巧用三角函数求最值的方法

求三角函数最值是高中数学中较常见的题型，也是多年来高考和数学竞赛的热点。由于求解这类题目需要思路开阔，技巧性强，学生往往感到困难，所以是高中数学的难点。下面，笔者结合教学实践，提炼出较为典型的若干实例，启示学生如何进行分类探求三角函数的最值方法。

一、 利用三角函数的有界性求最值

利用三角函数的有界性求三角函数的最值，关键在于应用三角函数的公式、性质将三角函数式化为复角的单名函数式或某些已知其最值的三角函数，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函数y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中le=arctg，即sin（x+le）=。

∵|sidf4d39d6398758ce51958ff2c327bdaa2b5c0f66363ad991bb1494104700167en（x+le）|≤1，∴≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函数y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中le由cosle=，sinle=决定。

又因为 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用变量代换法求最值

求三角函数的最值时，有时选取适当的变量代替式中的三角函数式，能使问题迎刃而解。但作变量代换时要特别注意式中变量的取值范围。

例3 求函数y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），则sinxcosx=。

∵t=sin（x+），∴-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函数y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函数变形得y=sin2x-4sinx+5。

设sinx=t （-1≤t≤1），

则得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又∵-1≤t≤1，∴当t=1时，ymin=2。

当t=-1时，ymax=10。

三、应用平均值不等式求最值

应用平均值不等式来求三角函数的最值，关键在于恒等变形，把三角函数式变为能应用平均值不等式的基本形式。

例5 求函数y=+（a>b>0，0

解：∵y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，当且仅当atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=时，ymin=（a+b）2。

四、利用几何图形性质求最值

利用几何图形性质求最值的特点是直观、简洁，将最值问题转化为求直线的斜率问题，求形如y=的最值关键在于把F（f（θ），yθ）=0看作一条曲线的方程，那么y=等于曲线上的动点A（f（θ），g（θ））与定点B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲线上找一点，使KAB最大或最小。

例6 求函数y=的最值。

分析：如下图，函数y的几何意义是定点A（2，2）和动点B（cosθ，sinθ）的连线的斜率KAB，动点B的轨迹是圆x2+y2=1，当过点A的直线与圆相切时，切线AB、AB'的斜率KAB、KAB'就是所求的最值。

解：如图所示，设AB、AB'的方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0，由点到直线距离公式得：=1，解之得k=，于是KAB=，KAB'=。

故ymin=， ymax=。