载人航天器柔性机械臂的动力学建模方法

刘志全 危清清 王耀兵

（北京空间飞行器总体设计部，北京 100094）

1 引言

空间机械臂是实现航天器在轨组装和空间维修等作业的重要支持设备。从20世纪70年代起，加拿大、日本、欧洲等相继开展了空间机械臂的研究，并成功将空间机械臂应用在多种载人航天器上。加拿大SPAR公司研制的航天飞机遥操作机械臂系统（Shuttle Remote Manipulator System，SRMS）［1-2］于1981年应用于美国的航天飞机上。SPAR 公司的空间站遥操作机械臂系统（Space Station Remote Manipulator System，SSRMS）［3］和日本实验舱遥控机械臂系统（Japanese Experiment Module Remote Manipulator System，JEMRMS）［4］及欧洲机械臂（European Robotic Arm，ERA）［5-9］也分别于2001年、2008年 和2013年应用到“国际空间站”上。中国未来的空间站也将应用空间机械臂执行相关空间作业任务［10］。

应用于载人航天器上的大型空间机械臂的质量小、负载质量大、活动范围大的设计需求决定了机械臂一般设计为细长结构，而细长结构和大质量的末端负载使得机械臂系统频率一般为零点几赫兹，柔性特征十分明显，因此带来的动力学与控制问题影响着空间机械臂在轨应用的效果。SRMS的应用结果表明［1］：SRMS约有工作时间的30%被用于等待柔性机械臂振动的衰减，可见，空间柔性机械臂大柔性的特点严重影响了空间柔性机械臂的工作效率。

针对上述问题，国内外相关研究部门展开了空间机械臂柔性多体动力学［2］和关节的动力学的研究，基于上述研究工作，本文结合未来中国空间柔性机械臂工程应用所面临的技术问题，对空间柔性机械臂多体动力学、关节的动力学建模方法进行分析，旨在建立更为准确的机械臂系统动力学模型，以期更准确地反映空间柔性机械臂动态性能，由此设计和验证的控制系统可有效缩短柔性机械臂在轨运动过程中的振动衰减时间，提高空间柔性机械臂的控制精度，促进空间柔性机械臂在航天器工程中的应用。

图1 航天飞机遥操作机械臂系统（SRMS）Fig．1 Shuttle Remote Manipulator System

2 柔性机械臂多体动力学的建模方法

多体动力学研究由多个柔性体或刚体所组成的复杂机械系统在经历大范围空间运动时的动力学行为［11］。空间柔性机械臂是典型的多体系统［12-13］，由机械臂臂杆、关节、控制器等组成，图1展示了加拿大SPAR 公司的SRMS机械臂的组成［14］。为了给关节提供准确的输出力矩命令、预测机械臂关节及末端的轨迹，须要建立并求解机械臂的多体动力学模型［15］。常用的多体动力学建模理论主要有牛顿-欧拉法［13，16］、拉格朗日法［11，17］和kane法［12］等，这几类方法各有所长，目前国外载人航天器机械臂广泛应用的动力学建模理论主要有牛顿-欧拉法和拉格朗日法；对柔性体进行离散化处理的方法主要有集中参数法（LMM）、有限元法（FEM）和假设模态法（AMM）［18-19］；刚柔耦合系统动力学建模方法主要有运动-弹性动力学法与混合坐标法［16，19-20］。

为了预测并验证SRMS的动力学性能，加拿大SPAR 公司从1974年起，耗时18个月建立了两套多体动力学仿真系统：实时仿真设备（Real-Time Simulation Facility，SIMFAC）和非实时仿真设备（ASAD）［21-22］。ASAD 采用集中参数法将机械臂简化为由7个集中质量体组成的开环链（open kinematic chain）（如图2所示），每个关节被简化为一个杆和一个转动副，杆的两端各连接一个扭簧用来模拟关节壳体的扭转刚度。ASAD 用几段具有集中质量的悬臂梁来计算臂杆的模态特征，计算中只涉及了臂杆的弯曲变形而忽略了臂杆的剪切变形。

SPAR 公司在机械臂的每个杆与前后杆的连接处固连两个坐标系（如图3 所示），其中O0X0Y0Z0是基座坐标系（与航天器本体相固连的坐标系）；Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1和Oi-1X′i-1Y′i-1Z′i-1是与杆i-1相固连的两个坐标系；OiXiYiZi和OiX′iY′iZ′i是与杆i相固连的两个坐标系。通过坐标系Oi-1X′i-1Y′i-1Z′i-1和OiXiYiZi的坐标变换矩阵，建立杆i-1与杆i的相对运动关系。这样，由杆i-1的运动参数（含角位移、角速度和角加速度）可以递推得到杆i的运动参数，分析杆件间的作用力，利用牛顿-欧拉法得到机械臂动力学模型的一般形式：

式中：Fj，i和Tj，i分别为杆j对杆i施加的合力与合力矩（j对应于图3中i-1和i＋1），显然，Fj，i＝-Fi，j、Tj，i＝-Ti，j；rCij则为坐标系OjXjYjZj的坐标原点Oj到质心Ci的矢量；Ji和mi分别为杆i的转动惯量和质量；vi和aCii分别表示杆i质心Ci的平动速度和加速度；˙θi和¨θi分别为杆i的角速度和角加速度。

图2 SRMS柔性模型Fig．2 Flexible model of SRMS

图3 牛顿-欧拉法动力学模型Fig．3 Newton-Euler dynamic model

ASAD 根据末端轨迹规划计算机械臂开环系统各个部件的运动参数，采用运动-弹性动力学法把机械臂看作是运动的弹性系统，在描述机械臂大范围运动时，将臂杆视为刚体；描述机械臂变形时将臂杆视为柔性体。对应的，ASAD 动力学模型由两部分组成，一部分用于描述柔性体的高频振动，另一部分用于描述刚体的低频运动。ASAD 把外力和刚体惯性力施加到柔性臂杆上计算柔性体的变形，并将此变形与臂杆刚性运动叠加，在此基础上求出机械臂的运动学和动力学参数。这种算法简化了动力学求解的难度，但是忽略了柔性体变形与刚体运动的相互影响，这也是ASAD 仿真结果与SRMS遥测数据之间总存在较大误差的原因之一［1，22-23］。

20世纪90年代中期，为了辅助组装和维护“国际空间站”上的俄罗斯舱段，荷兰Fokker公司开始研制欧洲机械臂并开发了欧洲机械臂的多体动力学仿真系统（ERA Simulation Facility，ESF）［24-25］，该系统采用臂杆的前两阶弯曲模态与第一阶扭转模态来表征臂杆柔性特征；同时将关节简化为非线性扭簧来表征关节刚度特征，关节摩擦力矩模型则采用如图4所示的模型［26］，为了方便计算，ESF 将实验测量的动摩擦力矩作为常值处理。

图4 关节摩擦力矩模型Fig．4 Joint friction model

与ASAD 一样，ESF 也是采用运动-弹性动力学法建立欧洲臂柔性多体动力学模型，也存在同样的问题，即忽略了柔性体变形与刚性运动的相互影响［25］。

2001年应用于“国际空间站”的7 自由度机械臂SSRMS，利用其冗余自由度灵巧避障、避奇异点，改善了各关节的力矩状况，这也是SSRMS 优于SRMS，ERA，JEMRMS 的 地 方［27-28］。文 献［29］采用拉格朗日法建立SSRMS 多体动力学模型，采用神经网络法来优化轨迹及各个关节的输出。

定义与各个关节相固连的坐标系（如图5 所示），并将每个关节的转角定义为广义坐标，即可得到各个部件之间的坐标变换矩阵和各个部件间的运动关系。通过系统动能和系统势能可建立机械臂的动力学模型：

式中：Q为机械臂的系统动能；V为机械臂的系统势能；Ti为关节i的输出力矩；L为拉格朗日函数。

图5 拉格朗日法动力学模型Fig．5 Establishment of Lagrange dynamic model

在图5中，θi和θi＋1分别为杆i和i＋1相对于前一杆的转动角度，˙θi和˙θi＋1则为对应的角速度。

混合坐标法将空间机械臂臂杆假设为弹性连续体，在臂杆上建立浮动坐标系（坐标系与柔性臂杆固连，柔性臂杆的变形使坐标系的坐标原点位置及坐标轴方向都随之改变，故称为浮动坐标系），则柔性臂杆上任意一点的位置坐标由浮动坐标系的刚体坐标与柔性体相对于浮动坐标系的模态坐标叠加得到。相比于SRMS的动力学模型，混合坐标法建立的动力学模型描述了空间机械臂系统大范围刚性运动与柔性振动的相互影响，更加接近实际情况。

20世纪90年代中期，日本宇宙航空研究开发机构（JAXA）也开展了空间机械臂JEMRMS的多体动力学研究，最初也是利用有限元法计算模态特征值［30］。JEMRMS主要实现电池插拔等灵巧操作，最大操作载荷只有7000kg，JEMRMS臂杆设为刚性，只考虑关节柔性，这样与SRMS、ERA、SSRMS等有很大不同。

2007年，文献［31］认为，简单将SSRMS臂杆假设为末端自由的悬臂梁来建立SSRMS动力学模型并不能反映实际情况，于是JSC 采用拉格朗日法建立一套SSRMS模拟臂的动力学模型，在求解柔性臂杆模态方程时，将末端边界条件中加入了末端质量影响因子，以表征不同末端质量下臂杆的模态特性，经过实验验证，修正末端边界后的动力学模型更加接近实验结果。

2009年，文献［32-33］利用牛顿-欧拉法建立了含空间站、机械臂及负载的多体系统动力学模型，其中柔性臂杆模型也是通过混合坐标法建立的；针对关节与机械臂末端振动抑制问题提出了一种控制策略，但其机械臂系统只考虑了一个关节，动力学模型比较简单。

上述空间机械臂动力学建模方法的比较见表1。

表1 空间机械臂动力学建模方法比较Table 1 Comparison between different dynamic modeling methods of space manipulator

文献［12］认为采用拉格朗日法建立的空间机械臂动力学模型比牛顿欧拉法建立的动力学模型规模小，计算效率更高。对于柔性多体系统，采用混合坐标法建模考虑了刚性运动与柔性振动的耦合，更符合实际情况。因此，推荐用拉格朗日法建立空间机械臂多体动力学模型，同时用混合坐标法描述臂杆柔性变形与刚性运动的耦合。

3 柔性机械臂关节的动力学建模方法

空间机械臂关节是空间机械臂提供动力、感知位置和机械连接的重要部件，是保证机械臂运动范围、运动精度和运动平稳性的关键。空间机械臂关节主要由动力源、传动装置、传感器和控制器等组成。

空间柔性机械臂关节的动力学建模是指建立关节输出力矩与关节输出运动参数的联系。关节动力学模型与关节传动装置有关，长寿命大型空间机械臂关节一般采用行星齿轮传动系统作为主要传动装置，图6为某空间机械臂关节齿轮传动系统。

图6 某空间机械臂关节齿轮传动系统Fig．6 A gear transmission system of space manipulator joint

目前，针对空间柔性机械臂关节动力学建模研究主要有两种思路：

（1）基于简化模型的空间柔性机械臂动力学研究。此方法将柔性关节简化成扭簧，不考虑传动装置内部动力传动关系，只考虑关节输出力矩与关节输出运动参数的关系。

（2）基于精细模型的空间柔性机械臂动力学研究。此方法深入分析传动装置各个部件间的受力、运动关系，考察部件与部件之间的各种非线性影响因素，建立整个关节的动力学模型，由此得到关节输出力矩与关节输出运动参数的关系。

3．1 基于简化模型的动力学建模方法

关节动力学的早期研究是将关节假设为线性扭簧，此模型无法涵盖齿轮传动系统的摩擦及间隙等非线性因素的影响。1982年，文献［2］在研究SRMS关节动力学时，将关节简化为一个非线性扭簧，该扭簧刚度曲线由一段直线与一段抛物线组成（如图7所示），其中直线段斜率为关节输出参数稳定时的关节刚度，直线段延长线与横轴的交点即为关节间隙角的一半，抛物线与直线交点（δ1，T1）则通过实验数据拟合获得。此刚度模型综合考虑了刚度与间隙的影响，并通过实验数据拟合修正，可信程度较大。

文献［34］在关节模型中引入摩擦力矩的影响，将电机自身的摩擦力矩与关节传动系统的摩擦力矩区别对待，关节摩擦力矩模型简化为图4所示的库仑摩擦模型，忽略非线性影响。文献［30］也将JEMRMS关节简化为此类弹簧-阻尼模型。

图7 SRMS关节刚度模型Fig．7 Joint stiffness model of SRMS

2008年，文献［35-36］在建立柔性机械臂动力学模型时也将关节简化为非线性扭簧，并在此基础上建立关节控制系统。

关节简化模型忽略了实际关节中复杂的齿轮构形与受力关系，仅考虑关节宏观动力学特点。以此建立的关节控制系统结构简单。简化模型对关节的非线性刚度特别是齿轮啮合刚度的时变特性无法准确描述，也不能解释关节的高频振动等现象，模型的各个参数均需通过实验测量获得，代价较大，简化模型对关节零部件的机械系统设计、减重及优化指导意义不大，难以获得关节内部传动的动力学特性。然而，由于该模型简单且能反映关节的宏观运动特点，所以在单关节控制系统的设计中应用较多。

3．2 基于精细模型的动力学建模方法

为了准确预测机械臂的动力学行为，要用更高精度的机械臂关节动力学模型来反映真实动力学特性，须要建立更加细化的、全面考虑关节非线性影响因素的关节模型。

多级行星齿轮传动系统动力学建模一般参照齿轮的动力学建模方法［37］。影响齿轮啮合的非线性因素主要包括时变啮合刚度、传动误差、齿侧间隙和啮合阻尼（图8）。

图8 齿轮精细动力学模型Fig．8 Detail dynamic model of gears

（1）时变啮合刚度［38］。啮合刚度即轮齿抵抗沿啮合线方向变形的能力。由于轮齿啮合位置的变化及重合度的影响，齿轮啮合刚度呈周期性变化。

（2）传动误差［39］。齿轮加工、装配过程中产生的几何偏心及运动偏心等误差，造成的齿轮机构从动轮实际转角与理论转角之差即为传动误差，此误差属于随机误差。

（3）齿侧间隙。齿轮加工时造成的轮齿变薄及装配中齿轮副中心距的改变，使得啮合轮齿对之间存在间隙。齿侧间隙一般由分段函数表示。

（4）啮合阻尼。由于齿面摩擦等引起的阻碍齿轮副相对运动的能力。

1993年，文献［40］在设计一个容错关节时，采用精细模型分析了齿轮传动系统各个齿轮间的啮合关系，计算了关节频域特性，计算结果与实验数据基本吻合。然而，为了简化计算，此模型只考虑了齿轮扭转刚度与惯性等线性因素，将啮合刚度当作常值处理，忽略了齿侧间隙等非线性因素的影响。

2010年，文献［41-42］将这种方法引入到多级行星齿轮传动系统动力学建模中，采用集中参数法分析了齿轮传动系统中每对齿轮的时变啮合刚度、齿侧间隙、传动误差及啮合阻尼的影响，建立了细化关节模型。

细化关节模型中，轮齿单齿啮合刚度由国际标准ISO6336提供的经验公式计算得到，双齿或多齿啮合情况下的啮合刚度根据重合度的大小计算得到，双齿或多齿啮合刚度视为单齿啮合的并联系统，由此获得齿轮传动啮合刚度的周期性时变特性［42］。在该模型中，传动误差视为齿轮转角的正弦函数，齿侧间隙用双曲正切函数来模拟。

仿真结果表明，齿侧间隙是造成关节谐振的重要因素，在建立关节传动系统动力学模型时必须考虑。然而，关节精细模型的计算精度虽有了较大提高，但是求解计算量大（每个关节模型由11个2阶偏微分方程组成），不能直接应用，需要予以简化。

2013年，文献［43］基于关节精细模型对某多级行星齿轮传动的关节齿轮传动系统刚度进行了分析，分析结果表明，关节多级行星齿轮传动系统高速级与中速级刚度降低90%时，关节传动系统总刚度仅降低1．85%，关节传动系统的刚度主要受低速级影响，高速级则可当作刚性对待，这样简化后每个关节模型的规模将降低60%以上。

基于以上分析，采用精细模型来研究空间柔性机械臂关节动力学特性时，重点应放在传动系统的低速级上。同时，还须通过相关实验获得齿轮非线性啮合刚度、传动误差和间隙等参数来修正关节动力学模型。

4 结束语

基于对国内外载人航天器柔性机械臂动力学建模方法的综合分析，得出如下几点结论：

（1）空间柔性机械臂多体动力学可采用拉格朗日法建模，以利用拉格朗日法建模程序化、规范化、模型规模小的优点；宜采用混合坐标法来描述臂杆刚性运动与柔性变形的耦合，更准确地描述机械臂的动力学行为。

（2）应建立含时变啮合刚度、间隙及传动误差等非线性因素的关节精细动力学模型，使关节动力学行为的描述更准确。

（3）建立关节精细动力学模型时，宜将重点放在齿轮传动系统的低速级上，可忽略高速级柔性，以简化关节精细模型。

（4）关节动力学模型建立时需要辅以实验手段，用关节参数的测试结果修正关节动力学模型。

（5）空间柔性机械臂多体动力学模型和关节动力学模型的准确建立，有利于有的放矢地设计控制系统，提高机械臂末端定位精度，降低末端振动衰减时间。

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