新课程视野下《正切函数的性质与图象》教学设计和实施策略反思

摘　　要：《新课程标准》的实施给数学课堂带来了前所未有的生机和活力，为数学课堂教学开辟了广阔的空间．　本文结合《正切函数的性质与图象》的教学设计与教学实践的反思，从教学设计应处理好的几个基本问题和教学实施策略反思两大方面进行了阐述，以此来实现有效教学．

关键词：正切函数；性质与图象；教学设计；课堂实践；实施策略反思

教师在一定的课程观和教学理论指导下，基于学生的身心发展特点、学习特点与需求，以新课程标准和教材为主要依据，结合自身的教学理念，对教学过程的目标内容、组织形式、教学方式、学习情境、评价指导及整个教学过程进行系统思考、策划和具体安排，这就是教学设计．　本文立足于对《正切函数的性质与图象》的教学设计与教学实践的反思，探讨了教学设计时应该处理好的几个基本问题，并进一步结合课堂实践进行反思．

■数学教学设计应处理好的几个基本问题

教学设计除了需要考虑教学的内容与方法外，还应遵循一些基本的教育教学理念，这种理念形成了教学设计的一个理论支撑，承载着教师个人对教材的理解、教学经验以及对问题的认知风格．　笔者结合《正切函数的性质与图象》的教学设计，就这一问题谈几点认识．

1.　明确教学背景

建构主义学习理论认为：知识不是从外界搬到记忆中的，而是以已有经验为基础，通过与外界的相互作用及意义建构的方式而获得的．　人的认知发展有一个最佳区域，被称为最近发展区．　准确确定学生的最近发展区，学生的主动性将明显改善，成为学生对新知进行探究的动能，更有积极性去对新知进行自主建构．　本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数．此时学生已具有以下知识背景：1．　学生已经有了学习正弦函数和余弦函数的图象与性质的经验，因此可以应用对比、类比的方法进行研究，将已有经验迁移到对正切函数性质与图象的研究中；2．　学生已经掌握了正切函数的定义、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质和图象，体会研究函数方法，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备．

2.　明确教学目标和框架

美国著名的教学设计研究专家马杰（R.Mager）指出，教学设计首先要解决的是“去哪里”即“教什么”的问题，也就是教学目标的定位．　本节课的教学目标的基本要求：1．　尝试通过正切函数的性质探究正切函数的图象；2．　掌握正切函数的性质与图象及其应用；3．　体会类比、换元、数形结合等思想方法；4．　了解用正切线作正切函数图象的方法．　其次要解决的是“如何去那里”，包括学习者起始状态的分析、教学内容的分析与组织、教学方法与媒介的选择．　我们知道研究函数常见两种方式：一、先根据函数解析式作出图象，再借助图示直观研究性质．　由于对函数的性质了解甚少，所以要通过描很多的点得到函数图象，再通过观察图象获得对函数性质的直观认识，接着从代数的角度对性质做出严格表述；二、先研究函数的部分性质，再根据性质画出函数的图象，此时特别要关注函数的定义域对图象的影响．　究其人教A版《1.4.3正切函数的性质与图象》这一课题，教科书采用了研究函数的方式二．　这样做的好处是：1．　给学生提供了研究函数的另一个视角，研究函数不但可以根据图象猜测性质，也可以利用性质研究图象，且在性质的指导下能更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，使数形结合思想体现得更全面；2．　学生通过正切函数的部分性质研究其图象，作草图，再结合正切线，利用几何画板动态展示正切线变化过程以及利用正切线画正切函数图象的过程，使学生对知识点的理解更加形象、直观，肯定学生思维，增加了学习兴趣，同时利用展台展示学生自主学习过程中出现的问题，予以提示和纠正，加深对已知性质的认识．　以此确立了本节课教学目标的发展要求：在探究正切函数基本性质和图象的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．　确立了本节课的教学框架：探究一：从正切函数的性质探究正切函数的图象；探究二：从正切函数的图象探究正切函数的性质；探究三：正切函数图象与性质的应用．

3.　设置“有效问题链”

建构主义认为，学生对每一个问题几乎都有自己的一些看法．　即使面对以前没有接触过的问题，也能够基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释（假设）．　这种从已有知识经验出发的“合乎逻辑的假设”正是新知识的生长点．所以在教学设计和课堂教学的过程中，要为学生创建一个去探索、挖掘和呈现数学概念和思想方法“本质”的平台，给学生足够的时间去体验和感悟，拓展学生的“学术学习时间”，理清知识发生的本原．　新授课教师往往可以通过有效的设问为“主线”，给学生在获取知识上设置一个个“梯子”，使学生从“思维的源地”去“发现”、“创造”，进而得到教学设想的目标．　它符合《新课程标准》的理念：“数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础之上．　教师应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法．”　本节课是一个探究型课，根据学生已有的知识背景，为配合完成探究一和探究二，教师设置了以下问题串：

问题1：完成填空，从以下练习中找出正切函数的性质．

练习：1．正切函数的定义域______；

2．　完成诱导公式：tan（x+π）=_____（x∈R且x≠kπ+■，k∈Z）；tan（－x）=_____（x∈R且x≠kπ+■，k∈Z）．

设计意图：通过练习复习了旧知识，也给学生指明寻找已有的正切函数性质的方向．

问题2：正、余弦函数作图是先作一个周期［0，2π）内的图象，通过类比，选择怎样的区间作一个周期的正切函数？

设计意图：考查学生对正切函数定义域、周期性、奇函数这三个性质综合应用的能力．

问题3：结合以上性质尝试在一个周期中作出正切函数的大致图象．

设计意图：对学生已有作图知识的检查：利用特殊角的正切值列表、描点、连线作图象．

教师通过前3问，结合正、余弦函数的知识，尝试作了以π为一个周期的正切函数大致图象．　这里采用小组讨论的方式进行，有小组提出通过类比正、余弦函数周期的影响，选作［0，π］的图象，在找几个特殊点，作出正切函数的大致图象，但因在x=■处找不到函数值，x=■附近无从作图；部分学生通过小组讨论选择－■，■区间作正切函数的一个周期图象，尽管图象有了连贯性，但对x→■和x→－■的处理仍然比较迷茫．

问题4：类比y=sinx图象的由来，你能通过单位圆的正切线作y=tanx，x∈－■，■的图象吗？

设计意图：1．　通过类比思想，引导学生在－■，■上作一些角的正切线，以此作出正切函数图象；2．　正切线的复习，也使学生意识到x→■和x→－■时，y=tanx的变化情况；3．　用几何画板动态地展示正切函数图象作图过程，肯定学生的分析，加深学生对正切函数图象的认识及对前面所作的草图的不足的理解．

问题5：类比正、余弦函数，如何作y=tanx在定义域上的图象？

这一个问题学生自然而然会回答：将一个周期内函数的图象左右平移得出整个定义域上正切函数的图象．但学生易对x=kπ+■（k∈Z）忽略，对此，教师强调正切函数图象由互相平行的直线x=kπ+■（k∈Z）所隔开，且y=tanx在x=kπ+■（k∈Z）上无意义，这些直线称为“渐近线”．　同时，学生也从图象中验证了正切函数的定义域、奇偶性和周期性，明确了正切函数的最小正周期为π．

问题6：类比正弦函数“五点法”作图，如何快速作出y=tanx，x∈－■，■的简图？应该抓住哪些特点？

设计意图：运用类比，使学生寻找出画正切函数简图的方法：两线：x=■和x=－■；

三点：（0，0）、■，1和－■，－1．

？摇？摇通过以上6个问题的引领，引导学生运用类比思想探究出正切函数的图象，不光完成了探究一，为探究二的开展铺平了道路，也培养学生主动思考探究的习惯．

问题7：请你认真观察正切函数的图象特征，类比正、余弦函数的性质，你还有哪些新的发现？

设计意图：引导学生利用正切函数图象，运用数形结合和类比的思想，从值域、单调区间、对称轴、对称点等性质考虑问题，加深学生对数形结合思想的认识，通过图象和性质的结合加强学生对正切函数性质的理解和对正切曲线的认识．

学生会出现以下两个问题：1．　类比正、余弦函数探究函数单调性的经验，学生可以得出先讨论一个周期上函数的单调性，但y=tanx在定义域内单调性如何就不明确；2．　类比正、余弦函数探究函数对称点的经验，学生发现图象具有中心对称的特点，并找到对称中心，对称点（kπ，0），遗漏对称点kπ+■，0，教师要强调．

毫无疑问，相对正切函数的性质和图象的结论而言，它的形成过程才是最重要的．　如上，在“图象和新性质”出现之前，设置“问题链”，给学生提供思考的阶梯，让他们先感知正切函数图象“触手可及”，自己去探索、去验证、去发现，从自己的体验和感受中获取知识和技能．　就本节课内容而言，通过这些问题的铺垫，看似只需教给学生的“数学知识”，却有着内在的“逻辑”联系，蕴涵着研究问题的思想和获取知识的方法．

4.　选配“合身”例题

教学设计要有一个基本原则：立足教材，用好教材．　《新课标》指出：“教材为学生的学习活动提供了基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源”．　新课改提倡：“不是教教材，而是用教材教”，要“创造性地使用教材”．　这种资源的价值只有在使用者透彻领悟教材“精髓”的基础上，才能够充分体现．　所以，进行例题选择时，首先要读懂、领悟，准确而深刻地把握教材的本质，理解编写者安排的问题或思考的用意；然后才是用好、用活，创造性地使用教材，把教材中的问题变得可行、有效，挖掘其内在的教学作用和教育价值，并进行有效的拓展，使教材变得“鲜活”，让课堂“出彩”．　对此，笔者分析教材《正切函数的性质与图象》的内容和教学大纲，围绕本节课教学目标，选配了以下例题，来达到教学预设目标．

【例1】　　比较下列各组正切函数值的大小

1．　tan（－24°）与tan75°；？摇？摇

2．　tan■与tan■；

3．　tan■与tan■．

设计意图：这一题型是对函数单调性的简单应用，是容易题．　题1考查了同一单调区间中两正切函数值大小的判断；题2是在题1的基础上增加了正切函数周期性的考查；题3是对函数单调性的灵活应用，即当两个自变量经过化简后没有处在同一个单调区间时，通过寻找中间媒介（如“0”、“1”等）来实现两个函数值大小的判断．

【例2】　　观察正切函数图象，写出满足下列条件的x的取值范围

1．　tanx≥■-■

2．　tanx<－1．

练习：已知x∈■，■，则y=tanx的值域为________．

设计意图：1．　考查学生对正切函数在－■，■上图象的掌握程度；2．　考查学生运用类比思想解决问题的能力和数形结合的思想；3．　为研究解析几何中直线斜率与倾斜角的关系做铺垫．

【例3】求函数y=tan■x+■的定义域、值域、最小正周期和单调区间．

设计意图：考查学生运用类比思想解决问题的能力，提高学生对正切函数的认识，考查学生的整体意识和换元转化的思想．

顺带教师抛出问题：y=Atan（ωx+φ）（ω>0）的最小正周期是什么？

练习：画出函数y=tanx的图象，探究该函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性、单调区间和对称性．

设计意图：1．　考查学生对正切函数图象与性质的认识及综合运用知识的能力；2．　表述了已知函数解析式作图再研究函数性质这一与本节课不同的另一种探究函数图象与性质的方法，完备了开课时教师提到的研究函数的两种方法，拓宽学生的视野．

当然，随着每个例题的进行，教师应对解题思路进行适当的评价或留一定的时间让学生进行该例题的求解反思．　现代心理学告诉我们，认知结构中如果没有适当起固定作用的观念，那么知识的同化和顺应是难以实现的，而教师的解题评价或学生解题反思实际上就是一个解题学习的强化过程，一个增加解题的可供联想储备信息的过程，一个不断调整、修正学生对知识的理解和巩固的过程．

■教学实施策略反思

1.　结论的“形成过程”比结论本身重要

平时，总是听到其他教师在说：“讲了很多的知识和方法，学生怎么没几句能记牢．”　为什么会这样？笔者认为原因在于：1．　在传统的课堂教学活动中，“一个定义、三项注意”式的概念教学方式比较普遍；2．　一次次的课改，改变不了高中数学课时紧张的现状，这是一个不争的事实．　而教师为了赶进度，课堂上留给学生探究数学知识时间非常有限，有些教师甚至只给一个结论或公式，概念被当成解题的工具抛给学生，学生知其然，却不知其所以然．　在学生没有对概念的发生、发展、内涵与外延有一个基本的了解的情况下，通过学生不断地做练习达到对公式或结论的记忆，教学效果却不理想．　这样死记硬背产生的后果是：记得快，忘得更快，课堂也没什么乐趣，学生对数学的兴趣越来越低，日益累积，才有了教师们如上的抱怨．　俗话说得好：“结果很美好，过程更重要”，也就是说：“从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成过程，其内涵、外延的揭示过程，比数学概念的定义本身更重要．”　在新课程中，“经历……过程”已成为非常重要的、实实在在的目标，使数学教育的价值得到了提升和拓展．　如在教学《正切函数的性质与图象》时，若直接告诉学生正切函数的图象和性质，学生会疑惑，为什么是这样的，能否是其他形式？在性质和图象的记忆上薄弱，在应用时，会很生疏．　为了达到教学目标，在这节课的教学设计和课堂教学的过程中，教师重视性质和图象的“形成过程”，引导学生通过已有的有关正切函数的知识寻找对应性质，并结合已知性质研究其图象，作草图，再结合正切线，利用几何画板动态展示正切线变化过程以及利用正切线画正切函数图象的过程，通过有效的设问链，特别是问题3与问题4的处理，为学生创建一个去探索、挖掘和呈现正切函数概念的平台，给学生足够的时间去体验和感悟，拓展学生的“学术学习时间”，理清知识发生的本原，循序渐进地使学生掌握正切函数的性质和图象，并使学生相应的与正、余弦函数图象和性质进行潜意识的分析比较，既掌握了正切函数，又复习了其他知识，“一箭多雕”，再利用“合身”的例题进行正切函数性质与图象等知识的巩固、验证、拓展，使课堂生动，学生满意且教学目标得到很好的完成，这样培养出来的学生对问题的看法会越来越清晰，掌握的知识会更牢固，不易忘．

2.　课堂提问有效性原则

？摇？摇课堂提问是数学课堂教学活动中的一个重要组成部分，是师生为了顺利完成课堂教学任务而共同合作的教学行为；是教师成功完成教学任务的手段与基本功．　在课堂教学中，每一位教师在课堂教学中都会通过提问去调动学生学习的主动性和积极性，对所学知识温故而知新、查漏补缺；通过提问突出重点、突破难点，同时加深学生对知识的理解，从而完成教学目标，那么如何进行课堂教学的有效提问？笔者认为，应遵循以下三个基本原则：1．　目的性原则：课堂提问要有目的性，通常往往在突破教学难点处、完成教学重点处、新旧知识连接处和概念容易混淆处设计问题并进行具体实施．不要提与本节内容无关或让学生不知所云的问题．　2．　“就近”原则：学习活动是一个由易到难、由简单到复杂的过程，提问要提在学生的“最近发展区”，即问题设计在学生能根据现有水平和经过思考可以达到的区域，问题超越了学生的智力范围太远，会使学生迷失寻找线索的方向、丧失信心和减低学习兴趣．　3．　“留白”原则：教师提问后要给学生留下思考、探索、交流的时间，根据问题的性质耐心等待适当的时间，不要马上重复问题或指定一个学生来回答问题．

3.　教学要体现人文关怀

“教师很辛苦，学生很痛苦”是目前中学教学的一个非常突出的问题．　新课改指出：教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量；教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者．　因此，一堂成功的课堂可以看做是由五谷杂粮组成的，可以是很纯粹的学科知识，同时也需要多元化的教学目标来支撑，　以学生发展为本，更不能没有对学生的人文关怀．　笔者认为在数学教学中对学生的人文关怀主要分三方面．

1．　一堂课的教学设计应是教师在对《新课程标准》、课本充分感悟和学生学情分析后的体现．　这堂课有几个知识点，这几个知识点之间有什么联系，怎样在一节课中落实这几个知识点，学生很好地掌握并进行应用，这需要教师对学生的人文关怀．　如在学习《正切函数的性质与图象》前，教师明确：（1）学生已经较好地掌握了正弦、余弦函数的图象与性质；（2）学生已经掌握了角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式．　这些为学生学习本节课提供了知识的保障，为教师提供了进行教学设计的平台．　因此，引导学生进一步研究正切函数性质和图象、体会研究函数的方法，为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备，教师预设一些“有效问题”，关注学生对知识认知的从“无”到“有”、从“浅”到“深”的思维发展方式．　预设从“简”到“难”的“合身”的例题，希望能巩固学生对正切函数的性质和图象的掌握，并且为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，预设“问题链”引导学生探究正切函数的图象和性质；再通过采用《几何画板》自制课件进行正切函数图象的演示，以此检验学生所作图象的正确性，希望提高学生的学习兴趣，达到良好的教学效果．这样的教学预设体现了教师对学生的人文关怀．

2．　尽管有了较全面的教学设计预设，但在实际教学过程中，同一班级中的学生的基础存在差异，对于同一内容的学习，学生所需的学习时间也不同，并且在具体的课堂中，还会发生各种各样的突发问题．　如何在课堂教学中让绝大多数学生甚至于全体学生有效地进行《正切函数的性质与图象》学习？德国的教育学家第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授知识本领，而在于激励、唤醒和鼓舞．”　课堂教学是在知识与情感两条主线的相互作用、相互影响下完成的．　教师的一句话、一个眼神或一个动作都可能影响学生探究问题的意愿，所以教师作为学生与数学知识结构之间的中介，在课堂上要对学生进行人文关怀，重视学生亲身感受、实践操作、合作交流，给学生提供探索与交流的空间和时间，当学生遇到困难时或突发问题时，教师及时“扶一把”、“送一程”、“收一收”，使问题更贴近学生的最近发展区，让学生具备进一步探究问题的能力和意愿，并保持良好的学习情绪，使数学学习过程真正成为学生在已有经验基础上的主动建构过程，在知识的形成与应用过程中认识和掌握双基，在经历过程中感悟数学的思想和方法．

3．　要真正掌握知识、培养能力，必须通过学生自身的实践，使学生从“做”中去体会，从“做”中去巩固、掌握知识和灵活应用知识解决新问题的能力．　课堂教学活动的时间是有限的，学生除在课堂活动中的“做”知识外，更多的是通过“做”课后作业来完善对知识的把握与理解．　因此，教师要结合学生学习的实际情况和个体差异，有针对性地布置作业．在批改完作业后，教师分析错误，追溯错误缘由，并对普遍错误问题集中讲解，对个案问题进行面批，对学生常见错误问题归类，并在周末练习、检测等各类综合试卷上适当加强练习，这些行为都体现教师对学生的人文关怀，使学生更好地为后续学习做好知识和思想的准备．

4.　探究式教学在课堂中的应用

《新课程标准》指出：“要培养学生主动探究的意识，使学生在探究过程中获取探究的体验，促进学生在探索中发现，在发现中体验，在体验中发展，使数学课堂充满生命活力．”　探究式教学正符合了这一目标．　当然对于高中生来讲，学生的年龄特点、知识背景和思维能力决定了并不是所有的数学教学内容都适合在课堂上进行探究式学习，因此开展探究式课堂教学，必须以学生为“主体”，有教师的有效引领，有教师完善的“后勤”工作，为学生铺设活动舞台，否则探究活动将会成为没有目标的盲目探索或在规定课堂时间无法完成的任务．　在数学课堂教学中增加学生探究的成分，并不意味减弱了教师的主导作用，相反，在学生进行自主探究时，教师的启发、临场指导都大大增加了．　探究式课堂活动中，教师是“主持人”，往往会先通过预设性问题，引领学生进行探究知识，当然，在探究有些预设性问题时，学生受阻，产生生成性问题，“冷场”时，教师要会铺设“梯子”，正确引导学生继续进行探究．　探究重要的不是结果，而是探究过程本身，学会如何对已有的数学知识进行迁移，并进一步对未知数学问题的探究．　如在《正切函数的性质与图象》中，教师始终抓住类比正弦函数这条主线，尊重学生的先前的数学经验，注意“将新知泊于旧知的锚上”，引领学生对新知识进行猜想、分析、探究、证明，使新旧知识点有机地结合在一起．　在具体教学实践过程中，发现学生能够较好地运用类比思想探究正切函数的性质，但在由部分性质确定正切函数在区间－■，■上的图象时出现困难，教师引导学生考虑正切线与正切函数值的关系，并进行几何画板演示来落实图象．

高水平的教学设计是进行有效教学的一个重要前提，然而，教学设计是“预设”的，课堂教学是“生成”的，这两者之间一定存有落差，只有加强教学设计的预见性，进行合理的实施策略构建，才能提高课堂教学的有效性，才会有精彩的课堂教学“生成”．　当然，教师采取何种教材处理方式都是为了以优化学生的知识结构，培养学生归纳总结和构造知识体系的能力，提高学生分析表达的水平，将知识内化为能力，这是教学所要达到的最终目的．