导数问题中的常见错误及启示

导数问题中的极值点问题、由单调性求参数范围问题、曲线的切线问题、利用导数画函数图像及求值域问题等常会出现错误。

一、极值点的判断问题

例1（2012年江苏省高考题第18题）：若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则x0称为函数y=f（x）的极值点。已知a，b是实数，1和-1是函数y=f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点。

（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g'（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数。

错解：（1）a=0，b=-3。（过程省略）

（2）g（x）=x3-3x+2，令g（x）=0，解得x=1或x=-2，所以极值点为1，-2 。

本题（1）（2）问属于中档题，但不细心的学生容易出错，仔细探究出错的内在原因是没有真正掌握极值点x0和f（x0）=0的关系。我们知道f（x0）=0并不是x0为极值点的充要条件，要想彻底弄明白就要回归定义。由定义知本题第（2）问中-2不是极值点。

此题给我们的启示：定义是处理纠结问题的“有效武器”，是解题依据的“宪法”，在平时的教学中我们要重视概念教学。

利用极值的定义我们可以解决以下两个问题：

（1）“0”是否为函数f（x0）=x3的极值点？（2）判断“0”是否为函数f（x）=|x|的极值点，如果是极值点并判断是极大值点还是极小值点。根据定义不难作出回答：（1）“0”不是函数f（x0）=x3的极值点，尽管f'（0）=0； （2）“0”是极值点而且是极小值点，但此时f'（0）≠0。可见f'（0）=0是x0为极值点的既不充分也不必要条件。由以上问题的常见错误说明我们平时的教学工作中要教会学生抓住数学中本质性知识，只要我们抓住本质性的知识就可以以不变应万变。

二、由单调性求参数范围问题

例2：已知函数f（x）=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，求实数的取值范围。

错解：由条件得f'（x）>0，即2mx+-2>0恒成立，解之得m>。

错因剖析：函数y=f（x）为增函数与f'（x）>0并不是互为充要条件的，如函数f（x）=x3。本例正解：由条件得f '（x0）≥0，即2mx+-2≥0恒成立，解得m≥。

此题给我们的启示：若函数y=f（x）为增函数，则f'（x）≥0；若f'（x）≥0（排除f'（x）≡0），则y=f（x）为增函数，尤其在求相关参数范围时要注意这一点。

三、曲线的切线问题

例3：求过点（1，1）且与曲线y=x3相切的直线方程。

错解：因为y=3x2，k=3，则所求的直线方程为y=3x-2。

错误剖析：本题误以为点（1，1）是切点导致错误，从题意来看两种可能：（1）点（1，1）就是切点；（2）点（1，1）不是切点，只是切线上普通一点。本题正确结果为切线方程：y=3x-2或y=x+。

我们再来看一个变式问题：过点（1，0）且与曲线y=x3相切的直线有几条？

错解：设切点P（x0，x03），k=3x02，则切线方程为y-x03=3x02（x-x0），点（1，0）代入切线方程，解之得x0=0或x0=，因为x0=0时，切线方程是y=0不合题意，所以切线方程只有一条：27x-4x-27=0。

为什么将y=0舍去呢？有的学生说该直线与曲线“相交”，而不是相切，所以舍去。这是受到初中圆的切线负面迁移的影响，认为切线应该在曲线的一侧。根据《普通高中课程标准实验教科书——数学》（选修2-2，苏教版）中的定义：设y=f（x）图像上一动点P1，随着动点P1向点P运动，割线PP1在点P附近越来越逼近曲线。当点P无限逼近点P时，直线PP1最终就成为在点P处的切线。所以y=0正符合切线定义。

四、利用导数画函数图像及求值域等问题

例4：已知函数f（x）=，（1）求函数f（x）单调区间及值域；（2）若f（x）=m，根据m的不同范围确定关于x的方程f（x）=m根的个数。

错解：（1）因为f（x）=≥0时解得x≥e，f（x）<0时解得0

（2）由图像知，当m=e时方程f（x）=m有一个根；当m∈[e，+∞）时方程f（x）=m有两个根。

错因分析：错误的根本原因是忽略函数的定义域（0，1）∪（1，+∞），由于没有意识到x≠0，所以图像中出现“断点”而浑然不知，导致全盘皆输。

再如函数f（x）=（x>0且x≠1），利用导数研究单调性及画函数示意图时要注意在x=1时出现函数图像“断点”现象。另外因为该函数在[1，+∞）为递减函数，容易导致f（x）∈（-∞，f（x）]的错误，画示意图时要注意在区间[1，+∞）上函数图像“下不来”，就像函数f（x）=在区间（0，+∞）上的图像在x轴以上，不能到x轴以下。

（江苏省徐州市贾汪中学）