一类三寡头博弈模型的动力学分析

于晋臣,张彩艳

(1.山东交通学院 理学院,山东 济南 250357;2.山东电子职业技术学院,山东 济南 250014)

市场经济从本质上而言属于动力系统的范畴，数学表现形式为微分方程或差分方程。在经济动力学理论中，存在许多微分或差分动力模型，诸如Cournot模型、Stacklberg模型以及Chamblin模型等。基于这些模型，通过对市场经济系统的稳定性、周期以及混沌行为进行深入研究，得出了一系列结果[1]。

三寡头博弈是一种基本的寡头博弈行为，对于典型的基于产量竞争的三寡头博弈而言，各寡头厂商同时做出产量决策，其Cournot解是唯一的Nash平衡点。在重复的三寡头博弈中，各寡头厂商均把获取最大收益作为自己追求的目标。三寡头博弈与真实的市场博弈最接近，鉴于此，已有一些学者对三寡头博弈的情形进行研究[2-6]。其中，在各寡头厂商均具有朴素预期的假定下，文献[2]研究了一类具有相同预期的三寡头博弈模型，研究表明，该模型的动力学行为非常复杂，出现了周期甚至混沌行为。文献[3]将文献[7]的Kopel双寡头博弈模型推广到三寡头情形，并研究了该模型的多稳定性。文献[6]研究了电力市场上三寡头博弈模型的复杂性。

本文研究的三寡头博弈模型基于这样的假定：2个寡头厂商为有限理性预期，另1个寡头厂商为自适应预期，并且均生产同质产品。这样，由于市场容量有限，为防止竞争而引起价格战现象，寡头厂商会理智的选择联合起来形成定价同盟，避免不必要的利润损失。因而，在价格相同的前提下，产量高的厂商可以通过产量优势销售更多的产品(买方需求很大，几乎处于产多少要多少的状态)，从而获取最大利润。显然，若以产量和产量调整速度作为变量可以在某种程度上反映厂商的生产规模以及产品的市场占有率。

考虑到现实市场中产量与成本费用并非具有简单的线性关系，本文在非线性成本函数的基础上建立产量博弈模型。各寡头厂商实际上对市场的调节、反应能力不同，故不同厂商的产量关系结构也会有所区别。此外，寡头厂商通常会有信息不对称的问题，即使信息对称，对信息的处理能力也各不相同。因此，本文将非线性成本函数、线性逆需求函数和不同产量决策等因素引入到Cournot模型中，建立了三寡头产量博弈模型，使得更加贴近真实寡头竞争的市场情况，并以此为基础研究竞争过程中博弈的复杂性。

1 建模

考虑1个Cournot三寡头博弈模型。qi表示厂商的产量，i=1,2,3。Q=q1+q2+q3为总供给量，则相同的线性逆需求函数为

p=f(Q)=a-bQ,

(1)

式中p为产品的市场出清价格；a，b为正常数。

厂商i二次可微的成本函数为

(2)

式中ci为正常数，与各企业技术水平成反比。

因此各企业的利润函数为

(3)

由于假定Cournot三寡头市场上的产品为同质商品(可完全替代)，将式(1)，(2)代入式(3)中得到

这个最优化问题有唯一解

现在假定寡头厂商1和2均为有限理性，也就是说，由于寡头厂商对市场需求并不完全了解，其产量决策是一个动态过程，在每一阶段t寡头厂商都要对下一阶段对手的产量做出一个预期来确定使收益最大化的下一阶段的相应产量。用qi(t)表示厂商在t阶段时的产量，下一阶段的产量qi(t+1)与t阶段的边际利润息息相关。若边际利润为正(负)，则将在下一阶段增加(减少)产量，动态方程为

式中 αi为正参数，表示厂商i的产量调整速度。

结合式(3)，可以得到有限理性寡头厂商的动态方程为

假定厂商3具有适应性预期的能力，即下一阶段的产量q3(t+1)是依据上一阶段的产量q3(t)以及反应函数r3(q1,q2)得出的，从而有

q3(t+1)=(1-v)q3(t)+v〔a-b(q1+q2)〕/〔2(b+c3)〕,

式中 v为厂商3的调整速度，v∈[0,1]。

这样，得到的三寡头博弈模型为

(4)

式(4)表明，厂商1和2进行产量博弈时，都会根据各自上期边际利润的情况进行产量调整。厂商在t阶段的边际利润为正，则可通过在下一阶段增加产量来提高利润，反之就要减少产量，不然的话利润就会下降。而厂商3由于采用适应性预期，其调整产量的方式与其余2个厂商不同。从而，三寡头厂商对产量的调整速度不可能完全相同，这样就会影响寡头厂商之间博弈的结果。所以，寡头厂商对产量的调整速度，即α1,α2,v是影响产量博弈的主要因素。下面就针对α1,α2,v的变化对三寡头动态博弈过程的影响进行研究。

2 Nash平衡点的存在性以及局部稳定性分析

由于Nash平衡点对真实的市场博弈具有指导意义，因而，尽管式(4)的平衡点很多，本文仅考虑Nash平衡点的存在性以及稳定性。

通过求解下面的非线性方程

为了讨论方便，取a=10,b=1,c1=0.15,c2=0.2,c3=0.3,v=0.8，则此时的Nash平衡点为E*(2.474 6,2.297 8,2.010 6)。式(4)在E*的Jacobian矩阵为

故特征多项式为

f(λ)=λ3+Aλ2+Bλ+C,

式中 A=5.691 6α1+5.514 8α2-2.2，B=1.4-7.591 3α1-7.324 8α2+25.701 6α1α2，C=1.899 7α1+1.81α2-9.864 2α1α2-0.2。

从而，确定Nash平衡点的稳定性的计算式[8]为

(5)

因此，若固定v不变，则当α1，a2的取值落在式(5)确定的区域时，Nash平衡点的稳定性不会变化。当α1或α2的取值一旦超出稳定域，系统将变得不稳定，并最终进入混沌状态。这反映出，在实际的市场博弈中，寡头厂商尚未达到Nash平衡前，为了获得更多的利润，会不断地进行产量博弈，即不断调整各自的产量。经过不断的调整，当处于Nash平衡时，若寡头厂商对产量的调整速度不快，能落在稳定域时，产量平稳，市场稳定。若任何一方产量调整速度过快，超出了稳定区域，市场会处于波动之中。尤其是系统进入混沌初态时，市场会发生紊乱，陷入动荡之中，这时需要国家进行宏观调控来维护市场的稳定。

显然，若固定α1或α2不变，而对(α2,v)或(α1,v)进行调整时，也有类似的结论。

3 产量调整速度对稳定性的影响

通过上述分析可知，只要寡头厂商中的任何一方加快调整速度，使得参数取值超出稳定区域，Nash平衡点的稳定性就会发生变化，进而影响各厂商的总体利润。

图1 α2=0.25,v=0.8时,q2关于参数α1的分岔图

为了更直观的认识系统的动力学行为，下面采用数值仿真的方法对系统进行分析。首先对各参数赋初值：q1(1)=0.1,q2(1)=0.2,q3(1)=0.3,a=10,b=1,c1=0.15,c2=0.2,c3=0.3。

鉴于3个寡头厂商的动力学行为完全类似，下面仅以寡头厂商2为例来说明整个动态博弈过程。

固定寡头厂商2的调整速度为α2=0.25，厂商3的调整速度为v=0.8。图1显示了随着寡头厂商1的产量调整速度α1的增大，厂商2的产量演化过程。

寡头厂商2的产量q2随着α1的增大，首先达到Nash平衡状态(q2=2.297 8)，而后经历倍周期分岔过程最终进入混沌状态，呈现出了复杂而丰富的演化结果。观察发现，当α1<0.178时，Nash平衡点稳定，即三寡头厂商的产量处于均衡状态。随着α1的增大，平衡点的稳定性发生变化，寡头厂商的产量出现了倍周期分岔现象。其中α1∈(0.178,0.313)，为产量波动的2周期窗口，α1∈(0.313,0.331)为4周期窗口，α1∈(0.331,0.337)为产量波动的8周期窗口，……，最终系统处于混沌状态。

图2 α2=0.3,v=0.8时,q2关于参数α1的分岔图

固定寡头厂商2的调整速度为α2=0.3，厂商3的调整速度为v=0.8。图2显示了寡头厂商2随着产量调整速度α1变化的分岔情形。

由图2可知，从α1=0.07开始，随着α1的增大，产量曲线历经倍周期分岔过程最终走向混沌。结合图1,2可以发现，α2取值不同，图中分岔点的位置和分岔的形态都发生了变化。显然，当α2变大后，随着α1继续增大，寡头厂商会加快进入混沌状态，即市场会加速处于紊乱状况。

图3 α2=0.25,v=0.95时,q2关于参数α1的分岔图

这个博弈过程中，分岔点左移，说明在影响分岔点漂移方面，α1与α2有反向相依关系。同时可以发现，增大α2后，寡头厂商产量分岔的2周期窗口变长，导致系统动力学性质发生变化。

固定寡头厂商2的调整速度为α2=0.25，厂商3的调整速度为v=0.95。图3显示了寡头厂商2随着产量调整速度α1变化的分岔情形。

由图3可知，增大v时，寡头厂商仍会加快进入混沌状态。而且，也出现了分岔点漂移现象(向左)，因而，在影响分岔点漂移方面，α1与v也存在反向相依关系。

这就说明，无论增大α2还是v，随着α1的增大，寡头厂商产量失稳的现象都会提前出现，即市场会提前进入波动状况。

4 系统的混沌行为分析

为了分析系统的混沌演化过程，下面分别从最大Lyapunov指数和奇异吸引子两个方面予以说明。

4.1 最大Lyapunov指数

Lyapunov指数表示平均每次迭代引起的指数分离中的指数，描述了相空间内系统中相邻轨道收敛或发散的平均水平。通过计算Lyapunov指数，可以从定量角度研究混沌系统。一个系统中往往存在多个Lyapunov指数，并不需要一一进行计算，其中具有指标意义的是最大Lyapunov指数。若最大Lyapunov指数为正，则说明系统处于混沌状态；若最大Lyapunov指数为负，则说明系统稳定。

图4为固定α2=0.25，v=0.8时，最大Lyapunov指数随着α1增大时的变化情形。显然，此时最大Lyapunov指数可以看作α1的函数。

从图4中很容易观察到0<α1<0.4时，系统的局部稳定性情形。当最大Lyapunov指数<0时，说明系统稳定；当最大Lyapunov指数=0时，说明出现了分岔现象；当最大Lyapunov指数>0时，说明系统进入混沌状态。

4.2 奇怪吸引子

当系统处于混沌状态时，会出现奇怪吸引子。如前文所述，随着α1的增大，Nash平衡点失稳，会导致系统离开稳定区域，并通过倍周期分岔，最终进入混沌状态。取a=10,b=1,c1=0.15，c2=0.2，c3=0.3，α1=0.36，α2=0.25，v=0.8，可以得到系统的相图如图5所示。

图4 q2关于参数α1的分岔图

图5 系统的相图

5 结论

本文建立了三寡头博弈模型，分析了Nash平衡点的稳定性，并对博弈的过程进行了数值模拟。结果表明，市场稳定程度与产量调整速度呈反向变动关系；从规避风险的角度考虑，均衡状态是博弈各方都比较满意的状态。这就为真实市场中寡头厂商的竞争策略选择和政府宏观调控方式提供了借鉴。

参考文献：

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[7]Kopel M. Simple and Complex Adjustment Dynamics in Cournot Duopoly Models[J].Chaos, Solitons & Fractals,1996,7(12):2031-2048.

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