药、大龙地产、亿利能源）作为我们供组合的资产，分别利用这八支股票2011年9月27日到2011年10月28日的数据来计算他们的收益率期望和风险，然后以此为依据计算未来的投资组合策略。

利用上述数据取30个粒子迭代2000次我们可以求得这8支股票的投资组合策略如下：

对于不同的风险偏好，所采用的投资策略就不同，从而投资结果也不尽相同。从上表中可以看出，随着风险偏好的增大，组合的收益率在增大，风险也在增大，这是满足市场定律的。同时用粒子群算法得到的收益率大于平均投资的收益率，风险小于平均投资的风险，所以这个方法算出来的投资策略是可行的。

4.三种算法结果的比较

使用相同的数据分别用三种算法计算出来的结果如下表。从表中可以看出，遗传算法过于关注收益，因而导致风险偏大；模拟退火算法和粒子群算法得到的结果比较接近，收益和风险都控制得比较平稳。

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