工程中广义特征问题的讨论

张 淼，周福泉，王 震

（1.长春工程学院理学院；2.能源动力工程学院，长春130012）

0 引言

任一线弹性结构或机械系统，在承受外界激励或动力载荷时，其运动状态取决于其物理特性，以适当的参数形式来表征这些特性，形成数学模型是动力学分析的起点，所揭示的本质现象和研究方法是结构振动研究的基础。

系统的运动方程总是在一定的坐标系中用坐标来描述的，设法使一组本来耦合的方程组，变为一组无耦合的方程组，使每一个方程中只有一个待求的坐标时，每个微分方程便可独立求解［1］。工程结构振动微分方程的解耦，事实上是选择或构造适当的空间（例如欧氏或酉特征空间等）把系统性质矩阵对角化的过程。

1 工程中广义特征问题的产生及形式

描述自由度为N的线性阻尼离散系统的自由振动的微分方程

式中：M，C和K∈CN×N分别代表质量、阻尼和刚度矩阵等性质矩阵；x（t）∈RN为广义坐标向量；t∈R＋代表时间。

做拉普拉斯变换x（t）＝uest＝ueiωt（s＝iω），代入式（1）得

如果si∈C满足特征方程

称为系统（1）的第i个频率，同时ui∈CN称为系统（1）与si相对应的第i个右（复）模态。在工程实践中，特征对（si，ui）是系统最重要的参数之一——模态参数，是振动测试与分析的主要对象［2］。

1.1 工程振动系统的划分

当系统性质矩阵为Hermite矩阵时，此时称系统（1）称为保守系统，但当系统性质矩阵为非Hermite矩阵时，则称系统（1）为非保守系统。

若系统的频率全不相同，则称为单频结构系统，若系统有重频，但重频的几何重数与代数重数相符，则对应的振动系统称为重频完备系统，若系统有重频，但重频的几何重数小于代数重数，则对应的振动系统称为重频亏损系统［3］。由于这一问题的复杂性，本文的讨论仅针对单频对称系统。

1.2 无阻尼振动系统的特征问题

在相当短的一个时间内来研究机械系统自由振动状态时，可以认为它是一种无阻尼的自由振动，此时令振动系统（1）中的阻尼阵为零矩阵，即产生广义特征问题：

或写成

解出满足上述特征方程的ui和si（∀i＝1，2，…，2N）即为系统的无阻尼纯模态及频率。此时频率均为共轭的虚数，对应的纯模态将含有复值模态位移，但某个模态向量的各元素之间的相位差不是0°就是180°，因此选择适当的比例因子可将这些模态向量换算成纯实数值向量，即为固有振型向量（实态）。

1.3 阻尼振动系统的状态空间格式的特征问题

状态空间格式在多自由度系统的结构动力响应分析、与灵敏度分析相关的结构动力修改、结构集成和结构振动控制领域［4－5］中有着广泛的应用。一方面由于状态方程具有可分离的数学结构，因此比传统的方法更为优越，特别是对于多激励输入输出系统，状态空间具有明显的优势，其次状态方程描述一个动态的过程，不论系统多复杂，状态空间的描述总是具有统一简洁的形式，并可用多种分析技术在计算机上进行数值计算［6］。

另一方面，对非比例黏性阻尼，如果用无阻尼固有振型向量无法使阻尼矩阵对角化，或者说阻尼力与速度成正比，不能用复刚度来体现其作用时，就必须寻找合适的坐标体系进行坐标变换，使振动微分方程解耦。因为状态空间法可以将N维空间中描述的结构振动微分方程转移到2 N维状态空间中描述，其根本目的是利用状态向量的解耦性能来实现状态方程的解耦，从而把相关结论反映至原N维空间中描述的结构振动微分方程中去。

设

代入方程（1），则该二阶系统将转化为如下一阶系统：

其中

称为系统（1）的状态矩阵，式（6）称为AB型状态方程［7］。

作拉普拉斯变换x（t）＝uest＝ueiωt（s＝iω）代入式（6），则有

经验证可知特征对（si，ui）同时满足特征方程

由式（8）和式（9）可知，原系统（1）的振动特征问题转化为广义特征问题：

其中

称为右状态向量，注意到它的后N维恰为振动系统（1）的右模态向量。

事实上，无论是N维向量空间中描述的无阻尼特征方程式（4），还是在2 N维状态空间中描述的状态方程式（10），都具有统一的广义特征形式

分析这种统一性，为工程中复杂系统的振动分析提供了更为广阔的视野，依赖这种统一性，许多针对无阻尼系统开发的振动分析方法均可应用于阻尼系统。

2 广义特征问题的求解及特征矩阵的对角化

对式（12）的广义特征问题：

（1）如果Q是实对称矩阵，P是实对称正定矩阵，则可通过对P进行楚列斯基分解，直接求得广义特征值与广义特征向量。

（2）如果仅当P可逆时，广义特征问题转化为一般特征问题

注意，一般情况下，P－1Q是非对称阵。

（3）如果仅当M可逆时，还可通过转化状态方程的形式，也可将广义特征问题（10）转化为一般特征问题。

对线性振动系统的运动方程式（1），设

代入方程（1），则该二阶系统将转化为如下一阶系统：

其中

称为系统（1）的状态矩阵，式（14）称为A型状态方程［7］。

作拉普拉斯变换代入式（14），则有

且同样满足式（9），由此可知原系统（1）的振动特征问题转化为状态矩阵A的一般特征问题

其中

称为状态矩阵A的状态向量，它的前N维恰为振动系统（1）的模态向量。

在上述转化方法下，将广义特征问题的求解处理成一般特征问题，转化后比较容易应用矩阵代数理论讨论其对角化问题，在此不再赘述。但值得注意的是因为工程问题的独特性，其一般结论将有所变化。下面提出一种基于工程振动分析思想来求解广义特征问题及讨论其对角化的新方法。

（4）众所周知，对于无阻尼系统，其固有振型（实模态）是可以将质量和刚度矩阵对角化。利用这一点，可以使用Matlab工具箱中的命令即可对任一广义特征问题λPx＝Qx求解并实现对角化。

步骤1：输入原始性质矩阵P和Q。

步骤2：用命令polyeig（P，0，Q），输出无阻尼纯模态及频率s1，s2，…，（其中（·）＊代表（·）的共轭）。

步骤3：构造实模态矩阵U ＝ ［u1，u2，…，un］。

步骤5：检验UHPU＝E，UHQU＝Λ。

需要注意的是在步骤3中，需将含有复值模态位移的纯模态调整为实模态。经过本文作者多次实验说明，即便使用没有经过调整的纯模态也可以完成对角化。数值算例1将说明这种方法的有效性。

3 实现广义特征问题对角化的条件

下面给出矩阵代数中的酉空间对角化的相关理论。

定义1 如果方阵A满足AH＝A，则A为一个Hermite矩阵。（（）·H表示（）·的共轭转置，即（）·H＝

定义2 如果复矩阵A满足AHA＝E，则称A为一个酉矩阵。

定义3 如果复矩阵A满足AHA＝AAH，则称A为一个正规矩阵。

定理1 在数域F上，n阶矩阵A能与某对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2 在数域F上，n阶矩阵A相应于不同特征值的特征向量线性无关。

定理3 在数域F上，若n阶矩阵A存在n个互异的特征值，则A在数域F上相似于对角阵。

定理4 Hermite矩阵的特征值都是实数。

定理5 Hermite矩阵相应于不同特征值的特征向量相互正交。

定理6 对于n阶Hermite矩阵必有n阶酉矩阵U使

U－1AU ＝UHAU ＝diag（λ1，…，λn）其中λ1，…，λn是A的全部特征值。

定理7 A酉相似于对角阵的充分必要条件是A为正规矩阵。

根据上述酉空间对角化理论，结合本文对工程中广义特征问题的讨论，可推得如下结论：

（1）单频对称系统对角化实现的条件：对广义特征问题λPx＝Qx，特征空间一般不能对角化P－1Q或A型状态矩阵，但却能对角化P和Q，数值算例2将说明这一结论的正确性。

（2）在酉空间中任意线性无关的向量可以用施密特正交化方法正交化，这在重频保守系统解耦过程中可以得到很好的应用，但要注意性质

（3）任一非零酉空间都存在正交基和标准正交基，这为各种振系的解耦提供了可实现的基本条件。

（4）定理6中U的求法与欧氏空间中相应的对称矩阵求正交相似变换阵使之对角化的方法类似。

4 数值算例

设某振动系统的性质矩阵为

显然这是一个对称系统。

4.1 数值算例1

利用本文2.3中提出的算法，下面按无阻尼形式的广义特征问题模式s2Mu＝－Ku实现（M，K）对角化。纯模态为

无阻尼固有频率矩阵为

规范化后无阻尼固有振型（实模态）为

检验后可知：UTMU＝E，UTKU＝－Λ

4.2 数值算例2

首先用式（3）、式（10）及式（17）三种特征形式解得的有阻尼系统的不同频率所属的复模态向量虽不完全相同，却成比例，因此可以说明它们是一致的。其次用状态向量的构成形式式（18），对系统的状态空间格式的广义特征问题sAφ＝－Bφ来实现（A，B）的对角化。

阻尼频率矩阵为S＝diag（－0.024 5＋9.7i－0.024 5－9.7i －0.043 3＋1.502 3i －0.044 3－1.502 3i －0.035 2＋6.135 4i －0.035 2－6.135 4i－0.360 0＋4.227 3i －0.360 0－4.227 3i －0.120 0＋2.446 5i －0.120 0－2.446 5i）。

通过计算可知此例中规范化常数为复数，因此只能分配给一组状态向量，而使另一组状态向量不变，所以规范化后的状态向量分别为

检验可知：VTAU＝E，VTBU＝－S

5 结语

本文是从数学与力学的交叉角度出发，首先提炼了工程力学中产生广义特征问题的数学模型，然后提出了求解广义特征问题的3种方法，再指出系统性质矩阵或状态矩阵对角化的实现条件，并建立了用工程方法实现广义特征模型对角化的算法，最后数值算例证明了本文方法与结论的正确性。

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