数学学习中解决“懂而不会”的教学策略

“懂而不会”是指新知识学习时学生在课上能听懂教师讲的内容，课下却不会灵活运用。学生课后“不会”与诸多因素有关，如：学生的原有知识结构、认知水平，“懂”的程度，学生的兴趣，做题时的调控能力、心态、环境、氛围以及题目的难度等；教师的数学素养、问题情境创设的科学性，教师上课时的教态、授课模式、课堂评价、教师的期望等。

一、“懂”与“会”的分析

1.假“懂”

在教师讲解过程中，由于某种原因没听或没听懂，教师问“懂了吗”，迫于面子说“懂”了；周围的同学懂了，自己不懂也装“懂”；教师讲了多次后还是稀里糊涂，听得不耐烦了，为了继续下面的内容，就说“懂”了；下课了，教师为完成教学任务还在讲，为了早点出去活动，敷衍说“懂”了。以上的“懂”都是不懂装“懂”，是假“懂”，均属情感、态度因素。

2.真“懂”

初级层次的懂：对教师讲的内容直接感知。如看到数列1，2，4，8，就知道这一数列是等比数列。

中级层次的懂：对文字所承载的信息有所洞悉。如能将等比数列的文字型定义“如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），这个数列就叫做等比数列”转化为符号定义“若数列{an}满足■=q（an≠0，q≠0，n∈N*），这个数列就叫做等比数列”。

较高层次的懂：对所表述的内容背后的本质有所了解。如看到递推关系an+12=anan+2（an≠0），也知道该数列是一等比数列。

高层次的懂：明白数学思维方法。如学习等比数列的定义、性质时类比等差数列的定义、性质，进而还想探究是否存在等和数列、等商数列。

3.“会”的分析

“懂”具有内隐性，属于心理范畴，教师可通过学生的眼神、表情、动作来观察、感知。“会”具有外显性，即“会”是以“会说”、“会认”、“会用”这些外显动作作为标志[1]，学生“懂”，一般需要“会”间接体现，否则，无法判断。“会说”、“会认”、“会用”的本质是“会思维”，学会数学地思维。

二、“懂而不会”分析

基于以上分析的进一步思考：课上“懂”而课下“不会”，最重要的原因是课堂，因为在上课之前，学生已有的数学知识和认知结构是特定的、保持原态的，这就需要适宜的外部条件来诱发、引导，如果没有适宜的外部条件，学生不可能主动地建构，不要说“会”了，就连“懂”都难以达到。学生既然能听“懂”，说明教师对知识的把握没什么问题，所以，这个外部条件的关键就是课堂。课堂上没有运用恰当的教学策略，将导致学生的原有知识未被激活或不太活跃，没有清晰、稳定的原有知识来联结新知识，新知识不牢固，则新知识与原有知识的相互作用不充分，产生不了深入的联系，数学知识的迁移就谈不上了，数学思维方法的形成更不可能，自然课下就不能灵活运用，这样，“不会”是必然的。

“数学学习与其说是学习数学知识，倒不如说是学习数学思维活动”[2]。教师应在课堂上以学生原有知识为基础，引导他们达到“懂”的高层次——学会数学思维方法，懂得怎样思考、懂得怎样分析、懂得怎样操作，那么学生“会说”、“会认”、“会用”便水到渠成了。

三、解决“懂而不会”问题的教学策略

用思维分析带动具体知识内容的教学，使数学教学真正“讲懂”、“讲活”、“讲深”；使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、可以加以推广应用的[3]。以下内容的意义在于：如何将数学思维方法渗透到数学教学中去，并引导学生学“会”思维。

数学教学按数学知识的类型进行分类，一般可分为概念教学、命题教学和解题教学[4]。

1.概念教学

概念教学要将概念的形成过程呈现给学生，在教师的指导下使学生的学习过程成为“再创造”过程。那么怎样将概念这一“冰冷的美丽”转化为学生“火热的思考”[5]，并将概念教学变成学生可把握和操作的活动呢？

（1）概念的形成

案例.在学习“分类加法计数原理与分步乘法计数原理”时，设计了如下步骤。

第一，给出实例：从学生生活中的三个例子入手，引出这一节要研究的计数问题，并让学生利用刚学过的“归纳推理”的知识来体会、辨认三个例子的共同点。设置三个或三个以上的问题，这样学生容易找到规律。

问题① 某学校食堂备有素菜5种，荤菜3种，随机抽样调查一种菜的卫生状况，共有多少种不同的抽样结果？

问题② 某家庭欲在“五一”期间从甲地去乙地进行自助旅游，一天中有火车3班，汽车2班，那么这个家庭一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？

问题③ 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

这三个例子的共同特征是什么？他们又是怎么计算的？试着归纳总结出一般结论。

第二，观察共性：让学生抽取这三个例子的共性假设，并依据假设检验每一个例子。

第三，抽象本质：由学生通过比较、分析、概括、归纳而得出一个一般模式，检验每一个例子是否都属于这一模式。

第四，形成定义：给出分类加法计数原理的定义，并由师生共同分析或推广等。

问题④ 如果完成一件事情有三类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？推广：若完成一件事情有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，应当如何计数呢？

第五，强化概念：举出正、反例或变式强化概念，弄清该概念的内涵和外延。

问题⑤ 问题②中，该家庭出发前又听说丙地也是旅游胜地，于是改变行程，先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，已知从乙地到丙地一天中有飞机2班，轮船2班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

问题⑥ 问题⑤和问题②有什么不同？试着类比分类加法计数原理归纳总结出分步乘法计数原理。

问题⑦ 两个计数原理有什么异同？请举例说明。

第六，形成概念体系：以实例引导学生比较两个计数原理的不同，从而使学生在应用两个计数原理时，加深对使用条件的理解和把握。新概念的形成要对学生原认知结构进行扩充、改组，使概念得到精确分化和有机整合，形成新的认知结构，这样才能使新概念得以巩固。

数学概念抽象于现实生活，又高于现实，需要学生主动地建构，在概念的形成中应用分析、归纳、归类、类比、“去情景化”，将现实问题数学化，抽象出其本质特征。

（2）概念的同化

教是为了学，教法必须以学法为依据，教法应回归到学习理论中去寻找依据。奥苏贝尔提出的有意义学习的心理机制是同化，概念同化的本质是利用已掌握的概念来获取新概念。如学习对数概念时，利用学习过的指数概念ab=N，则b叫做以a为底N的对数，记作b=logaN（这里a>0且a≠1）。

同化产生的条件：一是在客观上，学习材料本身具有逻辑意义，所谓具有逻辑意义是指所学的新概念应与学生已有的概念建立“非人为”和“实质性”的联系。如sin（x+y）=sinx+siny将与认知结构中的“分配律”不合事实地联系起来，使概念间产生了“人为”的联系。二是在主观上，学习者原有认知结构中应具有可以用来同化新知识的适当观念（包括有关的概念、命题、表象和有意义的符号），学习者还必须具备有意义学习的心向，让个人的认知积极参与教学活动，表现为积极主动地把新知识与认知结构中原有的适当知识加以联系的倾向性。

2.命题教学

命题学习也称规则学习。数学中的命题，包括公理、定理、公式、法则、数学对象的性质等。数学命题由概念组合而成，反映了数学概念之间的关系[4]。（1）上位关系：在个体认知结构中已经形成了一些观念的基础上，学习一个包含程度更高的命题的学习形式为上位学习。例如，学习了函数的内容，再学习映射，因为函数是一种特殊的映射，这就是上位学习。（2）下位关系：当原认知结构中的有关观念包含或概括水平高于新学习的命题，这种学习为下位学习。例如，学习指数函数时，学生头脑中已有函数的知识，利用函数的有关命题来学习指数函数的有关命题是下位学习。在学习新命题时，通过下位学习获得比上位学习获得更省时省力，并且易于保持。因此在适当的命题学习中，尽可能地先回顾包含性强的、概括性广的命题，然后再逐渐分化。（3）并列关系：若新学习的命题与原认知结构中的有关知识具有一定的联系，但不是上位关系，也不是下位关系，则称这种新命题的学习为并列学习。例如，学习了等差数列的有关命题，再学习等比数列的有关命题就是一种并列学习。新旧知识的内容由浅入深、由易到难，在教学中引导学生发现新旧命题的区别和联系，在比较中加以整合。

利用上述命题间的关系将有效地促进知识、认知结构的重新整合，建立“先行组织者”，使学生的知识有机地联系，感受数学的整体性，提高对新命题学习的效率。

3.解题教学

我们在教学中常常见到以下情形：不会数学思维方法的学生念一遍题后，采用某一个途径就动手写，一股劲地往下写，他也不知为什么这样写、这样写是否有利于问题的解决，也不对自己写的“回头看”或进行调整，写了一大堆，直至陷入困境，最后放弃。会数学思维方法的学生虽然对内容不太熟悉或题较难，从而也是“摸着石头过河”地往下写，尽管有些写的不对或走了弯路，但是没有一股劲地一直做，而是“回头看”并对自己写的进行调整，虽然解题不是很顺利，但是能达到良好的效果，也很有成就感。两类学生有这么大反差的重要原因就在于对解题过程的深入分析和对思维的自我调控。所以，课堂上应引导学生学“懂”对思维的自我监督、调控，培养学生养成以下解题习惯。

（1）审题：①哪些是已知的和未知的。②思考题目中符号、术语、限制条件的含义与作用。③在需要或可能的情况下，画出图形，在图中标出已知条件和未知元素，有助于简化条件，对题目的情景有一个直观、清晰的了解。

（2）拟定计划：①整体感知，联系原有认知。以前见过这个题目吗？遇到过类似（条件类似、结论类似、图形类似）的题目吗？见过与之有关的题目吗？（能利用它的某个部分吗？能利用它的条件吗？能利用结论吗？）②围绕目标，展开联想。用什么方法能达到目标？达到目标的前提是什么？怎么才能实现这一前提？③检查途径，及时修正。解了几步“回头看”，所得的结果与题目的目标是否有联系？形式是否接近？④分解条件，重新组合。对条件适当分解或变形，重新组合，增强对条件的理解。⑤回归定义，重新思考。⑥局部思考，各个击破。从题目中的某一个较容易入手的条件出发，经过计算、变形、推理后，再联系其他已知条件，有新的进展吗？⑦重新叙述，引入辅助元素。你能不能用自己的语言重新叙述题目？试一试引入某些辅助元素？⑧将题目中某部分的极端情形进行研究，对目标有影响吗？对这种影响又有怎样的认识？

（3）执行计划：从已知出发，用数学语言将未知表述出来，检查确保每一步正确。

（4）解题反思：对题目条件的反思，对题目结论的反思，对题型的反思，对解题方法的反思[6]。

克莱因说过“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度”。通过数学教学，教师在遵循教学规律和学生的认知规律下，以教学目的、教学内容、学生情况、教学条件的需要引导学生明白数学思维方法，学会数学地思维。更进一步应该思考的问题：我们是否应当要求每个学生更高的努力方向——由“数学地思维”到“通过数学学会思维”，这不仅是现代数学教育的要求，也是数学教育的价值所在，更是“懂而会”的极致。

参考文献

[1] 王光明，杨蕊.数学学习中的“懂而不会”现象.中学数学教学参考，2012（10）.

[2] 曹才翰，蔡金法.数学教育学概论.南京：江苏教育出版社，1989.

[3] 郑毓信.走进数学思维（四）：数学思维的教学.小学数学，2008（10）.

[4] 喻平.数学教育心理学.南宁：广西教育出版社，2004.

[5] 张奠宙，王振辉.关于数学的学术形态和教育形态.数学教育学报，2002（2）.

[6] 代钦，斯钦盂克.数学教学论.西安：陕西师范大学出版社，2009.

（责任编辑 郭振玲）