螺杆动力钻具压耗计算方法研究与分析

王鄂川 樊洪海 李岩泽 罗立新 沈维格 王义顷

（1.中国石油大学，北京 102249；2.川庆钻探工程有限公司工程技术研究院，陕西西安 710018）

0 引言

钻井循环系统循环压耗的计算是钻井水力学的核心内容，其值计算的准确程度关系到钻井水力参数设计的合理性。一般而言，钻井循环系统压耗包括地面管汇压耗、钻柱内压耗、钻头压耗、井下动力钻具压耗、环空压耗等部分。井下动力钻具压耗根据动力钻具的类型可分为螺杆钻具压耗、涡轮钻具压耗和电动钻具压耗。螺杆钻具［1-2］又称为定排量马达（Positive Displacement Motor，简称PDM）。随着钻井技术的发展，在深井、超深井和大位移钻井中采用螺杆钻具同时配合使用PDC 钻头的复合钻井技术是提高机械钻速的较好的方法［3］。螺杆钻具压耗计算对有效提高钻井液循环系统压耗计算精度具有重要工程意义。螺杆钻具压耗计算比较复杂，国外G. Robello Samuel 教授和国内苏义脑院士等人已经做过许多研究，但至今关于其计算方法还不够成熟，没有形成简单统一的方法。因此，笔者通过综合归纳现有螺杆钻具压耗计算方法，并对各方法进行对比分析，优选具有较高计算精度的螺杆钻具压耗计算方法，为相关计算和设计提供一定的指导。

1 螺杆钻具工作原理

螺杆钻具是一种容积式马达，其作用是将钻井液的水力能量转换为机械能供给钻头。它主要是通过挤压被隔绝的工作液，使其不断地变换限定的空间，这样液体在转子和定子之间挤压推动转子转动。螺杆钻具由4 部分构成，主要是旁通阀总成、马达总成、万向轴总成和转动轴总成，如图1 所示。

图1 螺杆钻具结构示意图

螺杆钻具在工作或循环钻井液时，从马达内流出的钻井液穿过万向轴壳体内壁与万向轴间的空间，通过传动轴上端的通道进入传动轴的内部通道，再从钻头水眼流出。钻井液在循环过程中，螺杆钻具在高压循环流体的作用下，对外做功。马达中的定子和转子具有一定的啮合关系，这些啮合点沿轴线形成螺旋的密封线，进而形成一个个密封的空腔。当具有一定能量的流体进入密封的空腔，并从马达的一端流动到另一端时，推动转子在定子中转动，这就是螺杆钻具工作的基本原理。

2 螺杆钻具压耗计算方法

螺杆钻具的压耗是一个随钻压和扭矩变化的物理量，对于其计算过程，很多学者和专家进行了深入研究和探讨［4-5］。笔者将现有螺杆钻具压耗计算方法分为一般法和模型法，同时对这两大类方法进行对比分析，并对模型法进行了完善。

2.1 一般法

一般法是计算螺杆钻具压耗的方法简单明了，既不需要建立比较复杂的模型，也不需要求解数学模型。主要包括固定值法、插值法、反算法、数据回归法等。

（1）固定值法。在普通钻井中，当钻井参数比较稳定，地层地质情况比较良好，此时动力螺杆钻具的压耗一般不大，通常可选取某一常数值作为螺杆钻具的压耗，使钻井计算简单便捷。具体取值的大小，需根据实钻地层和钻井参数等有关经验确定。

（2）插值法。插值法指通过查阅井下螺杆钻具的使用工作参数表确定合适的排量和压耗，包括排量、压降、转速、钻压、扭矩、功率等，再通过实际排量来进行插值可近似得到螺杆钻具的压耗。具体计算公式为

式中，Δpm为井下动力螺杆钻具的压耗，MPa；Qa为实际排量，L/s；Q1，Q2为插值时的排量，L/s；Δp1，Δp2为插值时的压耗，MPa。

（3）反算法。反算法［6］是利用已知钻井循环压耗来反算井下动力螺杆钻具的压耗系数fm。在稳定钻井且环空和井眼清洁的前提下，根据钻井循环过程中，组成循环系统压耗Δps的几个部分，具体包括地面管汇压耗Δpg，钻柱内压耗Δpp，钻头压耗Δpb，井下动力螺杆钻具压耗Δpm，环空压耗Δpa，利用下式计算得出井下动力螺杆钻具的压耗系数fm，并利用其结果计算后续螺杆钻具的压耗。

式中，Qa为排量，L/s；fm为井下动力螺杆钻具压耗系数，无因次。

当钻井参数变化不大时，可通过上述式子计算得动力螺杆钻具压耗系数，进而求解动力螺杆钻具压耗，计算误差可以满足工程需要。

（4）回归法。回归法是充分利用实测数据将动力螺杆钻具在当前钻井液性能条件下和某一工况下压耗与排量的关系式回归确定为

通过实测数据回归出a，b 系数值，进而可以确定动力螺杆钻具压耗与排量之间的关系式，据此可以根据现场实测排量计算螺杆钻具压耗大小。

2.2 模型法

模型法是指计算动力螺杆钻具压耗时，根据螺杆钻具的几何结构建立一定的数学模型，对建立的模型，列出满足模型的方程式，再求解方程。一般而言，通过建立模型法求解动力螺杆钻具压耗大小主要分为以下几个步骤：（1）模型的建立；（2）模型的求解与计算；（3）实例验证模型理论；（4）计算结果分析与比较；（5）结论与建议。

文中对现阶段计算动力螺杆钻具压耗的2 种主要模型方法：圆筒模型和复杂模型，进行了阐述和完善。

2.2.1 圆筒模型 考虑每一种动力螺杆钻具的结构和外形存在差异性，其中定子和转子的结构又比较复杂，且二者头数比也不一样，因此准确计算得出实际螺杆钻具的压耗十分困难。采用简化模型，把实际动力螺杆钻具的马达简化成一个环形的圆筒形状，如图2 所示。针对简单的圆筒模型，在钻井条件稳定、井眼清洁时，将相关参数代入计算得到的螺杆钻具压耗结果与实际压耗相近，满足一定的工程条件。

图2 动力螺杆钻具马达等效圆筒示意图

在圆筒模型中，螺杆钻具中定子的直径ds是圆筒的外径，转子的直径dr是圆筒的内径，结合螺杆钻具操作手册计算环空的当量直径进而计算其压耗。具体计算过程如下。

（1）环空流速v 计算。

式中，Q 为环空流体理论流量，L/s；ds，dr分别为定子直径和转子直径，mm。

由式（5）可知，在螺杆钻具马达的定子中，环空内流体的返速与流量成正比，与环空间隙的横截面积成反比。

（2）钻井液流变性分析。主要是确定钻井液流体的流变参数［7］。选取合适的钻井液流变模式对准确计算螺杆钻具压耗十分重要。常见的钻井液流变模式主要有宾汉模式、幂律模式、赫—巴模式、卡森模式、罗伯逊—斯蒂夫模式、Sisko 模式和比较新颖的四参数模式。因此，首先要对钻井液流变模式进行优选，优选流变模式时一般采用曲线对比法、剪切应力误差对比法、相关系数法等。

当优选出比较适合的流变模式后，再确定钻井液的流变参数。对于宾汉、幂律、卡森等较为简单的流变模式，可以直接用流变参数的计算公式计算，称之为常规计算方法。也可以采用回归分析法计算钻井液的流变参数，这种方法适用于所有的流变模式。本文选取罗伯逊—斯蒂夫流变模式为例说明钻井液流变参数计算过程。

黄逸仁［8］等对罗伯逊—斯蒂夫流变模式流变参数进行了相关研究，在其基础上，进行优化和完善。首先假设有τmax、γmax、Nmax，τmin、γmin、Nmin，τx、γx、Nx3组数据，可得

式中，Ri，Ro分别表示旋转黏度计仪器的内筒外径和外筒内径，mm。

将τmax、γmax，τmin、γmin，τx、γx代入整理得罗伯逊—斯蒂夫流变模式中的相关参数

故由式（9）、式（10）和式（11），可求得罗伯逊—斯蒂夫流变模式中的流变参数。

（3）钻井液流体环空流动压耗计算。当钻井液在螺杆钻具转子和定子的环空流动时，其流态是变化的，不是恒定不变的，可能存在层流、过渡流和紊流等几种流态［9］。

罗伯逊—斯蒂夫流体在环空层流状态下的压耗 计算表达式为

式中， fars为罗伯逊—斯蒂夫流体环空摩阻因数，其表达式为

罗伯逊—斯蒂夫流体在环空紊流段的压耗ΔpT计算表达式为

式（14）中， fa为范宁阻力系数，对于环空紊流的范宁阻力系数的计算一般是通过等效管径转化为圆管紊流计算，先计算出等效管径，接着计算等效的雷诺数，再按圆管紊流的范宁阻力系数与雷诺数的经验关系式计算范宁阻力系数，最后计算罗伯逊—斯蒂夫流体环空紊流压耗。过渡流状态的压耗Δptr计算，可采用在层流临界雷诺数与紊流雷诺数之间用线性插值方法求解出过渡区范宁阻力系数，再代入式（14）计算过渡流状态下的压耗结果。

（4）计算动力螺杆钻具压耗。由前述的层流状态压耗ΔpL、紊流状态压耗ΔpT、过渡流状态压耗Δptr可得动力螺杆钻具压耗Δp 计算公式为

2.2.2 复杂模型 考虑了多叶片式马达的动力螺杆钻具，通过重点研究螺杆钻具马达的结构，详细给出螺杆钻具压耗计算表达式［10-13］。螺杆钻具马达横截面示意图如图3 所示。

图3 螺杆钻具马达横截面示意图

（1）螺杆钻具横截面分析。如图（3）可知

式中，e 为定子直径和转子直径之间的偏心距大小，mm；i 为马达绕线比例，无因次；n 为马达转子为n头摆线线型，则定子为n+1 头摆线线型。

则螺杆钻具两叶马达的横截面积为

同时，转子和定子之间通过齿数耦合产生的空腔的直径Dc可表示为

综合式（19）和式（20）可得

联合式（16）～（18）可得

螺杆钻具马达横截面积得出后，则可知动力螺杆钻具的转子和定子之间形成空隙的体积V 的表达式

式中，α 为螺旋角，其为切线与螺旋线之间的夹角。

（2）螺杆钻具流量Q 计算。由式（22）和式（23）可得流量Q 的表达式为

式中，N 为旋转角速度。

（3）扭矩计算分析。螺杆动力钻具的实质是将钻井水力学能量转换为螺杆钻具机械能量，机械功率MHP 计算表达式可按下式计算。

由式（24）可得用流量表示的水力功率HHP 计算式为

则螺杆钻具能量利用效率η 为

因此，由上式可得螺杆钻具扭矩T 的表达式

（4）螺杆钻具压耗计算。当地层各向异性小且井眼清洁状况良好时［14］，螺杆钻具所需机械功率可用钻压W 表示为

式中，HHPm为螺杆钻具功率；kb为考虑地层硬度的系数；db为钻头直径；x，y 为常数指数。

联合式（25）和式（29）可得

将式（28）和式（30）联合可得

式中，ki为马达线圈绕组系数。

用式（31）即可计算具有一定参数结构的螺杆动力钻具压耗。

3 计算方法的对比与分析

综上所述，一般方法中的固定值法，根据实钻经验选取某一固定值作为动力螺杆钻具的压耗值；插值法使用螺杆钻具设计的工作参数，结合实际工作参数近似得到螺杆钻具的压耗；反算法，关键在求解螺杆钻具压耗系数fm；回归法利用大量实测数据来进行数据的回归和拟合，得到螺杆钻具压耗与排量的关系式。模型法，考虑了螺杆钻具的结构形式，定子和转子之间绕线比例等客观条件。其中圆筒模型法将螺杆钻具结构简化为环形的圆筒形状，在求解螺杆钻具压耗时采取类似于钻井液在环空流动所产生的压耗计算方法，分别计算钻井液在环空中流动时层流、过渡流、紊流状态下的压耗，得出螺杆钻具压耗；复杂模型，详细分析了螺杆钻具马达中定子和转子之间的结构关系，从机械功率与水力功率之间的转换关系出发，详细推导出螺杆钻具压耗计算方法。该方法具有较高的计算精度，已在钻井现场实际运用，效果良好。因此，当螺杆钻具压耗计算精确度要求较高时，可选用复杂模型方法计算。各方法的分析比较如表1 所示。

表1 各方法分析比较结果

4 结论

文中归纳总结了现阶段计算螺杆钻具压耗的几种方法与模型，详细地阐述了螺杆钻具工作原理及其压耗计算过程，并对各方法进行了分析和比较。同时在环空圆筒模型的基础上，选用罗伯逊—斯蒂夫流变模式，通过流变参数计算、不同流态（层流、过渡流和紊流）压耗计算，对螺杆钻具压耗求解进行了详细推导和计算。对于复杂模型，比较全面地分析了螺杆钻具马达结构，进一步推导和完善了螺杆钻具压耗计算公式。当然，随着钻井面临的条件越来越苛刻和复杂结构井的推广运用，对螺杆钻具的压耗及其他性能参数的研究任重道远［15］。

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