对一道数学课本例题的改进

在人教版数学七年级下册第七章《三角形》中有这样一道例题，其题目和解答如下：

例题：如图（即图1），C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

解：如图1，∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.

由AD∥BE，可得∠BAD+∠ABE=180°，

所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.

在△ABC中，

∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.

在该例题中如果没有“B岛在A岛的北偏东80°方向”这个条件，那么也可以求出∠ACB的度数。其解答过程如下：

另解：如图1，∵AD∥BE，

∴∠BAD+∠ABE=180°.

∵∠BAD=∠DAC+∠CAB，∠ABE=∠EBC+∠ABC，

∠DAC=50°，∠EBC=40°，

∴∠CAB+∠ABC=90°.

∴在△ABC中，∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=90°.

从上面的解答可以看出“B岛在A岛的北偏东80°方向”这个条件是多余的。作为课本中的例题不仅要求题目严谨，而且要具有一定的代表性。该例题不仅有多余的条件，而且在解答的过程中还束缚了老师和学生的思维。如果不用“80°”这个条件，又怕解答有问题，如果用“80°”这个条件，又没有别的解答方法。因此，笔者认为可以对这个例题进行如下的改进。

【题】：A岛和B岛的位置如图2所示，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛又在B岛的北偏西40°方向。解答下面的问题：

（1）从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

（2）猜想∠ACB、∠CAD和∠EBC之间存在什么关系，并说明理由。

该题的解答方法如下：

方法1：连接AB（如图3），利用“两直线平行，同旁内角互补”、“三角形的内角和等于180°”等有关知识进行解答。

方法2：过点C作CF∥AD（如图4），利用“两直线平行，内错角相等”等有关知识进行解答。

方法3：延长AC，与BE交于点M（如图5），利用“两直线平行，内错角相等”、“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和”等有关知识进行解答。

方法4：过点C作NH，与AD交于点N，与BE交于点H（如图6），利用“两直线平行，同旁内角互补”、“三角形的内角和等于180°”等有关知识进行解答。

拓展：在图7中，∠α、∠CAD和∠EBC之间存在什么关系？理由是什么？

经过改进后的这个题目既严谨，解答方法又多种多样。在解答过程中不仅运用了新知识，而且复习巩固了旧知识。对提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力都是大有益处的。

（责任编辑 刘永庆）