VTI孔隙地层喷射流机制对井孔导波频散与衰减的影响

丛令梅,马 俊,王克协

(1. 浙江海洋学院 数理与信息学院,浙江 舟山 316004;2. 吉林大学 物理学院,长春 130012)

流体饱和孔隙介质声学理论[1]广泛应用于地球物理勘探领域. 但在许多情况下,依据该理论预测的能量耗损和速度频散比实际测量值低. Dvorkin等[2]将Biot流动和喷射流动综合,建立了多孔隙介质的Biot-喷射流统一模型(Biot-Squit模型),简称BISQ模型. 该模型增加了一个新的储层参数——特征喷射流长度. 目前,人们对该模型的研究已取得较多成果[3-10]. 研究表明,喷射流动机制是导致弹性波强频散和高衰减的原因之一. 该模型目前已应用到声波测井研究中,如在BISQ模型下描述各向同性介质地层中的井孔导波频散和衰减与喷射流间的关系[11].

含油气储层典型的各向异性介质是由周期薄互层(PTL)和裂隙定向分布(EDA)形成的横向各向同性(TI)介质. Parra[12]在近似假设下,导出了考虑喷射流机制的横向各向同性(VTI)孔隙介质的弹性波场方程,由于引入两个各向异性喷射流长度,因此其特点与各向同性的BISQ模型不同. 杨顶辉等[13]通过引入质量耦合系数的各向异性,对该理论模型进行了改进. 文献[14-16]针对物探需要或波场模拟进行了研究. 本文采用考虑喷射流机制的横向各向同性BISQ模型模拟横向各向同性孔隙地层,先理论求解该地层包围的流体井孔体系的多极稳态声场,再研究各向异性喷射流长度变化对单极Stoneley波和偶极弯曲波频散与衰减的影响.

1 理论求解具有喷射流机制的VTI地层中井孔声导波场

研究具有喷射流机制的VTI地层中井孔多极声导波场传播特征,关键是求解该地层模型下井外位移场方程,再利用井壁边界条件,得到井孔和地层体系声导波场的特征方程——复频散方程,通过数值求解复频散方程可得导波的频散与衰减.

对井外介质,用固相骨架位移u和液相位移V作为描述声场的广义坐标,由于VTI具有对铅直轴的轴向对称性,因此选择以井轴为z轴的圆柱坐标系. BISQ模型下VTI介质稳态的波场方程[12]为

(1)

其中:ω为频率;σ为孔隙液体有效液应力;σ为骨架应力张量,在圆柱坐标系中的分量与固、 液相相应的应变分量的关系为:

(2)

式中:eij和εij分别为固相和液相应变分量;A,N,C,F,L为VTI介质骨架弹性模量;

(3)

α=(2α1+α3)/3,α1=1-(2A-2N+F)/(3KS),α3=1-(2F+C)/(3KS),KS为骨架基质压缩模量,Kf为孔隙流体压缩模量,α,α1,α3为孔隙压力系数;

式中:

ρ11=ρ1-ρ12,ρ22=ρ2-ρ12ρ12=(1-α∞)φρf,ρ1=ρs(1-φ),ρ2=ρfφ;

α∞为孔隙弯曲度,φ为孔隙度,ρs为骨架基质密度,ρf为孔隙流体密度,η为流体动力黏滞系数,kH和kV分别为横向和纵向渗透率.

各向异性喷射流因子

(4)

求解井外场引入位移势:

(5)

将式(5)和式(2)代入式(1)可得柱坐标系下关于纵、 横波势函数满足的波动方程,在各向同性孔隙地层中,φ和φ′表示纵波场,χ,χ′和ψ,ψ′分别表示质点偏振方向与水平面平行的横波场(SH)和质点偏振方向与水平面垂直的横波场(SV),对于VTI介质,纵波(P)与SV波耦合,与SH波脱耦. 式(5)中势函数解对n极场可表示为

选井内流体位移势U=Φ,井内声波场解的n级多极场频率波数域势函数[18]可表示为

Φn(r,θ,kz,ω)=AnIn(υr)cosn(θ-θ0),

(6)

(7)

其中上角标(1)和(2)分别为井内外的量. 将井内外位移和应力表达式代入式(7),整理后可得井内一个权系数An和井外4个独立权系数满足的齐次代数方程组:

(8)

(9)

mij的具体形式可参见文献[19],式(9)即为声波沿井传播简正模式(简称模式波)满足的特征方程. 由于该波导沿井轴方向是无限的,因此也称该类波为(制)导波. 由于介质耗散吸收,因此式(9)也称为轴向波数kz满足的复频散方程. 在确定频率下求出的根km(m=1,2,…)为复量,进而可求出导波的相速度和品质因数倒数表示的衰减系数:

(10)

(11)

2 数值结果分析

本文数值求解井孔导波声场,并考察各向异性喷射流长度变化对井孔传播模式——单级Stoneley波和偶极弯曲波频散与衰减的影响. 特征喷射流长度为一个不能直接测量的隐参数,当长度较小时,喷射流效应较明显,随着其值的增大,喷射流效应减弱,若特征喷射流长度趋于无穷,则回到Biot介质情况. 由文献[2]可知,当特征喷射流长度为毫米量级时,其影响较明显,为考察特征喷射流长度的影响,本文令纵、 横向特征喷射流长度R1和R3在几毫米之间变化.

井内外介质物理和几何参数按井下常见情况选取: 井孔半径a=0.1 m,井内流体密度ρ0=1 000 kg/m3,流体声速vf=1 500 m/s,孔隙度φ=0.1,固相密度ρs=2 445 kg/m3,液相密度为1 000 kg/m3,声速为1 500 m/s,黏滞系数为0.001 kg/(m·s),双相介质地层其他参数列于表1.

表1 双相介质地层参数Table 1 Parameters of two phase poro-elastic formation

横向各向同性BISQ模型下单极源激发Stoneley波的频散和衰减曲线如图1所示. 先固定特征喷射流长度R3,计算R1变化的频散与衰减曲线(图1(A),(B)),再固定R1改变R3进行同样计算(图1(C),(D)). 其中相速度曲线用井孔流体声速进行归一化. 实线对应采用Biot模型时的结果,点线、 虚线和锁线分别对应特征喷射流长度为2,4,5 mm时的BISQ模型结果. 由图1(A)和(C)可见,喷射流长度变化不影响横向各向同性BISQ模型下井孔Stoneley波的频散特性,与采用Biot模型的计算结果差别较小,但衰减差别较大,采用BISQ模型时井孔Stoneley波的衰减明显增加,大于采用Biot模型时的衰减,理论和实际观测结果相符.

图1 单极Stoneley波的频散(A),(C)和衰减(B),(D)曲线Fig.1 Curves of dispersion (A),(C) and attenuation (B),(D) for unipolar Stoneley waves

横向各向同性BISQ模型下偶极源激发最低阶弯曲波的频散和衰减曲线如图2所示,其中实线对应Biot模型,点线、 虚线和锁线分别对应特征喷射流长度为2,4,5 mm时的BISQ模型结果. 由图2可见: 横向各向同性BISQ下弯曲波的相速度频散受喷射流长度影响较小,即在截止频率处采用横向各向同性BISQ模型计算的弯曲波相速度小于采用未考虑喷射流机制Biot模型时的值;衰减明显大于采用Biot模型时的衰减,其衰减曲线存在一个明显的峰值,弯曲波比Stoneley波衰减曲线的变化复杂;当大于某个频率时,衰减随特征喷射流长度R1的增加而增大,随R3增加而减小;当小于某个频率时,衰减随特征喷射流长度R1的增加而减小,随R3增加而增大. 即弯曲波的衰减随特征喷射流长度R1和R3的变化趋势相反,且在某个频率点发生变化趋势反转. 在各向同性地层下,弯曲波的衰减在所有频率范围均随特征喷射流长度单调变化[11],当特征喷射流长度趋于无穷时,回到纯Biot介质情况.

图2 偶极弯曲波的频散(A),(C)和衰减(B),(D)曲线Fig.2 Curves of dispersion (A),(C) and attenuation (B),(D) for dipole flexural waves

综上所述,本文采用同时考虑Biot流动和喷射流动机制的横向各向同性BISQ模型模拟实际地层,理论求解了横向各向同性地层裸眼井孔声场,得到了井孔导波的复特征方程,并计算考察了井孔导波单极Stoneley波和偶极弯曲波的频散与衰减特性. 当不考虑喷射流动时,所得结果与文献[18]相符;退化到各向同性地层时,所得结果与文献[11]相符. 数值结果表明: 水平和垂直特征喷射流长度不影响井孔导波的频散,但对井孔导波的衰减影响较大;当横向各向同性地层考虑喷射流机制时,采用Biot理论模型的Stoneley波和弯曲波衰减均增大,更接近实际衰减值;Stoneley波衰减随水平特征喷射流长度增加而增大,随垂直特征喷射流长度增加而减小;弯曲波衰减随水平和垂直特征喷射流长度改变的变化趋势相反,且该变化趋势在高频和低频时发生反转;导波特性随水平和垂直特征喷射流长度改变的规律不同,其偶极弯曲波的衰减变化趋势随频率增大发生反转.

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