如何把握小学数学教学的“度”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》的颁布，对数学课程的基本理念、目标、内容、教学及评价等方面均进行了相应的变革。[1]数学课程实施的关键在于数学教师，实施的成效主要以课堂教学为载体，通过教师的教学行为予以体现。然而笔者通过多次观课和研课活动发现，一些小学数学教师的教学行为出现了偏颇，影响了课堂教学的实效性。“教之道在于度，学之道在于悟”，因此，数学教师需把握小学数学教学的“度”，遵循数学教与学的规律，从而使教学行为得以优化，教学效果得以提升，教学能力与日俱增。

一、直观操作与抽象思维的度

物理、化学等科学，它们的研究对象是客观世界的具体运动形态或具体物化形式，因而主要运用实验研究的方法。而数学与这些实验科学相比，它的研究对象是脱离了具体内容的表示形式的思想材料。[2]数学中虽然也需要实验，如实物实验、模型实验，但更多内容需在头脑中通过思想实验来进行。比如一张纸对折30次估计其高度、鸡兔同笼等问题借助实物实验来验证已无能为力或不方便，需在头脑中借助思想实验、通过抽象思维来假设和推理。数学是以理性思维见长的科学，数学教学侧重培养儿童动脑，培养智慧。

笔者曾观摩过小学“观察物体”课题的教学，课堂气氛非常活跃和热闹，注重儿童观察、操作和交流的过程。教师呈现了诸多实物和模型，全班超过半数的儿童都到讲台上对物体进行了观察，回答对了，教师就把模型奖励给儿童。随后同学之间利用事先准备好的学具进行合作学习，互相说出观察到的物体。整堂课在忙碌的观察活动中进行，虽然儿童的外在行为积极但抽象思维层次较低，缺乏对观察物体方法及规律的感悟和提炼，影响了空间观念的建立和发展。

数学是思维的科学[3]，数学课堂教学应避免重外部表层操作或热闹而轻内部深层思维的现象。我们追求的是数学、行为和心理共同参与的活动，即儿童的行为、情感和思维的深层参与。小学数学学习需要借助直观感知和动手操作，但不能停留于直观，而应上升到思维。数学教师的智慧和深刻在于善于搅动儿童思维的涟漪，把数学课堂的温度建立在儿童数学思维的深度上。

二、教材运用与加工的度

数学课程改革带来的一个显著变化是教材的多元化，各地可以在统一的课程标准要求下实施“一标多本”，给数学教材的选择和运用提供了较大的空间，对数学教师也提出了更高的要求。比如天平中的游戏、爬行最慢的哺乳动物、数学与体育、探索规律、解决问题的策略、运算律等教材内容从标题上不易体现该课题的核心知识，需要教师对教材内容进行挖掘和提炼。但笔者在听课中发现，一些任课教师板书课题时也只写为天平中的游戏、爬行最慢的哺乳动物、解决问题的策略等，没有进行更多的运用加工，由此反映出教师对教材的认识与加工存有偏差。

鉴于此，教师需把握教材运用与加工的度，避免走极端。极端之一是把教材视为范本，对教材缺乏一定的认识力、判断力和鉴赏力；极端之二是脱离教材编写题海式的导学案。数学教材是数学教学的基本材料，是师生学习活动的载体和资源。教师可在理解和把握教材的基础上，根据教学目标、儿童的需要及认知特点对教材内容做适度的延伸或适当的调整。比如天平中的游戏（核心内容为等式的性质及解简易方程）、爬行最慢的哺乳动物（核心内容为小数的乘法及其运用）、探索规律及解决问题的策略（不同年级的策略不同）等课例均需提炼出课题的核心内容。因此，以儿童已有的知识经验和思维水平为依据，灵活地驾驭教材、创造性地运用教材显得尤为必要。这里创造的前提是用好教材、科学合理，避免出现知识性的错误。在某县的小学数学教师招聘中，一位应聘教师在引导儿童学习了分数的基本性质后通过自编例题进行强化，题为“全班同学分成甲乙两个兴趣小组，其中的男生分在甲组，的男生分在乙组，问甲乙两组哪组男生多”，教师的本意是想让儿童运用分数的基本性质说明两组男生一样多，但题目设计有漏洞。因此数学教师对于教材既要有钻进去的力量，还要有飞出来的底气。这里的力量包括认识力、判断力和鉴赏力等；这里的底气包括数学功底、运用与加工教材的教学功底等。数学教学应源于教材和活用教材，从而使教材的缺憾通过教师的创造性劳动得以弥补。

三、数学情境创设的度

与其他学科相比，数学知识之间的衔接性和连贯性更强。儿童已有的数学知识和经验直接影响后续内容的学习，因而数学新知识的学习要以儿童已有的数学知识和经验为基础。在教学设计时，教师需考虑学习今天的数学新内容时，儿童头脑中与新知识有内在联系的已有数学知识、经验有哪些。实质上是寻找新知识的生长点。教师重在激活儿童头脑中与新知识有实质性联系的经验和数学知识，通过新旧知识的相互作用，启发儿童从原有知识经验中自然生长出新的知识和经验。

鉴于此，数学情境创设力求避免如下误区。误区一是不考虑儿童已有的数学知识和经验简单告诉学习内容，如认识物体、7的乘法口诀、找规律、混合运算等课例中，新知识与学生头脑中已有的知识经验密切相关，但任课教师直接告诉学生今天学习的内容，新知识有天上掉下来之感。误区二是数学问题情境的创设不自然、不简明、牵强附会，未与数学内容建立内在联系。比如质数与合数课例中，教师在黑板上用胶带纸现贴红纸做的大拇指奖励合作学习小组，虽然对学生的学习有奖赏和激励作用，但占用教学时间过多，冲淡了重点内容的学习。长方体和正方体表面积的课例中任课教师创设了炎热的夏天如何解暑的情境，儿童的回答虽然新颖多样，但不是该教师预设的，最后教师无奈地告诉儿童可以通过游泳来解暑，并借助游泳池引入长方体的表面积。误区三是数学情境仅仅作为敲门砖，即新知识源于情境，但学习了新知识后未回到情境中解决问题。如百分数课例中，教师呈现生活中百分数应用的图片，并以此为情境引入百分数，但学习了百分数的意义后未与情境联系，致使情境仅成为敲门砖。

另外，并非每一数学内容都要找到其现实原型，在无合适的实际问题情境时，儿童认知结构中与新学习内容有自然、内在逻辑联系的已有数学知识和观念，本身就是很好的问题情境。如教学7的乘法口诀时，教师可运用启发性提示语：前面我们已学习了1～6的乘法口诀，大家已体会到运用乘法口诀解决问题的优越性，那你觉得今天我们应该研究什么？从而引导学生自己提出今天需要学习的课题。两位数减法口算可在两位数加法口算的基础上自然引入，多位数乘法可在两位数乘法的基础上自然引入。

数学情境的创设不是目的，而要由情境生成问题，使学生产生疑问，使其成为引发儿童积极思维的启动器。因此不应为情境而情境，致使情境创设流于形式和热闹。同时过于花哨的问题情境易使儿童的注意和思维指向漂移，掩盖数学的本质，削弱数学自身的魅力。

四、数学合作学习与启发讲授的度

合作学习是新课程改革中提倡的学习方式，但目前数学合作学习出现了偏差。是否圆桌式围坐、教师少讲授、儿童多进行分组交流就是合作学习？笔者听课中发现，思维难度不大的数学练习，教师也让学生进行合作学习，一位儿童执笔另外三位看他完成。由于数学是思维的科学，而思维是在个体头脑中进行的，是他人无法替代或简单告诉的，因此数学学习中的合作交流要建立在儿童独立思考的基础上。

合作学习的实质并不在于表面、形式上的分组和热闹，不仅仅是儿童外在行为的参与，更重要的在于儿童是否经历了深度的数学思考、是否经历了思维的合作碰撞。若讨论流于形式，儿童的合作和展示在同一思维层次上低水平重复，而缺乏教师对核心数学内容的讲授、引导和提升，这样的数学合作学习仍然是低效的。因为思维层次的深度交流和碰撞互补是数学合作学习的本真所在。因此，提高合作学习的有效性首先需要把握合作学习的度，“适度淡化形式，注重实质”。依靠儿童个人的认知水平独立探索有难度或有局限的问题可考虑合作学习。比如学习统计中掷硬币发现规律的课题，力量不够时儿童需要“通力合作”；学习周长、粉刷教室等课题，人手不够时需要“分工合作”；学习圆的周长与直径的关系、购买门票的策略等课题，儿童不同思考之后需要“交流合作”。

另外，并不排斥教师的讲授，关键在于把握讲授的度，注重“启发性讲授”，避免注入式讲授。

首先，“启发性讲授”与教师简单告诉、学生记住结论不同，体现为教师创设“愤悱”的数学教学情境，使儿童经历必要的认知和情感的困惑阶段，形成认知冲突、疑难或问题，处于“欲知还未知，欲言还未能”的“愤悱”状态。从而激活思维，启发儿童主动积极、目标明确地进行数学思考，在其头脑内部展开激烈的数学思维活动，达到师生思维的碰撞和认识的提升。有时课堂表面安静，但儿童的思维高速运转，形成“其言皆若出于吾之口，其意皆若出于吾之心”的体验。[4]如用字母表示数的课题，教师通过创设自己的年龄和班上学生年龄关系的问题情境，使儿童认识到用数表示变化的量已经不方便或不够用了，从而经历了思维和情感的困惑，以此产生内在的学习需求，体验到用字母表示数的必要性和优越性。

其次，“启发性讲授”体现为通过讲授使学生感悟到数学教学是自然的、合乎情理的。数学的概念、符号、公式和方法等不是天上突然掉下来的，而是因为解决问题的需要自然产生的。比如周长、<、>、加法交换律和结合律等术语和符号的引入自然而有人情味。同时让儿童体味到已有的数学符号、概念、公式和方法不够用了，才需要自然引入新概念、新公式和新方法。例如分数、公顷的认识等课例，使儿童体验到已有的数、面积单位不够用了才需要自然引入分数和更大的面积单位。数学教学要让学生感悟到数学知识和思想方法的生长是自然的、合乎情理的，从而使鲜活的数学概念、公式和方法等在课堂教学中自然而然地流淌出来。

最后，“启发性讲授”体现为教师启发儿童透过现象把握数学的本质，避免非本质属性的泛化。众所周知的美国小学数学课堂中学习“集合”的课例即是把“站起来”也作为集合的本质属性，因此所选择的例题要具有典型性、代表性和层次性，并以此突出数学本质。笔者曾观摩过小数加法的课例，教师多次强调并让儿童记住小数相加时小数点一定要对齐，而没有启发学生体味小数点对齐的实质是相同数位对齐，在突出数学的本质方面体现得不够。

五、现代信息技术运用的度

随着计算机（器）的发展和逐步普及，运用现代信息技术辅助数学教学已是大势所趋。这里的信息技术既包括黑板、直观教具等传统教学手段，还包括计算器（机）、幻灯、实物投影、Power point课件等现代化教学手段。但传统的未必就是不好的，现代的未必就是有效的。由于数学的抽象性比较强，数学教学过程是复杂细腻的过程，是儿童的认知过程和建构过程，同时也是师生情感交流的过程。因此必要的画图、分析归纳、运算和推理等均应在教学过程中自然呈现给儿童，不能用技术化代替数学化的过程。如校园的绿化面积、解决问题的策略（线段图）等课例中，教师通过板书引导学生分析和画示意图是不可缺少的，用PPT展示课前做好的示意图不易体现思路的自然生成过程。

现代信息技术在突出动态、直观和美观等优势的同时，也暴露出呈现的图片有时不易体现其形成过程的局限。笔者曾观摩过莫比乌斯带的课例，任课教师运用课件演示了色彩美观的莫比乌斯带，并给学生分组发放白纸做的模型让他们感受莫比乌斯带的特征，但学生对莫比乌斯带的认识仅局限于直观感知层面，缺乏通过动手操作来感悟莫比乌斯带的形成并发现其特征的过程。若能在儿童动手操作、直观感知并发现莫比乌斯带形成过程及特征的基础上，再借助课件演示色彩美观的莫比乌斯带，则可使传统与现代教学手段实现优势互补。因此，教师需把握现代信息技术运用的度，利用传统教学手段无法体现、不易体现或花时间较多的内容可考虑用现代信息技术教学手段。无论什么时候，信息技术只是数学教学的辅助手段，而不是主要载体。

综上所述，提高数学教学实效性的前提在于把握好数学教学的“度”，避免走极端。从而通过“适度淡化形式，注重实质”，提升数学课堂的品位。

（注：本文系山西省软科学研究计划项目“提升山西省明德小学数学教育质量的对策研究”的研究成果，课题编号：2012041034-04）

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版集团，2012.

[2]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.

[3]单墫.数学是思维的科学[J].数学通报，2001，（6）：封1～2.

[4]韩龙淑.提高讲授教学有效性的基本策略[J].山西师大学报，2009，（6）：143.

（太原师范学院数学系 030012

首都师范大学初等教育学院 100048）