“拉一拉”的困惑

一、问题缘由

前不久，听一位教师执教“三角形的认识”一课，在突破让学生了解三角形具有稳定性这一教学重点时，她是这样设计的：将男女生分成两组进行比赛，分别拉一拉三角形框架和四边形框架，拉完后让学生谈谈有什么感受，同时思考为什么电线杆的支架不设计成四边形而设计成三角形。学生经过交流讨论，最后得出三角形具有稳定性这一特性。应该说，这样的设计，课堂是热闹的，学生是高兴的，仿佛充分体现了以学定教的思想。确实，教材中就是采用“拉一拉”的方式让学生体验三角形的稳定性的。但热闹之后再深入思考，暂且不论三角形框架和四边开框架由于材质不好而导致拉断、拉坏等现象的发生，仅以“拉一拉”这一方式来教学三角形的稳定性，是否真的把三角形的稳定性直观地展现给学生？学生是否真正理解了三角形的这一特性呢？在后面的教学中，教师让学生找找生活中有哪些事物应用了三角形的稳定性。

生1：我发现自行车车架中的三角形框具有稳定性。

生2：我发现保护新种的树木的架子是三角形的，它也具有稳定性。

生3：老师，我觉得三角形也不一定具有稳定性。你瞧，我们胸前戴着的红领巾也是三角形的，但它不具有稳定性，它一拉就会变形，还可以任意地被我们揉捏。

有许多学生顿时小声应和道：“是啊，是啊，红领巾是三角形，可它会变形啊！”而这位教师呢，或许是事前也没想到这一点吧，只见她稍稍迟疑了一下，然后给了学生这样的解释：“是啊，但红领巾是布做的，我们不能用红领巾来理解三角形的稳定性，而是要看看人字架屋顶、高压线框架这些物体，多牢固啊。” ……

课结束后，我找几位学生了解他们对三角形具有稳定性的认识程度，发现情况果然并不理想，不少学生对三角形稳定性的认识存在着许多误区。有的学生支支吾吾说不清何为三角形的稳定性，而大部分学生给出的答案都是“拉一拉不会变形，这个就是三角形的稳定性”。

二、缘由分析

怎么会这样？这节课引起了我的思考。通过对教师以及学生的测查、访谈发现，多数师生对三角形稳定性的认识处在非常浅显的层次，教师能够清楚知道三角形稳定性的也为数不多。通过查找资料及与一些教师的讨论分析，发现在三角形稳定性的教学过程中易出现以下三个方面的误区。

误区1：以“拉不拉得动”作为唯一标准来判断多边形是否具有稳定性

从多数师生的反馈中，可以看出他们是以“拉不拉得动”为标准来判定多边形是否具有稳定性的，把操作活动的注意点集中在“拉不拉得动”上。教学时让学生自己用木条做一个三角形和一个平行四边形，然后拉一拉，发现三角形拉不动，不会变形，由此判定三角形具有稳定性；而四边形拉得动，容易变形，因此认为四边形不具有稳定性。“拉不拉得动”的标准也是使学生形成错误逻辑思维的重要因素之一。由此可见，这样的判断标准是不合适的。

误区2：将“三角形”与“三角形物体”混为一谈

作为数学概念，是不研究材料的粗细、大小、颜色等非数学本质的东西的。然而，学生面对的红领巾、自行车架等都是三角形的物体，错将三角形图形与三角形物体混为一谈，这样导致学生容易做出错误的推理，认为所有三角形的物体都具有稳定性，而四边形容易变形，所有材料构成的四边形物体不具备稳定性。而且，学生能举出其中的个别反例。如上述红领巾问题，红领巾形状是三角形，它一拉就会变形，所以三角形不具备稳定性；焊死的衣服挂钩是四边形，它拉不动，不会变形，因此它具有稳定性。稳定性是三角形的特性，它有时在某些三角形物体上表现为稳固、不易变形，但这并不说明所有三角形的物体都很稳固、不易变形，更不说明不易变形的物体就具有稳定性。从这个角度看，教材中关于三角形稳定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑，容易使学生产生错误的推理，造成认识上的矛盾。

误区3：将“牢固性”（拉不拉得动）和“稳定性”混为一谈

在用“拉一拉不会动”来教学三角形的稳定性时，教师和学生在无意间都“偷换”了概念，将“牢固性”（拉不拉得动）和“稳定性”（三角形的三边长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定）混在了一起，但牢固性≠稳定性。翻阅教材，我们可以发现教材中是这样描述三角形稳定性的：“用三根木条钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状不会改变，可见，三角形具有稳定性。”小学数学教材安排这一内容时，更多考虑的是学生的年龄特点和认知能力，只要求学生通过现实生活去感受并体验三角形具有这种稳定的特性，但我们教师的认识应不局限于此。其实，上网搜索“三角形稳定性”，就会发现很多网页中的“三角形稳定性”明确指向于“形状和大小完全确定”。其中，最具代表性的描述是“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性”。也就是说，三角形的稳定性不是“拉不拉得动”的牢固性问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”的稳定性特性。

三、反思与改进

那么，如何才能让学生真正了解三角形的稳定性，在他们的头脑中建立正确的稳定性的概念呢？

1.消除生活经验的副作用，正确认识“拉一拉”

教学中不能以“拉不拉得动”或“变不变形”为标准判定多边形是否具有稳定性，应把学生的关注点引导到拉一拉后，有没有变成其他形状的多边形。如三角形拉一拉后，没有变成其他图形的多边形，因此说三角形的形状具有稳定性；而四边形、五边形等多边形拉一拉后变成其他图形的多边形，因此不具有图形的稳定性，容易变形。这样就可以解释拉动或揉捏后的红领巾会变形，这是它的材质问题导致了形状的变化，揉捏后已非三角形，跟三角形的稳定性这一本质特性并没有关系。

2.辨别两个概念的差异性，正确定位“稳定性”

由于教材的误导及教师的错误引导和学生头脑中生活经验的副作用，对操作活动拉一拉的认识都集中到了物理意义的牢固性上。因此，教师在教学中应明确提出“稳定性”与“牢固性”这两个概念，以区别不同的属性，即抽象的几何意义与物理意义。这样可把几何意义上稳定性的注意点引到“不变”，把物理意义上稳定性的注意点引到“牢固”，就能较好地解决只用“稳定性”一词表述所带来的副作用。

3.沟通抽象意义与直观操作之间的联系

首先让学生动手操作，用小棒围三角形，然后启发学生思考：用这三根小棒是否还能围成其他形状的三角形？学生操作之后发现，不管怎样移动小棒，三角形除位置和摆放的角度发生变化外，其形状、大小都不会改变。然后再让学生用四根小棒任意围四边形，引导学生发现四根小棒围成的图形，形状、大小也会发生改变。通过两个实践操作活动之后，再让学生比较、讨论，然后教师根据学生的讨论顺势引导归纳出三角形稳定性的含义，继而帮助学生建立这样的观点：正是因为“三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定”这一几何意义上的稳定性，使得具有三角形结构的物体有了牢固性，而其他任何多边形在同等条件下都不具有类似的牢固性。最后让学生在拉一拉的活动中体验三角形的牢固性和不容易变形性，以此帮助学生建立正确的推理方向，不能反过来推导。

仔细分析教学过程中存在的这三个误区，发现在一定程度上都是受了生活经验的影响。生活中获得的各种经历、体验有时恰好能为抽象的数学概念和知识提供认识的基础，但它还可能包括其他的干扰因素。因此，数学教学应该与学生的生活经验建立联系，但必须注意在生活化的过程中，要切实处理好生活的随意性与数学的严谨性、科学性之间的关系，防止数学内涵的缺失。