一类特殊数列通项的普遍求法的研究

现阶段高中数学中，数列一直是高考的必考点，而数列解答题中出现的第一个问题一般就是求数列通项.求数列通项大致有三种情况：一是根据已知数列的前几项归纳出该数列的通项，二是利用等差或等比数列的性质求通项，三是已知数列前几项求通项及

利用递推式求通项.其中第三种情况比较复杂，但应用也较广.本文主要对已知递推式求通项进行一下探讨.

一、递推式化成类似an-an-1=f（n）的形式.这种形式可以用累加法来求通项

例2.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，求该数列的通项公式.

解析：给出的递推式是关于an，an+1的二次齐次式，我们可以采用因式分解，找出an，an+1的直接关系.上式因式分解可得：

（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0

这种方法关键是如何找出辅助数列，这时往往要用待定系数法来求辅助数列，当然这得对给出的递推式进行观察分析，找出辅助数列的特征，大致有以下几种情形.

1.an+1=pan+q型（p，q为常数，且p不为0）.

观察其特征可引入一等比数列，设an+1=pan+q可变形为an+1-t=p（an-1）.

例3.{an}中，a1=1，an=3an-1+2（n>1），求an.

解析：设an-t=3（an-1+1），∴t=-1∴递推式可化为an+1=3（an-1+1）

∴{an+1}是等比数列，其首项为a1+1=2，公比为3，则不难求出通项公式.

3.an+2=pan+1+qan型.先用待定系数法，an+2=pan+1+qan可变形为an+2-man+1=t（an+1-man），即an+2=t（m+t）an+1-mtan，∴m+t=pmt=-q，求出m，t，从而{an}是公比为t的等比数列，将其转化为类型2，进一步转化为类型1.

例5.已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，且Sn+1=4an+2，求an.

解析：本题给出的不是递推式，但由于Sn的表达式可得出式a2=S2-S1=5，an+2=4an+1-4an，设an+2-man+1=t（an+1-man），即有m+t=4mt=4

（作者单位 陕西省兴平市南郊中学）