由生活到学术——初中数学概念教学研究

根据我们的教学经验以及数学教学研究者的研究结论，对于初中数学教学而言大家的共识是，数学教学是以概念教学为基础的，因此有人把概念称之为数学教学的基础。概念教学过程中有两个必须思考的问题，一个问题是为什么我们要进行概念教学？一个问题是初中数学教学中概念教学应当如何进行？这两个问题看起来在实际教学过程中都有现成的答案，可我们真正仔细回味这两个问题的时候，我们发现这两个问题的回答并不是想象的那样简单。对于第一个问题的回答，笔者的理解是，数学研究中引入概念的目的之一就是描述与交流的需要，说其描述需要是数学内涵的一种需要，即在数学研究的过程中为了对一类具有同种属性的归纳，人们就从不同事物中抽象出同种属性的内容，这样的内容常常被用概念来描述。譬如说“角”的概念，为了研究角，人们从生活中可以看做是同一平面内两线相交的事物中抽象出角；说概念的建立是交流的需要，还在于概念是数学外延的一种需要。笔者常常跟学生打一个比方，“我们数学为什么要学这么多的概念呢？因为有了概念人们就可以更为方便地交流，如同人的名字一样，如果这个世界上人都没有名字，那我们在寻找交流对象、向别人介绍某一个人时将要费更多的口舌。”通过这样的比方，学生往往就能更加理解建立数学概念的必要性。

而对于第二个问题的回答，就需要我们通过更多的篇幅来阐述。

一、初中数学概念教学的起点在哪里

初中数学概念教学的起点在哪里？这确实是一个重要的问题，因为在实际的数学教学中，我们的概念教学常常按照教材上的步调进行，这就意味着我们并没有结合学生的具体实际去确定概念教学的起点。而一旦这样的教学选择脱离了学生的实际，那意味着我们可能在建造空中楼阁。所以说，概念教学的起点很重要。

其实，关于这一问题，国内知名的数学课程专家郑毓信教授曾经提出一个观点，这个观点在笔者看来具有很大的启发价值。郑教授提出了“日常数学”的概念，笔者在初次接触到这个概念时，就想到数学概念教学本身。首先，笔者学习这一概念时，首先就是要让自己知道这个概念意味着什么意思？然后就是思考这一概念是如何生成的？在继续研读当中，笔者发现郑教授提出这一概念是基于其对数学教学本身的研究的，也就是说这一概念是郑教授在多年对一线教师数学教学及理论研究中，发现日常数学对于数学教学具有重要的意义，因此提出了日常数学的概念。而笔者引用这一概念诞生的过程，并且将其思想运用到初中数学概念教学当中去，便发现我们的初中数学概念教学有一个重要的起点，那就是某个数学概念在生活中的存在及其描述。初中数学的特殊性在于很多概念在生活中都能寻找到原型，因此笔者思考初中数学概念教学时可以以生活概念（即学生头脑中原始的数学概念）作为出发点，以学术概念（即数学意义上准确的数学概念）作为落脚点。数学概念教学就是在生活概念和学术概念之间寻找有效的联系纽带。

二、由生活概念向学术概念过渡的策略

我们的教学经验表明，学生头脑中的原有的生活概念当中，具有数学因素的并不是很多，这就说明初中数学概念教学的途径之一，就是将学生头脑中的与其他概念混杂在一起的数学概念剥离出来，然后以数学思维进行加工，最终形成学术性质的数学概念。这一过程说起来简单，但真正实施起来却存在着诸多复杂性，而透过这些复杂性再结合对数学学习心理学的理解，笔者认为可以从两个方面寻找有效的概念教学策略。

一个方面是心理学指导。有研究者根据心理学上对知识的分类可以分成陈述性知识和程序性知识，把数学概念分成陈述性概念和程序性概念。这种概念的迁移可以让我们对初中数学概念进行一个合理的分类，也让我们的概念教学有了一个大致的方向。对于陈述性概念，笔者以为初中部分的数学概念大多具有这一性质，比如说几何中的角、边、面积等，即使一些与生活有一定距离的数学概念，也能在生活中的其他语言中寻找到影子。而对于程序性的数学概念，相对而言教学的难度更高。程序性数学概念往往是指那些具有一定操作性或运算性的概念，如最常见的加减乘除等，如平方、开方、消元、约分等概念。这些概念在生活中往往不具有明显的影子，因而学生头脑当中一般也就没有现成的经验可以借用。因此，这个时候教师的一个重点策略就是通过让学生在一定的具体情境中进行亲身体验，并在即时的活动中产生即时的经验，从而让这种经验为这些程序性概念的建立服务。

另一个方面就是方法性指导。概念教学本身具有方法性，基于学生生活的初中数学概念教学，其方法性体现在什么方面呢？主要就是上面提及的从生活元素中寻找有关因素、剥离无关因素的过程，数学概念教学的最终目的之一，就是让学生掌握这种寻找、剥离的本领。从数学方法的角度，其实也就是分析与综合、归纳与演绎的方法。举一个简单的例子，到了初中以后学生需要逐步适应以字母去表示数，但经验表明并不是所有学生都能迅速适应这种思维转变，这就需要在教学中让学生形成这一概念并最终形成直觉。笔者的方法就是基于生活中的其他事例，培养学生的符号意识。

三、由生活概念向学术概念过渡的注意点

我们强调从生活中寻找数学概念，并不意味着生活中的数学概念都是适合的，也并不意味着所有的概念都要从生活中寻找。否则我们就犯了“数学概念生活化”的错误，因为数学概念最终是属于数学的，也就是说其应当是超越生活的。而且根据数学教学心理学的相关研究，不同的数学概念在形成、表征及加工形成方式上都存在较大的区别，因此，从生活出发向学术概念迈进永远只是概念教学众多策略中的一种。

同时，我们认为在寻找生活概念与学术概念的联系纽带时，这个纽带本身是否适合学生也是必须考虑的问题，要防止教师凭着自身知识结构与思维习惯设计出来的过程并不完全适合学生的情形出现。而化解这一难题的有效方法，就是了解学生的知识基础与思维习惯，这样就可以设计出符合学生认知需要的概念形成纽带。

概念教学作为初中数学的基本组成部分，一直以来都是初中数学教学同行的研究重点。笔者以上所述的只是一点浅见，不成熟的地方还请专家批评。